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1、解析几何中定值与定点问题【探究问题解决的技巧、方法】(1)定点和定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要 解决的问题，证明要解决的问题与参数无关在这类试题中选择消元的方向是非常关键的(2) 解圆锥曲线中的定点、定值问题也可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再 视具体情况进行研究【实例探究】题型 1 ：定值问题 :例 1 ： 已知 椭圆 C 的中 心 在原 点 ，焦 点在 x 轴 上 ，它 的 一个 顶点恰 好 是抛 物线的焦点离心率等于(I)求椭圆C的标准方程；(H)过椭圆C的右焦点作直线I交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若为定值 .，则由题意知 b =解：（
2、I）设椭圆C的方程为椭圆C的方程为(II)方法一：设A、B、M点的坐标分别为易知 F 点的坐标为( 2，0) .将 A 点坐标代入到椭圆方程中，得去分母整理得方法二：设 A 、 B、M 点的坐标分别为又易知 F 点的坐标为（ 2，0）.显然直线I存在的斜率，设直线I的斜率为k ,则直线I的方程是将直线I的方程代入到椭圆 C的方程中，消去y并整理得例 2. 已知椭圆 C 经过点 A(1,3/2), 两个焦点为 (-1,0),(1,0).1)求椭圆方程2) E、F是椭圆上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明：直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值(1) a2-b 2=c2 =
3、1设椭圆方程为 x2/(b2+1 ) +y 2/b 2=1将(1，3/2 )代入整理得 4bM-9b2-9=0 解得b2=3 (另一值舍)所以椭圆方程为 x2/4+y 2/3=1(2)设 AE 斜率为 k则 AE 方程为 y-(3/2)=k(x-1)x 2/4+y 2/3=1，联立得出两个解一个是A( 1,3/2 )另一个是E( x1，y1)代入消去 y 得( 1/4+k 2/3 ) x2- (2k2/3-k ) x+k 2/3-k-1/4=0根据韦达定理 x1 = (k2/3-k-1/4 ) / (1/4+k 73 将的结果代入式得y1= (-k 2/2-k/2+3/8) /(1/4+k 2
4、/3)设 AF 斜率为-k , F (x2 , y2 )则 AF 方程为 y- (3/2 ) =-k (x-1 x2/4+y2/3=1联立同样解得x2=(k2/3+k-1/4)/(1/4+k 2/3)y2=(-k 2/2+k/2+3/8)/( 1/4+k 2/3)EF斜率为(y2-y1)/(x2-x1)=1/2所以直线EF斜率为定值，这个定值是1/2。2 2例3、已知椭圆与每 1（a ba b0）的离心率为兰，且过点C21）.3（I）求椭圆的方程;（n）若过点 C（-1 , 0）且斜率为k的直线I与椭圆相交于不同的两点代B，试问在x轴是与k无关的常数？若存在， 求出点M的坐标；若不iuur u
5、uin5上是否存在点M，使MA Mb庐存在，请说明理由.解：（1 ）椭圆离心率为6. C3，ab：a2又Q椭圆过点（2,1），代入椭圆方程，得所以 a25,b25 .31，即 x2 3y25.22椭圆方程为yr551uuun uuur5(2 )在x轴上存在点M (-,0)，使MA MB5是与K无关的常数.63k 1证明：假设在uuuu uuuu5旷是与k无关的常数，直线L过点C (-1 , 0 )且斜率为K,.L方程为k(x 1),2 2由x 3y y k(x525，得(3k1),八2221)x 6k x 3k0.设 A(xi, yi), B(X2, y2)，则3k26kX1X23k253k2
6、1UUJU MAuuu(X1 m,yJ,MB(X2 m,y2),UUJUUUJ5MAMB3k21 (X1m)(x2 m)2 /xmX2m kX11 x21k2x1x2k21mx1x2.23k25. 26k2yiyiX1 X253k2 1_53k2m2k2153k2123k21m 23k2k2523k21x轴上存在点 M ( m,0 )，使MA MB,2 2 2 2 2k 6mk 3m k m3k21设常数为t，则上6如兰3k2 12mt.整理得(3m2 6m 1 3t)k 2 m20对任意的k恒成立,1即在x轴上存在点M ( - ,0)，6uljlid 使MAuujnMB鼻是与K无关的常数.题
7、型2 :定点问题2x例4.已知椭圆C: 一2a(a > b > 0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线 x-y+b=0是抛物线y2=4x的一条切线。(1)求椭圆的方程(2)过点S (0 , -1/3 )的动直线L交椭圆C于A,B两点，试问：在坐标平面上是否存 在一个定点T,使得以AB为直径的圆恒过点 T?若存在，求出点 T的坐标；若不存在，请 说明理由。例 5.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 C，如图 所示，斜率为k ( k > 0)且不过原点的直线I交椭圆C于A , B两点，线段AB的中点为E, 射线OE交椭圆C于点G,交直线x=-3于点D (-3
8、, m )(I)求m 2+k 2的最小值；(n)若 |OG| 2=|OD|-|OE|,(i)求证：直线I过定点;(ii)试问点 B, G能否关于x轴对称？若能，求出此时 ABG的外接圆方程；若不能,请说明理由。丸),解：(I)由题意：设直线 I: y=kx+ n(nAB 的 中 点则由韦达即占八、即，解得所以m2+k2=，当且仅当k=1时取等号,即m 2+k 2的最小值为2。(n)(i)证明：由题意知：n > 0 ,因为直线 0D 的方程为所以由得交点 G 的纵坐标为，且 |0G| 2=|0D| |OE| ,所以k=n ,又由(I)知：，所以解得所以直线I的方程为I: y=kx+k，即有
9、I: y=k (x+1 ),令x=-1得，y=0，与实数k无关，所以直线I过定点(-1 , 0);(ii)假设点B，G关于x轴对称，则有 ABG的外接圆的圆心在 x轴上,又在线段 AB 的 中垂线上占八、又因为直线I过定点(-1 , 0),所以直线I的斜率为所以解得又因为此时k=1，所以m2=6舍去，即m2=1 ,m=1AB的中垂线为 2x+2y+1=0,圆 心 坐 标 为圆的方程为；综上所述，点B , G 关于x轴对称，此时 ABG 的外接圆的方程为【针对练习】1 椭圆C : 2 斗1 (a b 0)的左、右焦点分别是Fi,F2离心率为一3 ,过Fi且垂直于 a2 b22x轴的直线被椭圆 C
10、截得的线段长为1.(I )求椭圆C的方程；(n )点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PFi ,PF2,设 Fi PF2的角平分线PM交C的长轴于点M (m，0)，求m的取值范围(川)在(n)的条件下，过p点作斜率为k的直线I，使得I与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PFi , PF2的斜率分别为kl ,k2,若 k1 10,试证明茶示为定值，并求出这个定值2、如图，s(1,1)是抛物线为y2px(p 0)上的一点，以S为圆心，r为半径(1 r 2)做圆，分别交x轴于A，B两点，连结并延长D两点。(I )求证：直线CD的斜率为定值；(n )延长DC交x轴负半轴于点E,sin 2 CSD c
11、os CSD 的值。2x3、已知椭圆C：pab21( a b 0)的离心率为丄,点(1,3)在椭圆C上.2 2(I )求椭圆C的方程;(n )若椭圆C的两条切线交于点M(4,t),其中t R,切点分别是 A、B,试利用结论：在椭圆b21上的点(X。，y。)处的椭圆切线方程是智 餐 1,证明直线AB恒过椭圆的右a b焦点F2;(川)在(n)的前提下，试探究 说明理由.1fAFTi的值是否恒为常数若是,求出此常数；若不是，请2 24、椭圆C :七 1 (aa bb 0)的离心率为-，其左焦点到点 P(2,1)的距离为.10 .2(1)求椭圆C的标准方程;若直线I: ykxm与椭圆C相交于A、B两点
12、(A B不是左右顶点)，且以AB为直APBxA2F2径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线 I过定点，并求出该定点的坐标.X25、如图，已知椭圆C : 一41,代B是四条直线x 2, y1所围成长方形的两个顶占八、-(1 )设P是椭圆C上任意一点,uuu uuu UULT若 OP mOA n OB,求证：动点Q(m,n)在定圆上运动，并求出定圆的方程;(2 )若M、N是椭圆C上的两个动点，且直线 0M、ON的斜率之积等于直线 OA、0B的斜率之积，试探求OMN的面积是否为定值，说明理由【针对练习参考答案】1、解:(I)由于c2a22b，将 x代入椭圆方程b22b2由题意知 a1，即 a2b2所以a
13、 2,b所以椭圆方程为UUU/ uuuv uuuv UULU UJU/ UUUV UUUV(n)由题意可知： UU& PMUv = UUU/ PMV ,FuuPM = fFuuUPMIPFjPMI |PF2|PM| |PR|uuuv,设P(xo,yo)其中3xo 4 ,将向量坐标代入并化简得：m(4x。 16) 3xo 12x。，因为沧 4,所以 m 3Xo,而 xo ( 2,2)所以 m ( 3,3)4 002 2(3)由题意可知，1为椭圆的在p点处的切线，由导数法可求得，切线方程为:yoy1,所以 kX4yo,而k1y, k2 y，代入丄中得x v3 x v3kk1kk21 1kk
14、kk?4(3XXoXo3)8为定值2、解(1 )将点(1 , 1)代入y222 px，得2p 1 抛物线方程为y x设直线SA的方程为y1 k(x1)，C(X|,yj与抛物线方程y2x 联立得：ky2yy1 1 1 y112C(1k2k),11)由题意有SA SB,直线SB的斜率为Kcd1 1 k22(1 k) (1 k)(2 )设k2E(t,O)EC1ED3(1k)2(厂t,R 1)1(1 k)23(厂1)1)直线SA的方程为y2x 11A?同理*,0)cosSA2 SB2 AB2 CSD cos ASB -2SB SA343 sin CSD5-5 ?sin 2 CSD2425sin 2 C
15、SD cos因此：39CSD 252 23、解：(i)设椭圆C的方程为 务-21 (a ba b3 31Q点(1,)在椭圆C上，一24 2a2 y4, b23 椭圆C的方程为4b2a2由得:a(n)设切点坐标0)94b2y23A(X1,yJ ,B(X2, y2)，则切线方程分别为1 X2XY2Y1，43又两条切线交于点 M(4, t),即x1即点A、B的坐标都适合方程t3y1 t3yt1,X2 3y21，显然对任意实数t，点(1,0)都适合这个方程,故直线AB恒过椭圆的右焦点(川)将直线AB的方程xF2.t3y1,即(丄4)y2 2ty 90所以y3代入椭圆方程，得3( -y 1)2 4y2
16、120,327t2 126t12y2-；7,y1y2不妨设y10,y20JAF2I 。 1)2(9 1)y12J2 9y1,同理|BF2| t291所以|AF2|1所以|AF2|4、解：(1)| BF21.t2 9 y1 y214的值恒为常数一 压|3由题：ea 23_ y2y1 =t29Y1Y23t2 9y“2左焦点(一C,0)到点P(2,1)的距离为:d = - ''(2 + C) 2 + 1 2(4 k 2 + 3) x 2 + 8 kmx+ 4m2 12 = 0 .由可解得c = 1, a = 2 , b2x 2 y 2所求椭圆C的方程为7 + 7= 1(2)设A(xi
17、,yi)、B(X2,y2)，将y = kx + m代入椭圆方程得8 km/X1 + X2 =4k 2 + 34m 2 12,X1X2 =2,4k 2 + 3且 y1 = kx1+ m , y2 =A2A ?A2 B = 0AB为直径的圆过椭圆右顶点A2(2,0)，所以所以(X1 2,y“(X2 2,y2) = ( X1 2)(X2 2) + y1y2 = ( X1 2)(X2 2) + ( kx1 + m) (kx2 +m)=(k 2 + 1)=(k 2 + 1)X1X2 + ( km 2) (X1 + X2) + m 2 + 44m 2 128 km4k2 + 3(km 2) 4k 2 +
18、32整理得 7m 2 + 16 km + 4 k 2 = 0 . m = _ k 或 m = 2k 都满足 > 0 .7若m = 2k时，直线l为y = kx 2k = k (x 2)，恒过定点A2(2,0)，不合题意舍去若m = k时，直线 l为y =2 2 2 kx7k =k (x-7)，恒过定点(7,°)5.解析：证明：由题意可知 A(2,1),B( - 2,1) x2设 P(xo, yo)，则：+ y(2= 1.4由OP = mOA + nOB，得人亦2ny。m所以容 +(m + n)2 = 1所以AOMN 的面积 S=；MN =-|x1y2 X2y1|，1即 m2+ n2 = 一.21故点Q(m , n)在定圆x2+ 丫2=；上y1y21(2)设 M(x 1, y1), N(X2, y2)，则=-X1X24平方得 x?x2= 16y1y2 = (4 x?)(4 坊)，即卩 x? + x2 = 4.因为直线 MN 的方程为(X2 xi)x (y2 yi)y + xiy2 X2yi= 0,所以O到直线MN的距离为d =|x1y2 X2y1|22，X2 X1+ y2 y1