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1、b二角形内角和综合习题精选一.解答题(共12小题)1.如图(1) , ABC中，AD是角平分线，AE丄BC于点E.(1) .若/ C=80 ° / B=50 ° 求/ DAE 的度数.(2) .若/ C>Z B，试说明/ DAE=1 (/ C-Z B).n乙(3) .如图(2)若将点 A在AD 上移动到 A处，A 'E丄BC于点E.此时Z DAE变成Z DA'E, (2)中 的结论还正确吗？为什么？(1) Z ABE=15 ° Z BAD=35 ° 求Z BED 的度数；(2) 在厶BED中作BD边上的高；(3) 若厶ABC的面积为
2、60, BD=5，则点E到BC边的距离为多少?5图4.如图，在 ABC中，AD平分Z BAC , P为线段 AD上的一个动点，PE丄AD交直线BC于点E.(1) 若Z B=35 ° Z ACB=85 ° 求Z E 的度数；(2) 当P点在线段AD上运动时，猜想Z E与Z B、Z ACB的数量关系，写出结论无需证明.DB是厶ABC的高，AE是角平分线，ZBAE=26 °求Z BFE的度数.2.如图,5. (1)如图1,有一块直角三角板 XYZ放置在 ABC上，恰好三角板 XYZ的两条直角边XY、XZ分别 经过点 B、C. ABC 中，Z A=30 °,则Z
3、 ABC+ Z ACB=, Z XBC+ Z XCB=(2)如图2，改变直角三角板 XYZ的位置，使三角板 XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过B、C,ABX+ Z ACX的大小.3 .如图，ADABC的中线，BE为三角形 ABD中线,DC那么Z ABX+ Z ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出Z6.如图1 , ABC中，Z A=50 °点P是Z ABC与Z ACB平分线的交点.b(1) 求/ P的度数；(2) 猜想/ P与/ A有怎样的大小关系？(3) 若点P是/ CBD与/ BCE平分线的交点，/ P与/ A又有怎样的大小关系?(4) 若点P是/ AB
4、C与/ ACF平分线的交点，/ P与/ A又有怎样的大小关系? 【(2)、( 3)、(4)小题只需写出结论，不需要证明】(1) 若|x+2y - 5|+|2x - y|=0，试分别求出1秒钟后A、B两点的坐标;(2)设/ BAO的邻补角和/ ABO的邻补角的平分线相交于点 P,问：点A、B在运动的过程中，/ P的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请 说明理由；(3)如图，延长 BA至E，在/ ABO的内部作射线 BF交x轴于点 C,若/ EAC、/ FCA、/ ABC的平分 线相交于点 G,过点G作BE的垂线，垂足为H，试问/ AGH和/ BGC的大小关系如何？请写出你
5、的结论 并说明理由.(3)0 x*&如图，A、B两点同时从原点 O出发，点A以每秒x个单位长度沿x轴的负方向运动，点 B以每秒 9 .如图所示，点 E在AB上，CE , DE分别平分/ BCD , / ADC , / 1+ / 2=90° / B=75 °求/ A的度数.y个单位长度沿y轴的正方向运动.bb10.如图，/ AOB=90 °点C、D分别在射线 OA、OB上，CE是/ ACD的平分线，CE的反向延长线 与/ CDO的平分线交于点 F.(1) 当/ OCD=50。(图 1),试求/ F.(2 )当C、D在射线OA、OB上任意移动时(不与点 O重合
6、)(图2), / F的大小是否变化？若变化，12.已知 ABC 中，/ BAC=100 °(1) 若/ ABC和/ACB的角平分线交于点 O,如图1所示，试求/ BOC的大小;(2) 若/ ABC和/ACB的三等分线(即将一个角平均分成三等分的射线)相交于O, O1，如图2所示, 试求/ BOC的大小;(3) 如此类推，若/ ABC和/ACB的n等分线自下而上依次相交于O, O1, O2，如图3所示，试探求 / BOC的大小与n的关系，并判断当/ BOC=170。时，是几等分线的交线所成的角.11.如图, ABC 中，AE、BF是角平分线，它们相交于点O. (/ ABC >Z
7、C),门)试说明/ BOA=90C;答案与评分标准一.解答题(共12小题)1.如图(1) , ABC中，AD是角平分线，AE丄BC于点E.(1) .若/ C=80 ° / B=50 ° 求/ DAE 的度数.(2) .若/ C>Z B，试说明/ DAE=2 (/ C-Z B).n乙(3) .如图(2)若将点 A在AD 上移动到 A处，A 'E丄BC于点E.此时Z DAE变成Z DA'E, (2)中的结论还正确吗？为什么？.田:I j逻：2 '；考点：三角形的角平分线、中线和高；角平分线的定义；垂线；三角形内角和定理。 专题：动点型。分析：(1
8、)先根据三角形内角和定理求出ZBAC的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，在厶ADC中，利用三角形内角和求出ZADC的度数，从而可得Z DAE的度数.(2) 结合第(1)小题的计算过程进行证明即可.(3) 利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和先用ZB和ZC表示出Z ADE，再根据三角形的内角和定理可证明Z DA 'E= (Z C -Z B).2解答：解：(1)在厶 ABC 中，Z BAC=180 °-Z B -Z C=180。- 50°- 80°=50° AD是角平分线，Z DAC= Z BAC=25 °2在厶ADC 中，Z
9、ADC=180 °-Z C-Z DAC=75 °在厶ADE 中，Z DAE=180。-Z ADC - AED=15 °(2) Z DAE=180 °-Z ADC - AED=180 °-Z ADC - 90°=90°-Z ADC=90 °- (180°-Z C-Z DAC ) =90-(180°-Z C - Z BAC ) =90。- 180。-Z C- (180。-Z B-Z C) = (Z C -Z B).2 2 2(3) (2)中的结论仍正确.Z ADE= Z B+ Z BAD= Z B+
10、 Z BAC= Z B+ (180°-Z B -Z C) =90° Z B- Z C;2 2 2 22 .如图，AD ABC的中线，BE为三角形 ABD中线，(1) Z ABE=15 ° Z BAD=35 ° 求Z BED 的度数；(2) 在厶BED中作BD边上的高；(3) 若厶ABC的面积为60, BD=5，则点E到BC边的距离为多少?考点：三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；三角形内角和定理。分析：(1)禾U用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和即可求ZBED的度数；(2) BED是钝角三角形，所以 BD边上的高在BD的延长线上；(3) 先
11、根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个小三角形，结合题意可求得 BED的面积，再直 接求点E到BC边的距离即可.解答：解：(1 )./ BED是厶ABE的一个外角， Z BED= Z ABE+ Z BAD=15 °35 °50 °(2) 如图所示，EF即是 BED中BD边上的高.(3) v ADABC的中线，BE为三角形 ABD中线，二 bed= Saabc= >60=15 ；44/ BD=5 , EF=2S bed 曲D=2 X155=6, 即点E到BC边的距离为6.点评：本题主要考查了三角形的高、中线、角平分线，三角形的面积和三角形的内角和等知识，注
12、意全面 考虑问题，熟记三角形的中线把三角形分成的两个小三角形面积一定相等.3. 如图，DB是厶ABC的高，AE是角平分线，Z BAE=26 °求Z BFE的度数.(Z C -Z B).心 DA'E 中，Z DA 'E=180 - A 'ED-Z ADE=180 - 90-( 90° ：Z B/ C)=：点评：本题考查了三角形的角平分线和高，三角形的内角和定理，垂线等知识，注意综合运用三角形的 有关概念是解题关键.考点：三角形内角和定理；角平分线的定义。分析：由角平分线的性质知，/ FAD= / BAE=26 °而/ AFD与/ FAD互余，
13、与/ BFE是对顶角，故可 求得/ BFE的度数.解答：解：T AE是角平分线，/ BAE=26 °/ FAD= / BAE=26 °/ DB是厶ABC的高，/ AFD=90 °-Z FAD=90 ° - 26°64°,/ BFE= / AFD=64 °点评：本题利用了角平分线的性质和直角三角形的性质求解.2)小题，由于/ B和/ ACB的5. (1)如图1,有一块直角三角板 XYZ放置在 ABC上，恰好三角板 XYZ的两条直角边XY、XZ分 别经过点 B、C . ABC 中，/ A=30 ° 则/ ABC+ /
14、ACB= 150° ，/ XBC+ / XCB= 90° .4. 如图，在 ABC中，AD平分/ BAC , P为线段 AD上的一个动点，PE丄AD交直线BC于点E.(1) 若/ B=35 ° / ACB=85 ° 求/ E 的度数；(2) 当P点在线段AD上运动时，猜想/ E与/ B、/ ACB的数量关系，写出结论无需证明.考点：三角形内角和定理；角平分线的定义。专题：动点型。分析：(1 )中，首先根据三角形的内角和定理求得/BAC的度数，再根据角平分线的定义求得/DAC的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出/ADC的度数，进一步求得/ E的度数；
15、(2 )中，根据第(1)小题的思路即可推导这些角之间的关系.解答：解：(1)vZ B=35° / ACB=85 °/ BAC=60 °/ AD 平分/ BAC ,/ DAC=30 ° °/ ADC=65 °/ E=25 °(2I-或 J l二点评：运用了三角形的内角和定理以及角平分线的定义特别注意第( 大小不确定，故表达式应写为两种情况.(2)如图2，改变直角三角板 XYZ的位置，使三角板 XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过B、C, 那么/ ABX+ / ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出/AB
16、X+ / ACX的大小.考点：三角形内角和定理。分析：本题考查的是三角形内角和定理.已知/A=30。易求/ ABC+ / ACB的度数.又因为x为90°所以易求/ XBC+ / XCB .解答：解：(1 )/ A=30 °/ ABC+ / ACB=150 °/ X=90 °/ XBC+ / XCB=90 ° ,/ ABC+ / ACB=150 ° / XBC+ / XCB=90 °(2)不变化./ A=30 °/ ABC+ / ACB=150 ° ,/ X=90 ° ,/ XBC+ / XCB=
17、90 ° ,/ ABX+ / ACX= (/ ABC -/ XBC ) + (/ ACB -/ XCB )=(/ABC+ / ACB )-(/ XBC+ / XCB ) =150°-90°60 ° 点评：此题注意运用整体法计算.关键是求出/ABC+ / ACB .6. 如图1 , ABC中，/ A=50 °点P是/ ABC与/ ACB平分线的交点.(1) 求/ P的度数；(2) 猜想/ P与/ A有怎样的大小关系？(3) 若点P是/ CBD与/ BCE平分线的交点，/ P与/ A又有怎样的大小关系?(4) 若点P是/ ABC与/ ACF平分线的
18、交点，/ P与/ A又有怎样的大小关系?【(2)、( 3)、(4)小题只需写出结论，不需要证明】c-X考点：三角形内角和定理。专题：探究型。分析：根据 三角形的外角等于与其不相邻的两内角和”和角平分线性质.(1 )禾9用角平分线的性质和三角形内角和是180度以及外角的性质求算即可；(2) 先列出/ A、/ ABC、/ ACB的关系，再列出/ BPC、/ PBC、/ PCB的关系，然后列出/ ABC 和/ PBC、/ ACB和/ PCB的关系；(3) 利用P ABC两外角平分线的交点，/ DBC=/ A+ ' / ACB，同理可得：2 2 2/ BCE= / A+ / ABC，再利用三角
19、形内角和定理以及外角和定理求出即可；2 2 :(4) 列出/ A、/ ABC、/ ACF的关系，再列出/ PBC、/ P、/ PCF的关系，然后列出/ ABC和/ PBC、 / ACF和/ PCF的关系.解答：解：(1)v/ A=50 °/ ABC+ / ACB=130 °/ PBC+ / PCB=2 (/ ABC+ / ACB ) 丄 XI30°=65°,2 2/ BPC=180 °- 65°115°(2)/ BPC= / A+90 .2在 ABC 中，/ A+ / ABC+ / ACB=180 ° 在厶BOC
20、中，/ BPC+ / PBC+ / PCB=180° / BP, CP分别是/ ABC和/ ACB的平分线， / ABC=2 / PBC，/ ACB=2 / PCB ,/ BPC+ / ABC+ / ACB=180 ° °2 2又在 ABC 中，/ A+ /ABC+ /ACB=180 °/ BPC= / A+90 °2(3)/ DBC= / A+ / ACB , PABC两外角平分线的交点, / DBC=/ A+丄 / ACB ,2 2 2同理可得：/ BCE= 一 / A+ 一 / ABC ,2 2 2/ A+ / ACB+ / ABC=18
21、0 °, (/ ACB+ / ABC ) =90。-丄/ A ,2 2180°-/ BPC= / DBC+ / BCE= / A+ / ACB+ / A+ / ABC ,2 2 2 2 2 2180°-/ BPC= / A+ / ACB+ / ABC ,2 2180°-/ BOC= / A+90。-/ A ,2 / BPC=90 °-_/ A ;2(4) 若P为/ ABC和/ ACB外角的平分线 BP, CP的交点，则/ BPC与/ A的关系为：/ BPC= / A .2 /A+ / ABC= / ACF，/ PBC+ / BPC= / PCF
22、 , BP, CP 分别是/ ABC 和/ACF 的平分线， / ABC=2 / PBC，/ ACF=2 / PCF,由以上各式可推得/ BPC= / A .2点评：此题主要考查了角平分线及三角形的内角和定理和三角形外角和等知识，熟练地应用其性质得出等 量关系，再进行等量代换是解决问题的关键.7. 如图，已知 ABC 中，/ B= / E=40 ° / BAE=60 ° 且 AD 平分/ BAE .(1) 求证：BD=DE ;(2) 若AB=CD，求/ ACD的大小.考点：三角形内角和定理；角平分线的定义。专题：计算题；证明题。分析：(1)要求证：BD=DE可以证明 ABD
23、AED，根据角角边定理就可以证出;(2)求/ ACD= / AFC -/ DAF，本题可以转化为求/ AFC，/ DAF的度数. 解答：(1)证明： AD平分/ BAE ,/ BAD= / EAD=30 °/ AD=AD/ B= / E=40 ° ABD AED BD=ED ;(2)解：/ ADE= / ADB=180。-/ B -厶 BAD=110 °,/ ADC=70 °/ EDC=110 ° - 70°40 °/ EDC= / E. FD=FE./ AE=AB=CD , CF=AF ./ AFC=100 °/
24、 ACD=40 °点评：证明线段相等的问题比较常用的方法是证明所在的三角形全等.&如图，A、B两点同时从原点 0出发，点A以每秒x个单位长度沿x轴的负方向运动，点 B以每秒 y个单位长度沿y轴的正方向运动.(1 )若|x+2y - 5|+|2x - y|=0，试分别求出1秒钟后A、B两点的坐标；(2)设/ BAO的邻补角和/ ABO的邻补角的平分线相交于点P,问：点A、B在运动的过程中，/ P的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化, 请说明理由；(2)1(3) 如图，延长 BA至E，在/ ABO的内部作射线 BF交x轴于点C,若/ EAC、/ FCA、/
25、ABC的 平分线相交于点 G,过点G作BE的垂线，垂足为 H，试问/ AGH和/ BGC的大小关系如何？请写出 你的结论并说明理由.dB/IX/ *e/ V /G F0 X考点：三角形内角和定理；非负数的性质：绝对值；角平分线的定义。专题：动点型。分析：(1) |x+2y - 5|+|2x - y|=0，非负数的性质得，x+2y - 5%, 2x- y为；由此解不等式即可求得， A、B 两点同时从原点 0出发，点A以每秒x个单位长度沿x轴的负方向运动，点B以每秒y个单位长度沿y轴 的正方向运动， A (- 1, 0), B (0, 2)；(2) 不发生变化.要求/ P的度数，只要求出/ PAB
26、+ / PBA的度数.利用三角形内角和定理得，/ P=180 °-Z PAB -Z PBA ；角平分线性质得，/ PAB= / EAB , / PBA=_ / FBA ,外角性质得，/ EAB= / ABO+90 ° 2 2Z FBA= Z BAO+90 °则可求Z P的度数；(3) 试求Z AGH和Z BGC的大小关系，找到与它们有关的角.如ZBAC，作GM丄BF于点M，由已知 有可得Z AGH与Z BGC的关系.解答：解：x+2y - 5=0(1)解方程组：(2xy=0得：(3 分)y=2 A (- 1 , 0), B (0, 2)；(2)不发生变化，Z P=
27、180°-Z PAB -Z PBA=180° -匚(Z EAB+ Z FBA)=180°- (Z ABO+90 °+ Z BAO+90 ° 2=180°-(180°+180°- 90°2=180°- 135°=45 °(3)作GM丄BF于点M .由已知有：/ AGH=90 ° -/ EACn乙=90°-( 180° -Z BAC )2=Z BAC ,2Z BGC= Z BGM -Z CGM=90。- Z ABC -( 90° - 2Z
28、ACF)=(Z ACF -Z ABC )2=Z BAC2Z AGH= Z BGC .注：不同于此标答的解法请比照此标答给分.考点：三角形内角和定理；平行线的性质。专题：计算题。分析：延长DE交CB延长线于F，根据已知条件，证得 AD / FC;根据两直线平行，内错角相等求得ZA的邻补角；再求出Z A的度数即可.解答：解：延长 DE交CB延长线于 F,vZ 1 + Z 2=90 ° Z DEC=90 ° 即 CE 丄 ED, Z ECB+ Z F=90 ° Z 2+ Z F=90°./Z 1= Z ADE ,/ ADF= Z F, AD / FC,.Z A
29、= Z EBF ,vZ B=75 ° / A=180。-75°=105°.AD/1欧 I占.一" C点评：本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到AD / FC,这是解题的关键.10.如图，Z AOB=90。，点C、D分别在射线 OA、OB上，CE是Z ACD的平分线，CE的反向延长线与Z CDO的平分线交于点F.(1)当Z OCD=50 ° (图 1),试求Z F.J/JB/A0X(1)点评：考查角平分线性质，三角形内角和定理，非负数的性质等知识.9 .如图所示，点 E在AB上，CE, DE分别平分Z BCD , Z ADC , Z 1 +
30、 Z 2=90 ° Z B=75 °求Z A的 度数.(2)当C、D在射线OA、OB上任意移动时(不与点 O重合)(图2) , Z F的大小是否变化？若变化，请考点：三角形内角和定理。说明理由；若不变化，求出Z分析：(1)根据三角形的内角和是180°可求Z CDO=40。，所以Z CDF=20。，又由平角定义，可求Z ACD=130 °所以Z ECD=65 °又根据三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和，可求ZECD= Z F+ Z CDF , Z F=45度. / BOA=180。-丄(/ CAB+ / CBA), 2/ CAB+ / CBA
31、=180。-/ C,/ BOA=180 °-_ ( 180°-/ C) 2=90 ° / C;2(2 )同理可证，/F=45度.解答：解：(1)-/ AOB=90 ° OCD=50 °/ CDO=40 °/ CE是/ ACD的平分线 DF是/ CDO的平分线,/ ECD=65 ° CDF=20 °ECD= / F+/ CDF,/ F=45°180°的定理.题(2)不变化，/ F=45°.AOB=90 °/ CDO=90 °-Z OCD /ACD=180 °
32、-/ OCD ./ CE是/ ACD的平分线 DF是/ CDO的平分线，/ ECD=90。-丄/ OCD / CDF=45。-丄/ OCD .2 2ECD= / F+/ CDF, / F=45°点评：本题考查了三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和，以及三角形的内角和是 目难度由浅入深，由特例到一般，是学生练习提高的必备题.11.如图， ABC中，AE、BF是角平分线，它们相交于点O. (/ABC >/ C),(1 )试说明/ BOA=90 ° / C;n2(2)当AD是高，判断/ DAE与/ C、/ ABC的关系，并说明理由.(2)关系：/ DAE=_ (/ ABC
33、 -/ C).2理由：T/ CAB=180。-/ C -/ ABC ,/ AE是角平分线， / CAE= / BAE= (180。-/ C-/ ABC ),2/ AD 丄 BC, / ADB= / DAE+ / AED=90 °/ C+ / CAE= / AED , / DAE=90。-/ AED=90 °- / C+ (180°-/ C -/ ABC ),2=(/ ABC -/ C).2点评：此题主要考查了三角形外角和定理、角平分线定义、三角形外角性质关键是利用角平分线的性质 解出/ EAD，再运用三角形外角性质求出是解决问题的关键.12.已知 ABC 中，/
34、BAC=100 °(1) 若/ ABC和/ACB的角平分线交于点 O,如图1所示，试求/ BOC的大小；(2) 若/ ABC和/ACB的三等分线(即将一个角平均分成三等分的射线)相交于O,。仁如图2所示,试求/ BOC的大小；(3)如此类推，若/ ABC和/ ACB的n等分线自下而上依次相交于 / BOC的大小与n的关系，并判断当/ BOC=170时,O,。1,。2，如图3所示，试探求 是几等分线的交线所成的角.考点：三角形内角和定理；三角形的角平分线、中线和高。分析：(1)先利用三角形内角和定理可求/BOA=18O。-丄(/ CAB+ / CBA ),以及/ CAB+ / CBA=
35、1802-/ C,即可得出/ BOA=180 °- (180°-Z C)整理得出即可；2(2)根据角平分线定义可求/ CAE= / BAE=£ (180°-/ C-/ ABC ),然后利用三角形外角性质，可先求/ AED，再次利用三角形外角性质，容易求出/DAE即可.解答：解：(1)理由： ABC中，AE、BF是角平分线，圏1考点：三角形内角和定理；角平分线的定义。 分析：(1)根据三角形内角和定理可求得/ / OBC+ / OCB的度数，从而不难/ BOC(2)根据三角形内角和定理可求得/C/ ACB的度数，再根据角平分线的定义可求得ABC+的大小.A
36、BC+ / ACB的度数，再根据三等分线的定义可求得/OBC+ / OCB的度数，从而不难/ BOC的大小.OBC+ / OCB(3) 根据三角形内角和定理可求得/ABC+ / ACB的度数，再根据n等分线的定义可求得/的度数，从而不难探求/ BOC的大小与n的关系.解答：解：I/ BAC=100 °/ ABC+ / ACB=80 °(1厂点0是/ ABC与/ ACB的角平分线的交点，/ OBC+ / OCB=40 °/ BOC=140 °(2)点0是/ ABC与/ ACB的三等分线的交点,/ OBC+ / OCB= °3460(3)点O是/ ABC与/ ACB的n等分线的交点，/ OBC+ / OCB=d°n/ BOC=180。-丄°n当/ BOC=17O。时，是八等分线的交线所成的角.点评：此题主要考查三角形内角和定理和角平分线的应用，要熟记三角形的内角和为180