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1、线性代数试题库（1）答案线性代数试题库（1）答案题号*二二二-三四五六总分得分评卷人、选择题：（3X 7=21分）1.n阶行列式D的元素aj的余子式M j与aj的代数余子式A j的关系是（C ）A. Aj =MB。Aj =(-1) nM j C。Aj =(-1)i jMA ij =-M j2 .设A是数域F上m x n矩阵，则齐次线性方程组 AX=O （ A ）A.当m < n时，有非零解 B .当m > n时，无解C .当m=n时，只有零解D .当m=n时，只 有非零解3.在n维向量空间V中，如果L （V）关于V的一个基n的矩阵分别为A，B.那么对于 a，b F， a +b关于基
2、n的矩阵是（C ）A. A+BaA+B4.已知数域F上的向量C. aA+bBD . A+Bb线性无关，下列不正确的是（DA 1， 2线性无关B . 2, 3线性无关中必有一个向量是其余向量的线性组合。5. Rn中下列子集，哪个不是子空间（ C ）C .3, 1线性无关D .1,2, 3nB .(a1,an) | aiR,i 1,门且 ai 0i 1nD . 0C. (a1, ,an) |aiR,i 1,门且ai 1i 16.A两个二次型等价当且仅当它们的矩阵（。相似B .合同A )C .相等D 互为逆矩阵7.向量空间R3的如下变换中,为线性变换的是(X1,X2,X3)(I X1 1,1,1)(
3、X1,X2,X3)(Xi 1, X2,X3)(Xi,X2,X3) (X2,X3,0)（XX2，X3）/ 2 2 2、(X1 ,X2,X3)1.2.3.4.填空题（3X10=30分）当且仅当a1设 A= a 2a3k= (-1 或 3)时,齐次线性方程组X13x1'9x1X2X2X2X3kx3k2x300有非零解00,Bbi, b2,b30,则秩（AB为y, z)关于基(0 , 1/2 , 0),向量（X,设向量空间F2的线性变换,为(X1,X2) (X1 X2,X2),(X1,X2) (X1(1)(1/3, 0, 0), (0, 0,1/4）的坐标为X2,0),则()(X1,X2)(2
4、X1,X2)。5.已知 V=(X1,X2,X3, X4) |X12x2 x40,则 dimV=(3)。6.已知实矩阵A=1a31 ,(ab30） 是正交阵,则 b= (0)。7.4是四维欧氏空间V的一个标准正交基3,则|I 2,3,与的夹角,d(,)1.三、计算题1 .求矩阵方程的解(10 分)解:x=2.设A2 1求可逆矩阵 T使T 1AT为对角形1 2(10 分)解:由EA0, 11, 23,兀1, 1T,X21,1T分别单位化，得L Ta/2-5/242v'2 22J2,所以T2一242 422 23.设二次型 f(Xi,X2,X3)Xi2 2x； 5x3 2X1X2 2x1X3
5、 6X2X3,回答下列问题：(1) 将它化为典范型。(2) 二次型的秩为何？(3) 二次型的正、负惯性指标及符号差为何？(4) 二次型是否是正定二次型？( 10分)解：(1) f(X1，X2，X3) y2 y y2 y2 5y； ,(2)r=5 ,(3)p=3;s=1 ,(4)A=6 >0,是正定二次型。四、证明题1 .设V是数域F上一个一维向量空间。证明V的变换c是线性变换的充要条件是：对于任意EV,都有c(E) =aE, a为F中一个定数。(10分)证明：假设是V的基，存在F,此时得，由是线性变换，则1，所以111，令1aa 则a ;任意1,2V,aF,由12a 12a 1 a 21
6、2k 1ak1k a1k1是线性变换。bccaaba bc2。行列式b1C1C16a1b12a1b1C1,（10 分）b2C2C2a2a2b2a2 b2C2bcacababcabcabc证：原式=biGaiCiaibiaibiCiaibiCi2 aibiCib2C2a2C2a2b2a2b2C2a2b202a2b2C2线性代数试题库（2 ）答案20052006学年第一学期考试时间120分钟题号*二二二-三四五六总分得分评卷人一、选择题：(3X5=15分)1. n阶行列式D的元素aj的余子式Mj与aj的代数余子式Aj的关系是(C )A . A j =M j B。Aj =(-1) nM j C。Aj
7、 =(-1)i jM j D。Aj二-Mj2. 设A是数域F上m x n矩阵，则齐次线性方程组 AX=O ( A )A. 当m < n时，有非零解B .当m > n时，无解C.当m=n时，只有零解D.当m=n时，只有非零解3. 已知n维向量1, 2, 3线性无关，下列不正确的是( D)A 1 ,2线性无关B .2 ,3线性无关C .3,1线性无关D .1 ,2 , 3中必有一个向量是其余向量的线性组合。4. 若A是mxn矩阵，且r (A) =r，则A中(D)A. 至少有一个r阶子式不等于0,但没有等于0的r-1阶子式；B. 必有等于0的r-1阶子式，有不等于0的r阶子式；C. 有等
8、于0的r-1阶子式，没有等于0的r阶子式；D. 有不等于0的r阶子式，所有r+1阶子式均等于0。5. 4 .设 A是三阶矩阵，|A|=1 ,则 |2A2|= ( A ) A. 2, B, 1, C8 , D 4.填空题(3X6=18分)1.2.3.当且仅当a1设 A= a 2a3行列式k= (-1 或 3)时,齐次线性方程组4.已知实矩阵0, B0xyA=D,，x0z I13bb2,b30则秩(AB)%3x1'9x1为(1)X2X2X2。X3kx3k.300 有非零解05.6.yz0a13,(a 0)是正交阵，则b= ( 0)。向量(x, y, z)关于基(0, 1/2, 0),(1/
9、3, 0, 0),(0, 0, 1/4)的坐标为1 11设,A，, B为n阶可逆矩阵，则三、计算题1.求矩阵方程的解解:x=2.设A解:22 112求可逆矩阵 T使T 1AT为对角形由 E A 0, 11,T,所以T1,1T分别单位化，得122。(10 分)(10 分)(15 分)3.设二次型 f(Xi,X2,X3)Xi2 2x2 5xl 2x1X2 2x1X3 6X2X3，回答下列问题:(1) 将它化为典范型。(2) 二次型的秩为何？(3) 二次型的正、负惯性指标及符号差为何?(4) 二次型是否是正定二次型？( 12分)解：(1) f(X1,X2, X3)yy： 5y； ,(2)r=5 ,(
10、3)p=3;s=1 ,(4)A=6 >0,是正定二次型103213014.设向量组1522 1 '37'4542146求向量组的秩及其一个极大无关组。(10 分)2 2y1y21120解:A=1124a1124a 111240312a 20312a 20312307148 30312a 33 a100002156a 40312a 42 a 100041120a 50004a5a 10000a5a 2a33a 1a 2a 42 a 1a 2a1a42 a 1a 2a 1其中2 0, a284 2aa40由此r(A)=3, 2,a4是一个极大无关组,2,8581 a2 a4四
11、、证明题1. A是正交矩阵，证明 A ,AA 。( 10 分)证明：A , AtataT ATAbccaababc2。行列式biCiCiaiaibi2aibiCi，（i0 分）b2C2C2a2a2b2a2b2C2bcacababcabcabc证:原式=biClaiCiaibiaibiCiaibiCi2aibiCib2C2a2C2a2b2a2b2C2a2b2C2a2b2C2A | J A ,A线性代数试题库（3）答案题号一二二二-三四五六总分得分评卷人、选择题（3X 5=15分）1.已知m个方程n个未知量的一般线性方程组 AX=B有解，则无穷多解的条件是(C )A. m 工 nB.m=nC .秩
12、 A< nD .秩A=n10 0 10 12.设 A=023111则秩A=(A )00420 2A.0B. 1C . 2D .33. n阶行列式D的元素aj的余子式M j与a0的代数余子式Aj的关系是（C）A . A j =M j B。Aj=(-1) nMj C。Aj =(-1)' jM j D。A j =-M 4.已知数域F上的向量1, 2, 3线性无关，下列不正确的是（ D）A 1 , 2线性无关B .2, 3线性无关C . 3, 1线性无关中必有一个向量是其余向量的线性组合。1234,5.设1 , 2, 3, 4是四维欧氏空间V的一个标准正交基则 II ( C ) A、0
13、B. 1C. 2 D. 4二.填空题（3X6=18分）1.设A是一个n阶实可逆矩阵，则二次型x'（a'a）X的标准形是（x'ix）.2.矩阵sin xcosxcosx sin x的逆矩阵为sinx cosxcosx。sin x3.向量(x, y, z)关于基(0, 1/2, 0), (1/3, 0, 0), (0, 0, 1/4)的坐标为1234,4.设*丄2, 3, 4是四维欧氏空间V的一个标准正交基3 ' 245.已知实矩阵A= 3b,（a0）是正交阵，则b=0。6. A与B相似，则|A|B|。二、计算题1a1a 2a3a4a11a2a3a4a1a 21a
14、3a41.计算行列式a1a 2a31a41 000a1a23aa4解：原式二0 100a1a23aa40 010a1a23sa40 001a1a2asa40,（10 分）12.设 A= 31，求矩阵使 AB=A-B（10 分）解：设B=a1日2日3b1 b2 b3C1C2C3，丁 AB=A-B , /a13a2a 33b14 b22b35 C17 c22C3a1日2a 3b1b2b3C1C2C3解得B=1234123445235678233.解:求可逆矩阵T使T0, 1、2 2 T，所以t1,2 3,X11, 1T,X2、2 - 22 22 21AT为对角形1,1T分别单位化，得（15 分）_
15、224.设二次型f（Xi,X2X）2xf 5x2 5x3 4xiX2 4xiX3 8X2X3,回答下列问题：（1）将它化为典范型。（2） 二次型的秩为何？（ 3） 二次型的正、负惯性指标及符号差为何？（4）二次型是否是正定二次型？ （ 12分）解：（1） f（x（,X2，X3） y1 y yl 15y： ,（2）r=4 ,（3）p=3;s=2 ,（4）A=10 >0,是正定二次型。四、证明题1.试证：设A是n阶矩阵，则|A*|=|A|n1 （10分）证明 ：AA*=|AE 取行列式得到 A A |AE |An若A 0则AA：若A 0则A 0此时命题也成立，即A|A“二bccaababC2
16、.试证：行列式b1C1C1a1a1b12a1b1C1（10 分）b2C2C2a2日2b2日2b2C2bCaCababCa b Ca bC证明：原式=biC|C1a1biaib1C1bC12a1biC1b2C2a2C2a2b2a2b2C2a?b?C2a2 b2C2线性代数试题库（4）答案题号k二二二-三四五六总分得分评卷人一、选择题（3X7=21分）1 已知m个方程n个未知量的一般线性方程组 AX=B有解，则无穷多解的条件是（C ）A . m工 n B. m=n C.秩 A< n D .秩 A=n2 设矩阵A是n维向量空间V中由基!, , n到基!, , n的过渡矩阵，则A的第j列是（A
17、. j关于基 1, n的坐标B . j关于基1, n的坐标C )j关于基1, n的坐标、 10 0 103 .设 A= 0231100420D . j关于基1则秩 A= ( C ) A、0的坐标B . 1 C . 24 n阶行列式D的元素aj的余子式M j与aj的代数余子式Aj的关系是（C ）A . A j =M j B。 Aj =(-1) nM j CAj =(-1)i jM j D。Aj =-M j5.在n维向量空间V中，如果 ，L （V）关于V的一个基n的矩阵分别为A , B。那么对于a, b F, a +b关于基n的矩阵是（CA. A+BB. aA+BC. aA+bBD. A+Bb6.
18、向量空间R3的如下变换中，为线性变换的是（(Xi,X2,X3)(I Xi 1,1,1)(X1,X2,X3) (X11,X2,X3)C .(X1,X2,X3) (X2,X3,0)(X1,X2,X3) (x!,x|,xf)7.已知数域F上的向量线性无关，下列不正确的是（D ）A 1 , 2线性无关B . 2, 3线性无关C .3, 1线性无关3,中必有一个向量是其余向量的线性组合。二.填空题（3X10=30分）1.设A是一个n阶实可逆矩阵，则二次型X '（A'A）X的标准形是（x'ix2.3.是向量空间Rx上的变换（即（f（x） fsi nx cosxsinx的逆矩阵为co
19、sx sin x(x),则(2)(x2x 3)4x312x220x 13.4.5.矩阵cosxcosx。sin x4是四维欧氏空间V的一个标准正交基3,则 |2 ,3 ,与的夹角6 d(向量（x,y, z）关于基（0,1/2, 0), (1/3, 0,0), (0,0, 1/4)的坐标为(1/3, 1/2, 1/4)。6.已知 V=(捲，乂2,乂3, x4) |x1 2x2 x4 0，则 dimV= (4)。7.已知实矩阵A=a1, (a30）是正交阵，则b= (0) o三、计算题1.计算行列式aa 1a1a2aa2,(10 分)12 .设 A= 31，求矩阵B，使 AB=A-B(10 分)解
20、：设B=a1a2C1C2，丁 AB=A-B , /a3a3b14 b25 c17C2解得B=3设A3c5 - 6 7 - 8 23b3 - 4 4 - 5 2 -3 a1 - 2 3 - 4 1 -a13b15c1a24b27C2a32b32C32 1求可逆矩阵T使T 1AT为对角形(10 分)解:0, 11, 23 X12221.设1, 1t,x21,1 t分别单位化，得22丄2四、证明题,是欧氏空间任意向量，证明：| | | |, （10分）证明:因为)(， 2( , ) ( , ) ( , ) 2 | |(，)所以|bccaa babc2 行列式biCiCia-a-bi2a-biCib2C2C2a2a2b2a2b2C2,（9 分）证明:原式=bca0q印b2C2a2cabCiaibjC2a2b2abcabjCja2b2C2abcabca1 b-i C!2 a1 bj c1a2b2C2a2b2C2