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1、行列式的几种常见计算技巧和方法2.1定义法适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计 算量大，有一定的局限性.0 0 10 2 03 0 00 0 00计算行列式°0解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有 424项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少具体的说，展开式中的项的一般形式是aijla2j2 a3j3a4j4 .显然，如果ji 4，那么a“0，从而这个项就等于零因此只须考虑ji 4的项，同理只须考虑j23, j32, j41的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有ai4a23a32a4143216，所以此项取正号故14321a14a23a32
2、a4124.0 =002.2利用行列式的性质即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形该方法适用于低阶行列式.化三角形法上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：a11a12a130a22a2300a33000a1100a21a220a31a32a33aina2na3naiia22a nn ,ann000aiia22ann 例2计算行列式Dn 11a1a21aibia2anan1aia2an bnan1 an2 an3ann解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的1倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零即：化为上三角形.解：将该行列式第一行
3、的1倍分别加到第2,3（ n 1）行上去,可得1a-ia2K0b100M M M OanMbnb|b2 K bn 连加法这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列） 后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计 算这类计算行列式的方法称为连加法.例3计算行列式Dnx1mx2x1x2mX2XnXnXn m解:DnnXii 1nX2Xi mx2mi 1ximi 1X2XnXnXnmXiX2x2mXnXnXnm1X2nXi1m0m00i 11 X2Xn0n 1nmXimi 1m滚动消去法当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍，这种方法
4、叫滚动消去法.123n 1n212n 2 n 1例4计算行列式Dn321n 3 n 2n 2nn 1n 22 1解：从最后一行开始每行减去上一行，有123n 1n123n 1n1111120002Dn11111220021111111111224逐行相加减对于有些行列式,虽然前n行的和全相同,但却为零用连加法明00an0n1 n 1 a1a2ann1 n 1 a1a2an.显不行，这是我们可以尝试用逐行相加减的方法.a10a1a20a20000例5计算行列式D00a300000anar11111解：将第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此类推，得:a1000 a2000a3D0 0 02
5、.3降阶法将高阶行列式化为低阶行列式再求解.按某一行（或列）展开x10000x100例6 解行列式Dn00x00000x1anan 1an 2a2a1解：按最后一行展开，得Dnn 1n 2a1xa2xan 1xan2.3.2按拉普拉斯公式展开拉普拉斯定理如下：设在行列式 D中任意选定了 k1 k n-1个行.由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.即DM 1A1 M 2A 2MnAn，其中A i是子式Mi对应的代数余子式.AnnCnn0BnnAnn ? Bnn ,Ann0CnnBnnAnn?Bnn.例7解行列式D n解：从第三行开始，每行都减去上一行；再从第三
6、列开始，每列都加到第二列，得Dnab2.4升阶法就是把n阶行列式增加一行一列变成n+1阶行列式，再通过性质化简算出结果，这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法升阶法 的最大特点就是要找每行或每列相同的因子，那么升阶之后，就可以利 用行列式的性质把绝大多数元素化为 0，这样就达到简化计算的效果.其中，添加行与列的方式一般有五种：首行首列，首行末列，末 行首列，末行末列以及一般行列的位置.011101例8解行列式D=1101111111 11 11 10 11 0解：使行列式D变成n 1阶行列式，即1 1 10 0 10 1 0D1 11 11 10 11 0再将第一行的 1倍加到其他各行，得:1
7、11110D=101100100从第二列开始，每列乘以1 10 00 01 00 11加到第一列，得:(n 1)110 1 00 0 1D000000n 11 n 1 .1 10 00 01 00 12.5数学归纳法有些行列式，可通过计算低阶行列式的值发现其规律，然后提出数学假设，再利用数学归纳法去证明.对于高阶行列式的证明问题, 归纳法是常用的方法.例9计算行列式Dncos1012 cos1012 cos2 cos112 cos解：用数学归纳法证明1 时，D1 cos猜想,2 时，D2Dn cosncos112cos2cos2cos2由上可知，当n2时，结论成立.假设当n k时,结论成立.即
8、：Dkcosk.现证当n1时，结论也成立.当 n k 1 时，Dk 1cos1012cos1012cos2 cos112cos将Dk 1按最后一行展开，得,k 1 k 1 ,1 ?2coscos1012cos1012cos2cos2 cos Dkcos1012cos1012cosD k 1.从而由数学归纳法可知，对一切的自因为Dk 1cos k1cos kcoskcos所以Dk 12cosDkDk 12 coscoskcosk cossin ksincoskcossin k sincos k1 .1时也成立,Dkcosk ，sin k sin ，这就证明了当n k然数，结论都成立.即：Dnco
9、sn2.6递推法技巧分析：若n阶行列式D满足关系式aDn bD n 1 eDn 20 .则作特征方程ax2 bx e 0. 若0，则特征方程有两个不等根，则 Dn Ax：1 Bx；1 若0，则特征方程有重根xi X2，则DnA nB x： 1在中，A，B均为待定系数，可令n 1, n 2求出.95000004950000例10计算行列式Dn049500000004950000049解：按第一列展开，得D n9Dn 120 Dn 2 .即D n 9D n 120 D n 20 .作特征方程x2 9x 200.解得X14, X25.则n 1n 1Dn A?4B?5.当 n 1 时，9 A B ；当
10、 n 2 时，61 4A 5B.解得A 16, B 25 ,所以Dn 5n 14n 1.3、行列式的几种特殊计算技巧和方法3.1拆行（列）法概念及计算方法拆行（列）法（或称分裂行列式法），就是将所给的行列式拆成两 个或若干个行列式之和，然后再求行列式的值拆行（列）法有两种 情况，一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项； 二是所给行列式中行（列）没有两项之和，这时需保持行列式之值不 变，使其化为两项和.例题解析1a1a200011 a2a300例11计算行列式Dn011a3000001an 1an00011 an解：把第一列的元素看成两项的和进行拆列，得Dna100a10a2a2
11、1a2a21a2a21a3a3a3a3a3a3上面第一个行列式的值为1,Dn 1a1an1所以1 a21a3a3an11 aQn 1.这个式子在对于任何都成立,anan000anananan因此有anana2 Dn 21aa a?n 1a1a2ani i1 aj .j 13.2构造法概念及计算方法有些行列式通过直接求解比较麻烦，这时可同时构造一个容易求 解的行列式，从而求出原行列式的值.3.2.2例题解析111X1X2Xn222例12求行列式DnX1X2Xnn 2n 2n 2X1X2XnnnnX1X2Xn解：虽然Dn不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造 n 1阶的范德蒙德 行列式来间接求出Dn的
12、值.构造n 1阶的范德蒙德行列式，得1111X1X2XnX2222X1X2XnXXn 2n 2n 2n 2X1X2XnXn 1n 1n 1n 1X1X2XnXnnnnX1X2XnX将f x按第n 1列展开，得f X A,n 1A2,n 1XAn,n 1 Xn1,n 1X ，n 1其中，X的系数为An,n 1DnDn.又根据范德蒙德行列式的结果知f X XX1X2XnXinXj由上式可求得Xn 1的系数为XiX2XnXiXj故有Dn X1X2Xn1 j iXinXj3.3特征值法概念及计算方法1，2，n是n级矩阵A的全部特征值,则有公式A的行列故只要能求出矩阵A的全部特征值，那么就可以计算出式.
13、例题解析A可逆当且例13若1，2， n是n级矩阵A的全部特征值，证明:仅当它的特征值全不为零.证明：因为A 1 2 n，则即A可逆当且仅当它的特征值全不为零.4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法4.1三角形行列式概念形如31a12a13a1 na11a22a23a2na21a22a33a3na31a32a33annan1an2an3ann这样的行列式,形状像个三角形，故称为“三角形”行列式.计算方法由行列式的定义可知，a11a120a?20000a110a21 a22a31 a32an1 an2a13a1 na23a2na33a3na11a22ann0ann0000a330a11a22an
14、nan3ann概念aob1b2bnbnb2b1aoC1a1a1CC2a2a2C2CnananCn形如CnananCnC2a2a2C2C1a1aCaobib2bnbnb2b1ao字型行列式.“爪”“爪”字，故称它们为这样的行列式，形状像个422计算方法利用对角线消去行列式中的“横线”或“竖线”，均可把行列式化成“三角形”行列式.此方法可归纳为：“爪”字对角消竖横.4.2.3例题解析例14计算行列式a111a2a3，其中 ai 0,i1,2, n.分析:这是一个典型的“爪”an字型行列式，计算时可将行列式的第i(i 2,3,n.)列元素乘以1后都加到第一列上，原行列式可化为三ai角形行列式.Cna
15、nao b1 b2C1a1C2a2C2a2C1a1Cnaob1b2bnbnan概念形如4.3a1111a2a3anan a1“么”i 2 ai字型行列式i 2 ai01 1a2a34.3.1bnb2 d aoanbnacCna?C25a2b2C2&10anCnC1aoao bb2bnanCnC1aC2a2a2C2agCnanbnb2b1ao样的行列式,字,b2 b1 aoCnanbn形状像个“么”anCna1ca2C2C2a2因此常称它们为“么”C1a1aothb2b1bn字型行列式.利用“么”字的一个撇消去另一个撇，就可以把行列式化为三角 形行列式.此方法可以归纳为：“么”字两撇相互
16、消.注意：消第一撇的方向是沿着“么”的方向，从后向前，利用an消去Cn，然后再用ani消去Cni，依次类推.1 111b1bn 1bn例题解析例15计算n 1阶行列式Dn i1 11解：从最后一行开始后一行加到前一行（即消去第一撇），得Dn 11n1bi 1 nbii 11bn 1 bn1bnn n 1n1 2 ? 1 ° 1bii 1n n 3n1 21bi 14.4“两线”型行列式ai0bia20b200形如这样的行列式叫做“两线型”行列式.000bn 1bn00an442计算方法对于这样的行列式，可通过直接展开法求解.例题解析ai0bia20b200例16求行列式Dn000bn
17、 1bn00an解：按第一列展开，得a2b20.丄n1bi a20 b200D n 1aibn100bn 100an00bna a?an1 n 1b1b2bn.4.5 “三对角”型行列式4.5.1概念a bab000001a bab0000形如01a bab000这样的行列式，叫00000a bab000001a b做“三对角型”行列式.计算方法对于这样的行列式，可直接展开得到两项递推关系式，然后变形进行两次递推或利用数学归纳法证明.a b1aba b例17求行列式Dn010000解：按第一列展开,得ab001a babDna b Dn 101a b000000a b Dn 1abDn 2.4
18、.5.3例题解析00000ab0000a bab000000abab0001a b000000ab00a b0a bab01a b变形，得D naD n 1D n 1 aD n 2由于 D1 a b, D2 a2 ab b2，从而利用上述递推公式得Dn aDn 1 b Dn 1 aDn 2b2 Dn 2 aDn 3bn 2 D2 aD1 bn.an1babn1bn4.6 Van derm onde 行列式1111a1a2a3an形如2a12a22a32ann 1n 1n 1n 1aa2a3an列式.4.6.1 概念这样的行列式，成为n级的范德蒙德行计算方法通过数学归纳法证明，可得1111a1a
19、2a3an2 a12a22a32ana1 j i 1n 1a1n 1a2n 1a3n 1an4.6.3例题解析11X1X222例18求行列式DnX1X2n 2X1n 2X2nX1nX2aj1Xn2Xnn 2Xnn解：虽然Dn不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造 n 1阶的范德蒙德行列式来间接求出Dn的值.构造n 1阶的范德蒙德行列式，得1111X1X2XnX2222X1X2XnXXn 2n 2n 2n 2X1X2XnXn 1n 1n 1n 1X1X2XnXnnnnX1X2XnX将f x按第n 1列展开，得f X A,n 1A?iXAn,nn 1iXAnn1,n 1X ，其中，Xn1的系数为An,
20、n11 DnDn.又根据范德蒙德行列式的结果知f X XX-1X2XnXiXjn由上式可求得Xn 1的系数为X1X2XnXiXj故有Dn X1X2Xn1 j iXinXj5、行列式的计算方法的综合运用有些行列式如果只使用一种计算方法不易计算，这时就需要结合多种计算方法，使计算简便易行下面就列举几种行列式计算方法的 综合应用.5.1降阶法和递推法2100012100例19计算行列式Dn012000002100012分析：乍一看该行列式，并没有什么规律但仔细观察便会发现，按 第一行展开便可得到n 1阶的形式.解：将行列式按第一行展开，得 Dn 2Dn 1 Dn 2 即DnDn 1D n 1Dn2
21、.DnD n 1D n 1D n 2D2D132 1Dn1 Dn1111Dn n1n 12 n 1.5.2逐行相加减和套用范德蒙德行列式解：从第一行开始，依次用上一行的例20计算行列式1111sin 21sin 31sin 4. 2. 2. 2sin2 sin 2sin3 sin 3sin4 sin 4232323sin2 sin 2sin3 sin3sin4 sin 41 sin 1 2 sin 1 sin 123sin 1 sin 11倍加到下一行，进行逐行相加，得sin.2 sin.3 sinsin2 sin.3 sinsin2 sin.3 sinsin2 sin.3 sin再由范德蒙德
22、行列式,sin.2 sin.3 sinsin.2 sin3 sinsin.2 sin3 sinsin.2 sin3 sinsin i1 j i 4sin5.3构造法和套用范德蒙德行列式解：虽然Dn不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造n 1阶的范德蒙德111X1X2Xn222例21求行列式DnX1X2Xnn 2n 2n 2X1X2XnnnnX1X2Xn行列式来间接求出Dn的值.构造n 1阶的范德蒙德行列式，得1X12X1n2n2X1X2n1n1X1X2nnX1X21 1XnX2 2XnXn 2n 2XnXn 1n 1XnXnnXnX将f X按第n 1列展开，得f xA1,n 1A2,n 1xAn,n 1Xn1An1,n 1X其中， Xn 1 的系数为n,n 11n1 DnDn.又根据范德蒙德行列式的结果知f X X X1 X X2X XnXi Xj1jin由上式可求得Xn 1的系数为X1X2XnXi X j .1 j i n故有DnX1X2XnXi X j .