《求向量组的秩与极大无关组修改.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《求向量组的秩与极大无关组修改.doc（39页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、求向量组的秩与最大无关组一、 对于具体给出的向量组，求秩与最大无关组1、求向量组的秩(即矩阵的秩)的方法： 为阶梯形矩阵【定理】 矩阵的行秩等于其列秩，且等于矩阵的秩 .( 三秩相等 ) 把向量组的向量作为矩阵的列(或行)向量组成矩阵A； 对矩阵 A进行初等 行 变换化为阶梯形矩阵 B； 阶梯形 B 中非零行的个数即为所求向量组的秩【例 1】 求下列向量组 a=(1, 2, 3, 4)，a2 =( 2, 3, 4, 5)，a3 =(3, 4, 5, 6)的秩.解 1：以 a, a, a为列向量作成矩阵 A，用初等 行变换将 A 化为阶梯形矩阵后可求 因为阶梯形矩阵的列秩为 2，所以向量组的秩为
2、 2解 2：以 a , a, a为 行 向量作成矩阵 A，用初等 行变换将 A化为 阶梯形矩阵后可求 .因为阶梯形矩阵的行秩为 2，所以向量组的秩为 22、求向量组的最大线性无关组的方法方法 1 逐个选录法 给定一个非零向量组 A：?1, ? 2, , ? n 设?1? 0 ，则?1线性相关，保留 ?1 加入 ?2，若?2与 ? 1线性相关，去掉 ?2；若?2与 ? 1线性无关，保留 ?1 ，?2； 依次进行下去，最后求出的向量组就是所求的最大无关组【例 2】求向量组： 1 1,2, 1 T , 2 2, 3,1 T , 3 4,1, 1 T ,的最大无关组 解：因为 a1 非零，故保留 a1
3、取 a2，因为 a1与 a2 线性无关，故保留 a1，a2取 a3，易得 a3=2a1+a2，故 a1，a2 ，a3 线性相关。所以最大无关组为 a1， a2方法 2 初等变换法【定理】 矩阵 A 经初等行变换化为 B，则 B 的列向量组与 A 对应的列向量组有相 同的线性相关性 .证明从略 , 下面通过例子验证结论成立 .向量组： ?1=(1,2,3) T, ?2=(-1,2,0) T, ?3=(1,6,6)由上可得，求向量组的最大线性无关组的方法：1)列向量行变换 把向量组的向量作为矩阵的 列向量 组成矩阵 A； 对矩阵 A 进行初等 行变换 化为阶梯形矩阵 B； A中的与 B的每阶梯首
4、列对应的向量组 ，即为最大无关组【例 3】 求向量组 ： ?1=(2,1,3,-1) T, ?2=(3,-1,2,0) T, ?3=(1,3,4,-2) T, ?4=(4,-3,1,1) T 的秩和一 个最大无关组 , 并把不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示。解 以?1, ?2, ?3,?4为列构造矩阵 A, 并实施初等 行变换化为行阶梯形矩阵求其秩：知 r ( A)=2, 故向量组的最大无关组含 2 个向量而两个非零行的 非零首元 分别在第 1, 2 列, 故?1, ?2为向量组的一个最大无关组1-1事实上， 1， 20011知 r(?1, ?2)=2, 故?1, ?2 线性无关00
5、0102-1为把?3, ?4用?1, ?2线性表示 , 把 A变成行最简形矩阵 A01-12B00000000记矩阵 B=( ?1, ?2, ? 3, ?4), 因为初等行变换保持了列向量间的线性表出性，因此向 量?1,?2,?3, ?4与向量 ?1, ? 2, ?3, ? 4之间有相同的线性关系。因此 ?3=2?1- ?2, ?4=- ?1+2?2【例 4】 求下列向量组的一个最大无关组，其中：解：以给定向量为 列向量作成矩阵 A，用初等 行变换将 A 化为阶梯形矩阵 B 再利用初等行变换，将 B再化成行最简形矩阵 C.初等矩阵 A, B,C初等变换行作用最大线性无关组表示其它向量的方法为：
6、把向量组的向量作为矩阵的列向量组成矩阵A；对矩阵 A 进行初等行变换化为阶梯形矩阵 B； 把阶梯形 B 进行初等行变换化为行最简形矩阵 C； 根据行最简形矩阵列向量的分量，用最大无关组表示其它向量例 5 】 求向量组解：时，故向量组的秩为 3，且，则，则，此时向量组的秩为 3，且2）行向量列变换同理 , 也可以用向量组中各向量为 行向量组成矩阵（即列向量的转置矩阵） , 通过 做初等 列 变换来求向量组的最大无关组。例 6 】 求向量组的一个最大无关组 .解：以给定向量为 行向量作成矩阵 A，用初等 列变换将 A 化为行最简形行向量列变换 )由于的第 1，2，4 个行向量构成的向量组线性无关，
7、故 是向量组的一个最大无关组 . 方法 3 线性相关法 (了解)若非零向量组 A：?1, ? 2, , ? n线性无关，则 A的最大无关组就是 ?1, ? 2, ? 若非零向量组 A 线性相关，则 A 中必有最大无关组二、对于抽象的向量组，求秩与最大无关组常利用一些有关的结论，如：1、若向量组 ( ) 可由向量组 ( )线性表示，则 ()的秩不超过 ()的秩2、等价向量组有相同的秩3、秩为的向量组中任意个线性无关的向量都是该向量组的最大无关. 又设解 法 1 ： 由于所以，故向量组等价，从而的秩为解法 2： 将看做列向量，则有，其中可求得0，即可逆，从而可由线性表示，由已知可由线性表示， 故这两个向量组等价， 即它们有相同的秩 .和向量组 ( ) ：例 7】设向量组 ( ) ：的秩分别为的秩向量组 ( ) ：. 证明：证： 若中至少有一个为零，显然有，结论成立 .若和 都不为零，不妨设向量组 ( ) 的最大无关组为，向量组 () 的最大无关组为，由于向量组可以由它的最大无关组线性表示，所以向量组 ( ) 可以由线性表示，故：的秩