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1、例说辅助圆的作用 有些问题乍看与圆没有什么联系，解答时添加辅助圆却能使问题方便获解. 一、辅助圆的切线与过切点的半径构成直角 例1 (2021年河南)在正方形中，假设点满足，且，求点到的距离.解 PD=1，是以点为圆心以1为半径的的切线，点为切点，,中， . 作于，那么即为点到的距离. 第一种情况:如图1，当与正方形的边的交点为时. 设，,那么，.,.即,解得,在中，,第二种情况:如图2，当与正方形的边的交点为时.设，,那么，,.即,解得,容易得到，即. 二、角看作辅助圆直径所对的圆内角 例2 (2021年广州)平面直角坐标系中两定点，抛物线 过点，顶点为，点为抛线上一点，当为钝角时，求的取值
2、范围.解 把，分别代入，得，解得抛物线的解析式为如图3，设中点为，由、两点坐标得点坐标为抛物线与轴交于点，连结，那么在中点在为直径的上，这时根据抛物线的对称性可知，抛物线上还存在点关于直线的对称点，也在以为直径的上，这时 点在抛物线上， 当为钝角时，的取值范围是，或. 三、辅助圆为待解直角三角形的旁切圆 例3 (2021年徐州)如图4，正方形的边长为，点、分别在边、上，假设，那么的周长等于 解 如图4，以点为圆心以正方形的边为半径画圆，那么边和与圆分别相切于点和. 作圆的切线，交边于，和圆相切于点，连结、, 那么，又 同理可得 即而射线和在射线的同侧，和重合点和重合与重合圆是的旁切圆的周长等于
3、. 四、所求线段作为辅助回的弦或者直径 例4 (2021年南通)矩形中，为上一点，是上一动点，直线与直线交于点，求线段的长. 解 如图5 在中 取中点，作，垂足为，那么 作的外接圆，且与交于，两点(与距离小于半径).而在直角梯形中， 由于和都与垂直，且点，都在线段上，所以，都符合题意.在中，得在中，得 故的长度为或例5 (2021年济南)如图6，抛物线过轴上点，顶点为，对称轴与轴相交于点，直线与轴相交于点，点为线段上的动点，为直角，边与相交于点.设，试探究:为何值时线段的长度最小，最小长度是多少. 解 由抛物线的解析式得，顶点的坐标为，.是对称轴，是的中点，是的中点，. 如图6，以为直径作，当与轴相切时的值最小(此时点是切点)，否那么当与相离时就成了锐角不合题意;当与轴相交时，有为直角但不是最小. 由，得.连结，那么，即亦即.即的半径为，即时的长度最小，的最小值为. 由上述分析可见，墉助圆具有整合题中信息，提高解题效率的作用，如果不作辅助圆，有些问题利用其他方法可能很难奏效，同学们必须重视这一方法的运用.