《三角形的内切圆和外接圆.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三角形的内切圆和外接圆.doc（15页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、三角形外接圆半径的求法及应用 方法一：r = ab/(2h)三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的咼所得的商人。是厶ABC的高，人丘是厶ABC的外接圆直径.求证 AB AC= AE- AD证：连接A0并延长交圆于点E,连接BE 则/ ABB 90EvZ E=Z C,/ ABE=Z ADC= 90 Rt AB0 Rt ADC AB AEAD AC AB- AOAE- AD方法二：2R = a/SinA , a为Z A的对边在锐角 ABC中，外接圆半径为R。求证：2R= AB/SinC证：连接A0并延长交圆于点E, AE= AB/Si nEvZ C=Z E, SinC = SinE AE=
2、 AB/Si nC 2R= AB/Si nC若 C为钝角，则 SinC = Sin (180° C)应用一、已知三角形的三边长，求它的外接圆的半径例1 已知：如图，在 ABC中，AC= 13, BC= 14, AB= 15,求厶ABC外接圆O O的半径r.AD.分析：作出直径 AD构造Rt ABD.只要求出厶ABC中BC边上的高AE,用方法一就可以求出直径解：作AE! BC,垂足为E.设 CE= x,vAC-CE2 = aE"= aB"-BE2 , 132-x 2= 152-(14-x) 2 x=5,即 CE= 5,. AE= 12 R = ab/(2h)=13x
3、15/(2x12)=65/865 ABC外接圆O O的半径r为 .8例2已知：在厶ABC中, A吐13, BC= 12, AO 5,求厶ABC的外接圆的半径 R.分析：通过判定三角形为直角三角形，易求得直角三角形外接圆的直径等于斜边。应用二、已知三角形的二边长及其夹角（特殊角），求外接圆的半径oC 例3 已知：如图，在 ABC中，AO2, BO 3,Z C= 60°,求厶ABC外接圆O O的半径R. 分析：考虑求出角的对边长 AB,然后用方法一或方法二解题.解：作直径AD连结BD.作AE± BC垂足为E.则/ DBA= 90°, / D=Z C= 60°
4、 ,/ CAE=Z DAB= 90 ° - 60 °= 30°CE = 1AO 1, AE=73 , AB=7 R=AC AB/2AE=2x7/(2x 辰) 应用三、已知三角形的一边长二角度或对角的度数（特殊角），求它的外接圆的半径用方法例4 已知AD=5,AC=7,CD=3,AB=103,求它的外接圆的半径解从A作AML BC于M则aDmD=aM=AC (MD+ CD).即卩 52 MD= 72 (MD+ 3)2.D 22R =AB * ACAM10得R= 14 ,则厶ABC外接圆面积S= n R= 196n .例5如图3,已知抛物线y = x2 4x+ h的顶
5、点A在直线y= 4x 1上, 求抛物线的顶点坐标； 抛物线与x轴的交点B、C的坐标；y T 厶ABC的外接圆的面积.,”解 A(2 , 9);B( 1, 0) ; C(5 , 0).从A作AMLx轴交于M点， 贝U BMhMC= 3. AM = 9./. AB=AC = J+ 3 = 3a/10,AB AC 3V10 * 3V10.« 2k =AM9i R= 5 ABC外接圆面积S= n R= 25 n三角形内切圆半径r的求法1 t SaAB(=1/2(a+b+c)rr=2S ABC(a+b+c)2 Rt ABC中尸(a+b-c)/2三角形的内切圆和外接圆【知识要点】1、三角形的外接
6、圆(1) 过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，三条边中垂线的交点，叫做三角形 的外心。三角形的外心到各顶点的距离相等.(2) 锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，直角三角形 的外心在斜边中点，外接圆半径 R = £( c为斜边长).2、三角形的内切圆(1) 到三角形三条边距离都相等的圆，叫三角形的内切圆，三角形中，三个内角平分线 的交点，叫三角形的内心，三角形内心到三条边的距离相等，内心都在三角形的内部.(2) 若三角形的面积为S ABC，周长为a+b+c,则内切圆半径为:r = 2S ABC，当a,b为a +b +c直角三角形的直角边，c为斜边时，内
7、切圆半径r 虬或r = a b-ca +b + c23、圆内接四边形的性质(1) 圆内接四边形的对角互补；(2) 圆内接四边形的任何一个外角等于它的对角.注意：圆内接平行四边形为矩形；圆内接梯形为等腰梯形.4、两个结论：圆的外切四边形对边和相等；圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长.【典型例题】、填空和选择(1) 一个三角形的内心，外心都在三角形内，则这个三角形一定是()A、直角三角形 B、锐角三角形 C、钝角三角形D、等腰三角形(2) 如右图，I是ABC的内心，贝U下列式子正确的是()A、/ BIC=180 -2 / A B、/ BIC=2/ A C、/ BIC=90 +Z A/2 D、/ BI
8、C=90 - / A/2(3) ABC外切于。O, E、F、G分别是。O与各边的切点，贝打EFG的外心是 ABC的<(4) 直角三角形的两条直角边分别为 5和12,那么它的外接圆的半径为 ，内切圆半径为.(5) 等边三角形内切圆半径，外接圆半径分别为 r,R，则r :R=.(6) 圆外切等腰梯形底角为60，腰长为10,则圆的半径长为 .(7) 等边三角形一边长为2,则其内切圆半径等于 .(8) 等边三角形的内切圆半径，外接圆半径的和高的比是 .(9) ABC的内切圆O I与AB BC CA分别切于 D E、F点，且/ FID=/EID=135，贝厂ABC为例2 .如图， ABC中, I是
9、内心，AI交BC于。，交厶ABC的外接圆于E。求证：(1) IE=EC, (2) IE2=ED EAE例3如图，已知:ABC内接于。O, AE切。O于点A, BC/ AE,求证："BC是等腰三角形例4.已知 ABC三边长为6, 8,10,则它的内心，外心间的距离为【经典练习】、选择题1.2.下列命题中，正确的有（） 圆内接平行四边形是矩形 圆内接梯形是等腰梯形A . 1个 B . 2个在圆内接四边形ABC冲，/ A:A . 80° B . 90°圆内接菱形是正方形圆内接矩形是正方形.3个 D . 4个C/ B:/ C=3: 5: 6,那么/ D=（C . 100&
10、#176;D . 120°如果一个直角三角形的一条直角边等于它的外接圆的半径r，那么此三角形的面积与其外接圆的面积之比为（）3.3三 C .二 D4:4.如图A1,四边形 ABCD内接于。O,若/ BOD=110 ,.125°B . 110贝U/ BCD=(D).70°D图1图2C . 55°图35. 如图 2,四边形 ABCD内接于O O,/ ADC=60，则/ ABC=()A.30°B. 60 °C. 120° D .90°6. 如图3,正方形ABCD内接于。O,点P在卞D上，则/ BPC*()A.35
11、6;B . 40°C. 45°D .50°7. 如图4, MNPQ中，过点Q M的圆与PQ MN分别相交于点E、F,下列结论中正确的 有( )/EFN/ Q=Z N;/ EFN+/ P=180° EF=PN=MQ/ M=/ FERA . 1个B . 2个C . 3个D . 4个8. 如图5,四边形ABCDIOO的内接四边形，AD为OO的直径，若/CBE=50，则圆心角/AOC= ()A . 50° B . 80° C . 100°D . 130°P、填空题9 .设I是厶ABC的内心，O是厶ABC的外心，/ A=80
12、o,则/BIC=, / BOC=10 .若三角形的三边长为5、12、13,则其外接圆的直径长等于 ，其内切圆的直径长为。11 .直角三角形的一边为a,它的对角是30°,则此三角形的外接圆的半径是 。12.如图 6,O I 切厶 ABC于 D E、F,/ C=60° , / EIF=100°，则/ B=。图6O O内切于Rt ABCBAD9C13.如图7,图7图8/ C=90° , D E、F 为切点。若/ AOC=120 ,则/ OAC=, / B=;若 AB=2cm 贝U AC=, ABC的外接圆半径=，内切圆半径=。A ' B图1014. 如
13、图 8,若弦 AD/ BC, / BAC=70 , / ABC=80 ,则/ ADC 度，/ ACD 度。15. 如图9,四边形ABCD为O 0的内接四边形，AELCD若/ ABC=130，则/DAE=。1.下列说法正确的是（A .三点确定一个圆）B.三角形有且只有一个外接圆C .四边形都有一个外接圆D.圆有且只有一个内接三角形16. 如图10,四边形ABCD是O 0的内接四边形，AB与DC的延长线交于P。已知/ A=60 , / ABC=100，贝U/ P=。【大展身手】、选择题2. 下列命题中的假命题是（）A .三角形的外心到三角形各顶点的距离相等B .三角形的外心到三角形三边的距离相等C
14、 .三角形的外心一定在三角形一边的中垂线上D .三角形任意两边的中垂线的交点，是这个三角形的外心3. 下列图形一定有外接圆的是（）A .三角形B平行四边形C梯形D.菱形4. 下列说法正确的是（）A .过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点B .过两点A、B的圆的圆心在一条直线上C .过三点A、B C的圆的圆心有且只有一点D .过四点A、B C D的圆不存在5.在Rt ABC中，/ C=90°, AC=6cm BC=8cm则它的外心与顶点 C的距离为（A . 5cmB. 6cmC.7cmD.8cm6.等边三角形的外接圆的半径等于边长的()倍.A .仝B.三C.3D.12327.三角形的外
15、心具有的性质是（)A .到三边距离相等B.到三个顶点距离相等C .外心在三角形外D.外心在三角形内8.对于三角形的外心，下列说法错误的是()A .它到三角形三个顶点的距离相等B .它与三角形三个顶点的连线平分三内角C .它到任一顶点的距离等于这三角形的外接圆半径D .以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点9. 在一个圆中任意引两条直径，顺次连接它们的四个端点组成一个四边形，则这个四边形一定是（）A .菱形B.等腰梯形C.矩形D.正方形10. 如图所示，圆的内接四边形 ABCD DA CB延长线交于P, AC和BD交于Q则图中相似三角形有（)A、1对B、2对C、3对D 4对11./ DCE是圆内接四边形ABCD勺一个外角，那么A、/ DCE# A=180CAPC、/ DCENAB、/ DCE# B=180'D、/ DCE/ B二、填空题:ABC的三边3, 2， 13，设其三条高的交点为H,外心为O,则2. A ABC的外心是它的两条中线交点，则 ABC的形状为3. 如图所示，在 MBC的外接圆中，AB=AC D为AB的中点，OH=O若/ EAD=14°，贝U/ BAD=.例6 已知：如图，四边形ABC内接于。0,点P在AB勺延长线上，且PC/ BD求证:PB CBCD DAP