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1、初中数学几何最值问题面面观 在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量(如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差)的最大值或最小值问题，称为几何最值问题.近年来，各地中考题常通过几何最值问题考查学生的实践操作能力、空间想象能力、分析问题和解决问题的能力.本文针对不同类型的几何最值问题作一总结与分析，希望对大家有所帮助. 最值问题的解决方法通常有如下两大类: 一、应用几何性质 1.三角形的三边关系 例1 如图1，矩形的顶点、分别在边上.当分在边上运动时，随之在边上运动，矩形的形状保持不变，其中，运动过程中，点到点的最大距离为( ) (A) (B) (c) (
2、D)分析 如图1，取的中点，连结.,当三点共线时，点到点的距离最大，此时，,., Z 的最大值为. 应选A. 2.两点间线段最短 例2 如图2，圆柱底面半径为2cm,高为cm，点分别是回柱两底面圆周上的点，且在同一母线上，用一棉线从顺着圆柱侧面绕3圈到，求棉线长度最短为 . 分析 如图3，将圆柱展开后可见，棉线最短是三条斜线的长度，第一条斜线与底面回周长、圆柱的三分之一高组成直角三角形. 由周长公式知底面圆一周长为cm，圆柱的三分之一高为cm，根据勾股定理，得一条斜线长为cm，根据平行四边形的性质，棉线长度最短为cm. 3.垂线段最短 例3 如图4，点的坐标为，点在直线运动，当线段最短时，点的
3、坐标为( )(A) (B) (C) (D) 分析 如图4，过点作，垂足为点，过作轴，垂足为. 由垂线段最短可知，当与点重合时，最短. 点在直线上运动， 是等腰直角三角形 为等腰直角三角形点的坐标为，的坐标为当线段最短时，点的坐标为应选B.4.利用轴对称 例4 如图5，正方形，是的中点，点是对角线上一动点，那么的最小值为 . 分析 连结，交于点，连结. 点与点关于对称，的长即为的小值，是的中点，在中 二、代数证法 1.利用配方法 例5 如图6是半圆与矩形结合而成的窗户，如果窗户的周长为8米，怎样才能得出最大面积，使得窗户透光最好?分析 设表示半圆半径，表示矩形边长，那么有,于是， 假设窗户的最大面积为，那么 把代入，有.上式中，只有时，等号成立.这时，由有， 即当窗户周长一定时，窗户下部矩形宽恰为半径时，窗户面积最大. 2.利用一元二次方程根的判别式例6 ：，且，求的最小值.解 令，代入， 去分母，整理，得为实数，或，.故的最小值为8.