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1、精品文档余弦定理证明Z C对边为c，/ B对边为b，/ A对边为a ->BD=cosB*c ，AD=sinB*c ， DC=BC-BD=a-cosB*c 勾股定理可知：AC2=AD2+DC2 b2=(sinB*c)2+(a - cosB*c)2b2=sin2B*c2+a2+cos2B*c2 -2ac*cosB b2=(sin2B+cos2B)*c2 - 2ac*cosB+a2 b2=c2+a2-2ac*cosB 所以， cosB=(c2+a2 - b2)/2ac2如右图，在 ABC 中，三内角 A、B、C 所对的边分别是 a、 b、c . 以 A 为原点， AC 所在的直线为 x 轴建立
2、直角坐标系， 于 是 C 点坐标是 (b ，0) ，由三角函数的定义得 B 点坐标是 (ccosA ， csinA) . A CB = (ccosA -b , csinA).现将CB平 移到起点为原点 A，贝U AD = CB .而 |AD| = |CB| = a , Z DAC = nZ BCA = nC , 根据三角函数的定义知 D点坐标是(acos( n-C) , asin( nC)即 D 点坐标是(-acosC ， asinC), a AD = ( -acosC ， asinC)而 AD = CB A ( -acosC ， asinC) = (ccosA-b ，csinA) A asi
3、nC = csinA ?-acosC = ccosA- b ?购 由得 asinA = csinC，同理 可证 asinA = bsinB ，A asinA = bsinB = csinC . 由:芒爭峯eiu ATY Yqj丸+陀二日SO"帥"割gsooSes- + e= q 甲(gsooAoeA- e+ op)/v (乙儿)二 (gsooAoe-(乙 /e)+/AemP=OLU=quu(e-丸+q乙)丿八(S/L)=(AS-丸 + 陀卜 e+ ?八(2) L) =eiu:芒爭峯eiu atY Y qj丸+陀二日so*)帥"割 gsooAoes- + e= q
4、甲(gsooAoeA- e+ op)/v ( 乙儿)二(gsooAoe- (s/e)+ o)/v =eiu( ( q+e)乙八 )(s/0=olu(q-( o+ 可乙八) L)=qA宙华碣岳騎出阴丁日 W0O 日率 oqe 华碣岳率三阴 oavvc 。古马血理琵爭忍琴吐琵爭忍卫刑低Osooqes-sq + 乙 e 二乙 o gsoooeAo + se =乙 q'vsoooqs- so + sq = 茅?/ VSUisAo = osuisAe 割也甲里 H 乙 qs 乙 s 乙 o + ysoooqs-sq = 0 乙 qs 乙&乙 e g H 乙 soo 乙 o +精品文档ma=(1/2) V4c +a -(2a +2c -2b )=(1/2) V(2b +2c -a )证毕。