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1、实用标准文案第十三讲刚体的运动学与动力学问题一竞赛内容提要1、刚体； 2 、刚体的平动和转动；3、刚体的角速度和角加速度；4 、刚体的转动惯量和转动动能；5 、质点、质点系和刚体的角动量；6 、转动定理和角动量定理；7 、角动量守恒定律。二竞赛扩充的内容1 、刚体 ：在外力的作用下不计形变的物体叫刚体。刚体的基本运动包括刚体的平动和刚体绕定轴的转动，刚体的任何复杂运动均可由这两种基本运动组合而成。2 、刚体的平动；刚体的平动指刚体内任一直线在运动中始终保持平行，刚体上任意两点运动的位移、速度和加速度始终相同。3 、刚体绕定轴的转动；刚体绕定轴的转动指刚体绕某一固定轴的转动，刚体上各点都在与转轴
2、垂直的平面内做圆周运动，各点做圆周运动的角位移、角速度和角加速度相同（可与运动学的 s、v、 a 进行类比） 。且有： =limlimt 。当为常量时，刚体做匀加速t 0t ；= t 0转动，类似于匀加速运动，此时有：= 0+ t；= 0+ 0 t+ t2/2 ；2 0 2=2 （0 ）。式中， 0、0 分别是初始时刻的角位移和角速度。对于绕定轴运动的刚体上某点的运动情况，有：v= R，a = R，a2R=v2/R,式中， R 是该点到轴的距= n离， a 、 a n 分别是切向加速度和法向加速度。例 1有一车轮绕轮心以角速度匀速转动，轮上有一小虫自轮心沿一根辐条向外以初速度v0 、加速度 a
3、 作匀加速爬行，求小虫运动的轨迹方程。精彩文档实用标准文案例 2一飞轮作定轴转动，其转过的角度和时间t 的关系式为： =at+bt2 ct 3 ，式中， a 、b 、c 都是恒量，试求飞轮角加速度的表示式及距转轴r 处的切向加速度和法向加速度。B K例 3如图所示，顶杆 AB 可在竖直槽 K 内滑动，其下端由凸轮K 推动，凸轮绕 O 轴以匀角速度转动，在图示瞬间，OA=r ，凸轮轮缘与A 接触处，A法线 n 与 OA 之间的夹角为，试求此瞬时顶杆OA 的速度。OnM例 4人在电影屏幕上看到汽车向前行驶，车轮似乎并没有转动时，则汽车运动的可能的最小速度是多少？已知电影每秒钟放映24个画面，车轮半
4、径为0.5m.精彩文档实用标准文案例 5 在水平路面上匀速行驶的拖拉机前轮直径为0.8m ，B后轮直径为 1.25m ，两轮的轴的距离为2m ，如图所示，AOO在行驶过程中，从前轮边缘的最高点A 处水平飞出一小石2m块， 0.2s 后后轮边缘的最高点B 处也水平飞出一小石块，这两块石块先后落在地面上同一处，求拖拉机行驶时速度的大小。例6 如图所示，由两个圆球所组成的滚珠轴承内环半径为R2 ，外环半径为vR1R，在两环之间分布的小球半径为r 。外环以线速度 v顺时针方向转动，而R2R11内环则以线速度v2 顺时针方向转动， 试求小球中心在围绕圆环的中心顺时针转动的线速度v 和小球自转的角速度。设
5、小球与圆环间无滑动。例 7 一木板从空中下落，某时刻， 板上 a、b 两点速度相同， va=v b =v ，a 、b 两点均位于板面上，精彩文档实用标准文案同时还发现板上c 点速度为2v ， c 点到 a 和 b 两点的距离等于a 和 b 两点间的距离。问板上那些点的速度等于3v ？FFOPFr4 、力矩 （ 1）对转动轴的力矩如图，转动轴过 O点并垂直于纸面，过P点的力 F对 O 轴的力矩 M=Fr 。其中， r 为力臂。 r= sin ，M=Fsin·。即，F对轴 O的z力矩，等于 F 垂直于 OP 连线的分力 F与 OP 的积： M=F ·。FFO F当力的作用线不在
6、垂直于轴的直线上时，可将力 F 分解为平行于轴的分量F和垂直于轴的分量 F ，其中， F对物体绕轴的转动没有贡献，F就是 F 在垂直于轴的平面上的投影，此时，F 对轴的力矩可写成： M= F ·sin 。（ 2 ）对参考点的力矩如图， F 对 O 点的力矩 M=Fsin ·。FFOF5 、质点的角动量如右下图， 质点 m 对 点 O 的角动量 L= r × p=r · psin =mv · 角r· sin，pOrm 动量又叫做动量矩（与力矩类比） 。同一质点对不同的参考点的角动量是不同的。特别地，当p r 时，角动量L=mvr 。6
7、、质点系（或刚体）的角动量即各质点角动量的总和，L= miviri= （mir i2 ）=I 。其中， I 是刚体的转动惯量（I 的数值不精彩文档实用标准文案要求会计算） 。质点对轴的转动惯量为：I=mr 2 ，r 是转动半径。7 、刚体的转动动能刚体的动能包括质心的平动动能（E =mv2/2）和相对质心的转动动能，K其中，转动动能的大小：kii2/2=1/2ii22= （2。E = m v（m r）1/2 ） I8 、刚体绕定轴转动的基本规律（ 1 ）力矩 M 和角加速度的关系M=I （类比于 F=ma ）；（ 2）合力矩做的功和刚体转动动能的关系W=F ·S=F ·r=
8、M = （ 1/2 ） It 2（ 1/2 ） I02 .（与动能定理类比） 。（ 2 ）质点、质点系或刚体的角动量定理L= m ivir i（若是质点则不用符号） ，L/ t= L/ t= （Fi f i） ri，式中， Fi 表示第 i 个质点受到的外力，f i 表示该质点受到的系统内力。内力矩为零，L/ t= Fir i=M外，即M 外t=L t L0（与动量定理类比） 。角动量定理可写成分量式。（ 3 ）质点、质点系或刚体的角动量守恒定律当 M 外=0 时， L= 恒量（与动量守恒类比） ，即系统的角动量守恒。其中，M 外=0 有以下三种情况： （ i）体系不受外力，即 Fi=0 （合
9、外力为零合力矩为零，如力偶矩的情况）；（ ii ）所Am， l有外力都通过定点（这种外力叫有心力，如卫星所受的万有引力），尽管外力的矢量和不为零，但每个外力的力矩都为零；（ iii ）每个外力的力矩不为零，但外力矩的矢量和为零。例 8 、质量为 m ，长为 l 的均质细杆，绕着过杆的端点且与杆垂直的轴以角速度转动时，它的动能和相对端点的角动量的大小分别为Ek =I 2/2 ，L=I ,其中， I=ml 2 /3 ，现将此杆从水平位置由静止释放，设此杆能绕着过A 的固定光滑细轴摆下，当摆角从0 达时，试求：（ 1 ）细杆转动的角速度和角加速度； （2 ）固定光滑细轴为杆提供的支持力。精彩文档实用
10、标准文案MRaam2例 9 、质量为 M ，半径为R 的均质圆盘，绕过圆心且与圆盘垂直的轴以角速m1度旋转时的角动量大小为L=I ，其中， I=MR 2/2 ，如图，细绳质量可忽略，绳与圆盘间无相对滑动，滑轮与轴之间无摩擦，m 1 m 2 ，试求物体运动的加速度。例 10 、在光滑的水平面上，两个质量分别为m 1 和 m 2 的小球，用长为l 的轻线连接，开始时，线正好拉直， m1和 m2的速度分别为 v1和 v （ vv），它们的方向相同， 并垂直于连线， 试求：212系统相对质心的角动量为多大？（2 ）线中的张力为多大？Mmv0M例 11 、如图所示，在光滑水平面上，质量均为M 的两小球用
11、长为 l 的轻杆相连， 另一质量为m 的小球以v0 的速率向着与杆精彩文档实用标准文案成角的方向运动，若（1 ）碰后m 以 v0 /2 的速率沿原路线反弹，试求碰后轻杆系统绕其质心转动的角速度。（ 2 ）若 M=m ，且=45 °，小球m 以某一速率v 0 与杆上一球发生弹性碰撞后，沿垂直于原速度的方向运动，如图虚线箭头所示方向，求碰后小球的速度及轻杆绕其质心转动的角速度。4h=100km例 12 、一质量 m=1 .40 × 10kg 的登陆飞船， 在离月球表面高度BvBvA处绕月球做圆周运动，飞船采用如下登月方式：当飞船位于图中A 点时，OAR它向外侧（即沿 OA 方向
12、）短时间喷气，使飞船与月球相切地到达B 点，且 OA OB ，试求飞船到达月球表面时的速度。已知月球半径R=1700km ，月球表面的重力加速度为 g=1.62m/s 2 。精彩文档实用标准文案例 13 、如图，一长为L，质量为m 的均质棒被两根细线水平悬挂在天花板上，某时刻，右边的线断了，问线断瞬间，左边线中的张力是多大？已知棒绕其一端的转动惯量I=ml 2 /3 。m， L例 14 、一颗卫星沿椭圆轨道绕地球运行，在近地点， 卫星与地球中心的距离为地球半径的3 倍，卫星的速度为在远地点时速度的4 倍，求在远地点时卫星与地球中心的距离为地球半径的多少倍。例 15 、两个质量均为m 的小球，用
13、长为l 的绳子连接起来，放在一光滑的水平桌面上，给其中一个小球以垂直于绳子方向的速度v0 ，如图所示，求此系统的运l动规律和绳中的张力大小。v0精彩文档实用标准文案例 16 、小滑块A 位于光滑的水平桌面上，小滑块B 位于桌面上的光滑小B槽中，两滑块的质量都是m ，并用长为l、不可伸长的、 无弹性的轻绳相连，如图所示，开始时，A 、B 间的距离为l/2 ，A 、B 间的连线与小槽垂直，今给滑块其获得平行于槽的速度v0，求滑块B 开始运动时的速度。v0AA 一冲击，使v0m例 17 、如图所示，质量均为m 的两小球系于轻弹簧的两端，并置于光滑水平桌面mv0精彩文档实用标准文案上弹簧原长为a，劲度
14、系数为k。今两球同时受冲力作用，各获得与连线垂直的等值反向的初速度，若在以后运动过程中弹簧的最大长度b=2a ，求两球的初速度v0。例 18 、在半顶角为的圆锥面内壁离锥顶 h 高处以一定初速度沿内壁水平射出一质量为 m 的小球，设锥面内壁是光滑的。 （ 1）为使小球在 h 处的水平面上h做匀速圆周运动，则初速v0 为多少？（ 2 ）若初速 v1 =2v 0，求小球在运动过程O中的最大高度和最小高度。精彩文档实用标准文案例 19 、（ 1 ）质量为m 的人造地球卫星作半径为r 0 的圆轨道飞行，地球质量为M ，试求卫星的总机械能；（ 2 ）若卫星运动中受到微弱的磨擦阻力f（常量），则将缓慢地沿
15、一螺旋轨道接近地球，因 f 很小，轨道半径变化非常缓慢，每周的旋转都可近似处理成半径为r 的圆轨道运动，但r 将逐周缩短，试求在r 轨道上旋转一周，r 的改变量 r 及卫星动能EK 的改变量 EK 。例 20 、图中 a 为一固定放置的半径为R 的均匀带电球体，O 为其球心，已知取无限远处的电势为零时，球表面处的baRLOO电势为 U=1000V 。在离球心 O 很远的 O 点附近有一质子b ，它以 EK=2000eV 的动能沿与 O O 平行的方向射向a ，以 L 表示 b 与 O O 线间的垂直距离。要使质子 b 能够与带电球体 a 的表面相碰，试求 L 的最大值。把质子换成电子，再求L
16、的最大值。精彩文档实用标准文案例 21 、由火箭将一颗人造卫星送入离地面很近的轨道，进入轨道时，卫星的速度方向平行于地面，其大小为在地面附近做圆运动的速度的3 / 2 倍，试求该卫星在运行中与地球中心的最远距离。例 22 ，如图所示，在水平光滑平面上开有一个小孔，一条绳穿过小孔，r0 m其两端各系一质量为 m 的物体，桌上的物体则以 v 0=3 2gr0 2 的速率做m半径为 r 0（即桌上部分的绳长）的匀速圆周运动，然后放手，求以后的运动中桌上部分绳索的最大长度和最小长度。例 23 ，一块半径为 R 的水平轻质圆盘，可绕过其圆心O 的竖直轴自由旋转，在圆盘下面的边缘处等间隔地系有四个质量都为
17、mm 的小球，如图所示。开始时，圆盘静止，一辆质量也为m 的玩具汽车从 O 出发，以恒定的相对于盘的速率v0 沿半径驶往盘边，并沿盘边行驶，试求：mRo mmm精彩文档实用标准文案（ 1 ）当玩具汽车沿半径行驶时，圆盘的转动角速度 1 ；（ 2）当玩具汽车沿盘边行驶时，圆盘的转动角速度 2 。例 24 ，若上题中的竖直轴不经过圆心，而经过某一小球的位置处，玩具汽车从该轴处以恒定的相对于圆盘的速率 v0 沿盘边行驶，试求： （ 1 ）当玩具汽车行驶到第二小球位置处（即行驶了半圈）时，圆盘的转动角速度1 ；（2 ）当玩具汽车行驶到第三小球位置处（即行驶了3/4 圈）时，圆盘的转动角速度2；（ 3
18、）当玩具汽车回倒转轴处时，圆盘的转动角速度3。例 25 ，在一根长为3L 的轻杆上打一个小孔，孔离一端的距离为L，再在杆的两端及距另一端为L 处各系一质量为M 的小球，然后通过此孔将杆悬挂于一光滑的MLOv0LMm水平细轴 O 上，如图所示。开始时，轻杆静止，一质量为m 的小铅粒以 v0 的水LM平速度射入中间的小球，并留在里面。若铅粒相对小球静止时杆的角位移可以忽略，试求杆在以后摆动中的最大摆角。精彩文档实用标准文案aO例 26 ，一质量为 M a，半径为 a 的圆筒 A 被另一质量为 M b 、半径为 b 的圆b筒 B 同轴套在其外，均可绕轴自由旋转。在圆筒A 的内表面上散布了薄薄的一层质
19、量为M 0 的砂子，并在壁上开有许多小孔。在t=0 时，圆筒以角速度 0 绕轴匀速转动，而圆筒B 则静止。打开小孔， 砂子向外飞出并附着在B 筒的内壁上， 如图所示。 设单位时间内喷出砂子的质量为k ，并忽略砂子从A 筒飞到 B 筒的时间，求t 时刻两筒旋转的角速度。OA例 27 ，光滑水平面上有一小球A 被一轻绳拴住，轻绳穿过平面上小孔O与小球 B 连接。开始时A 球在水平面上绕 O 做匀速圆周运动，BB 球静止地向下垂挂着，如图所示。今使小球B 的质量缓慢增加，直到A 球绕 O 点做匀速圆周运动的半径缩短一半，试问此时B 球质量为初始质量的多少倍？c ch精彩文档v实用标准文案例 28 ，
20、实心圆柱体从高度为h 的斜坡上由静止做纯滚动到达水平地面上，且继续做纯滚动，与光滑竖直墙发生完全弹性碰撞后返回，经足够长的时间后重新做纯滚动，并纯滚动地爬上斜坡。设地面与圆柱体间的动摩擦因数为,试求圆柱体爬坡所能达到的高度h 。 0v0例 28 ，半径为 R 的乒乓球绕质心轴的转动惯量为I=2mR2 /3 ，m 为乒乓球R的质量。乒乓球以一定的初试条件在粗糙的水平面上运动，开始时球的质心速度为v0 ，球的角速度为0，两者的方向如图所示。已知乒乓球与地面间的动摩擦因数为，试求乒乓球开始做纯滚动所需的时间及纯滚动时的质心速度。例 29 ，从地球表面以第一宇宙速度朝着与竖直方向成角的方向发射一抛射体，忽略空气阻力和地球自转的影响，试问抛射体上升多高？设地球半径为R。精彩文档实用标准文案精彩文档