参数估计1.doc

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1、二阶原点矩为 E(X2) = D(X) E(X)f 二 mp(mp p 1)。参数估计1,设总体XU(O,b),B 0未知，Xi,X2,，X9是来自X的样本。求b的矩估计量。今测得一个样本值 0.5, 0.6, 0.1, 1.3, 0.9, 1.6, 0.7, 0.9,1.0,求b的矩估计值。解：因为总体X U(0,b)，所以总体矩E(X)二b/2。根据容量为9的样1 9本得到的样本矩X二一、Xi。令总体矩等于相应的样本矩：E(X)= X ,9 y得到b的矩估计量为ff.2X。把样本值代入得到b的矩估计值为3 = 1.69。0 ： x :其他，参数未知,2,设总体X具有概率密度fx(x)二刍W

2、-x)0X-X2,，Xn是来自X的样本，求二的矩估计量。解：总体X的数学期望为E(X)二2x(x)dx,令E(X)二X可得二的 0。3矩估计量为3-3X。3,设总体 X B(m, p),参数 m, p(0 ： p ：1)未知，XX?, ,Xn是来自 X 的 样本，求m,p的矩估计量(对于具体样本值，若求得的m不是整数，则取与m最接近的整数作为m的估计值)。解：总体X的数学期望为E(X)二mp , D(X)=mp(1-p),令总体矩等于相应的样本矩:_ 1 “E(X)二 X , E(X2) = A2Xi2n y2 得到？" XA2,用二。X 'X+(X2 -A24 , （ 1

3、）设总体X（），.0未知，Xi，X2，,Xn是来自X的样本，Xi,X2,Xn是相应的样本值。求的矩估计量，求的最大似然估计值。（2）元素碳-14在半分钟内放射出到达计数器的粒子数 X（），下 面是X的一个样本：6496101163710求的最大似然估计值。解：（1）因为总体的数学期望为，所以矩估计量为？=X。n.Z Xi 、n 7勺厶一扎 7 i 士厶扎似然函数为 LC ）=二e 严 ，相应的对数似然函数为! 唆！n_n1In L（ ） = In ；，二 Xj n一 In 一 一 人！。i#g 令对数似然函数对的一阶导数为零，得到的最大似然估计值为1 n?=_ Xi = X On i壬（2）根

4、据（1）中结论，'的最大似然估计值为？=X=7.25， （ 1）设X服从参数为p（0 ： p ： 1）的几何分布，其分布律为PX =X =(1 p)2p,X"2。参数p未知。设XX2,Xn是一个样本值, 求P的最大似然估计值。(2) 一个运动员，投篮的命中率为p(O：p",未知)，以X表示他投篮 直至投中为止所需的次数。他共投篮5次得到X的观察值为51749求p的最大似然估计值。nn .V Xi _n解：(1)似然函数为 L(p) (1 一 p)2pL(1 _ p)Tpn，相应的对数似然函数为In L( p) = ' Xj - n In(1 - p) n I

5、n p。令对数似然函数对p的一阶导数为零，得到p的最大似然估计值为n 10 二vXXii吕(2)根据(1)中结论，p的最大似然估计值为0=4 =-。X 266,( 1)设总体 X N(,2)，参数匚 2 已知，(-：；：)未知，X1,X2/ ,Xn 是来自X一个样本值。求的最大似然估计值。(2)设总体 XN(*；2)，参数已知，二2 (二 2>O)未知，X1,X2/ ,Xn 为一相应的样本值。求二2的最大似然估计值。n解：(1)似然函数为 LL)上 1 eW，相应珂寸莎j畅邛的对数似然函数为令对数似然函数对(2)似然函数为对数似然函数为令对数似然函数对ln L(9 一n 2I ”2 J。

6、2匚2的一阶导数为零，得到的最大似然估计值为e、2二二2匚2n(x -i _LJ22二；二2的一阶导数为零，得到二2的最大似然估计值为7,设X!,X2, ,Xn是总体X的一个样本，X!,X2, ,x为一相应的样本值。(1)Xe"总体X的概率密度函数为f (x)-200 ： V(2)(3)求参数二的最大似然估计量和估计值。总体X的概率密度函数为f(x)二2e求参数r的最大似然估计值。-x/ T1设XB(m, p), m已知，0 p ： 1未知，求p的最大似然估计值。解：(1)似然函数为心+"U X 餐x八心e ，相应的对数似v2n然函数为nnln L(v) -、 ln xi

7、-2nln v - ' xi /v。i 4令对数似然函数对，的一阶导数为零，得到二的最大似然估计值为2= 1 J Xi =x2n i二 2相应的最大似然估计量为込。n -似然函数为L谓2。Xi3e"_ 2 nXiXi/1i-，相应的对数似然2 二函数为nnIn L()=二 2ln xi 3nl n生)Xj /二。i7令对数似然函数对二的一阶导数为零，得到二的最大似然估计值为n彳1 X>Xi3n i 吕3(3)因为 X B(m, p),其分布律为 PX 二 x =cmpx(1 - p)m： x = 0,1,2, mnnr, nX ximn 臣 x所以，似然函数为 l（p）

8、二二 Cm，pXi（1 - p）gcm pv （1-p）i-，nxiCmi d相应的对数似然函数为nxim 。L( p)二 ln p Yxj mnxi ln(1 - p)二 ln CimIimi=1令对数似然函数对p的一阶导数为零，得到p的最大似然估计值为8,设总体X具有分布律X123Pk日22日（1 -日）(1-日)2其中参数二（0 “门）未知。已知取得样本值X! =1,X2 =2x =1,试求二的 最大似然估计值。解：根据题意，可写出似然函数为3L（RPX 二 Xj-，2巩1-旳 丁=2丁（1-巧，71相应的对数似然函数为In L（R =1 n2 5ln 二 l n1（-旳。令对数似然函数

9、对二的一阶导数为零，得到二的最大似然估计值为彳= 5/6。9，设总体 X N（一八二2）， YN（-2）， : 未知，二 2 已知，Xi,X2, ,Xn和丫1, 丫2, ,Yn分别是总体X和Y的样本，设两样本独立。试 求:最大似然估计量。解：根据题意，写出对应于总体X和Y的似然函数分别为12 二"n 一 4狷22；孑n_7 (Y -I-)2=.、2 - '二2,相应的对数似然函数为n2Z(X -P)2_ nIn L(二 -空 2 In . 2二;2b2Z(Y +0)2 nIn L(x) = _旦 2 In . 2二；：2b2令对数似然函数分别对和一 一：的一阶导数为零，得到a

10、 + p = Xa -P =Y 'J算出最大似然估计量分别为八 ,? = X 一丫。2 210， ( 1)验证均匀分布U(0,旳中的未知参数二的矩估计量是无偏估计 量。(2) 设某种小型计算机一星期中的故障次数 丫 沢仏)，设YUM是 来自总体丫的样本。验证丫是 的无偏估计量。设一星期中故障 维修费用为Z =3Y Y2，求E(Z)。n解：n i 1(1)均匀分布U(0,"中的未知参数的矩估计量为? = 2X。由于E(为=2E(X)=2 ，所以么2X是二的无偏估计量。2(3) 验证U =3Y -x Yi2是E(Z)的无偏估计量。_ 1 n1_(2)因为E(Y)二-a E(YJ二

11、-n，所以丫是的无偏估计量 n i仝n E(Z) =3E(Y) E(Y2) = 3， C 2)=421223n() = 4.n二 E(Z)，_1 n(3)因为 E(U ) =3E(丫)E(Y2)二n i#所以，U是E(Z)的无偏估计量11,已知Xi,X2,X3,X4是来自均值为二的指数分布总体的样本，其中二未知。设有估计量11T-(Xi X2)十3 X4)，63T2 二(X1 2X2 3X3 4X4)/5，T3 =(X1 X2 X3 X4)/4。(1) 指出T1 ,T2,T3中哪几个是二的无偏估计量。(2) 在上述二的无偏估计量中哪一个较为有效？解：(1)因为1111E(T1)(E(X1)-

12、E(X2) -(E(X3)E(X4)(旳旳6363E(T2)=(E(XJ 2E(X2)3E(X3)4E(X4)/5 = 2r，E(T3)=(E(XJ Eg Eg) E(X4)/4。所以，兀是二的无偏估计量。(2)根据简单随机样本的独立同分布性质，可以计算出1 1 122222D(TJ(D(XJ D(X2) -(D(X3)D(X4) L r ) 一L r) =5/18369369D(T3)=(D(XJ Dg) D(X3) D(X4)/16"2/4 ： D(T1)，所以，T3是比T1更有效的无偏估计量。12，以X表示某一工厂制造的某种器件的寿命(以小时计) ，设 X N(打296)，今取

13、得一容量为n二27的样本，测得其样本均值为x =1478，求(1)"的置信水平为0.95的置信区间，(2)"的置信水 平为0.90的置信区间。解：这是一个方差已知的正态总体均值的区间估计问题。根据标准的（1）的置信水平为0.95的置信区间为147,0.025 历J=(1478 土临 x 1.96 )= (1478 ±13.58 )=(1464.42,1491.58 )。（2）的置信水平为0.90的置信区间为结论,J的置信水平为1 -:-的置信区间为J1296g .27 Z0.05=1478 _ .48 1.645 二 1478 _ 11.40 二 1466.60,

14、1489.40 。13,以X表示某种小包装糖果的重量（以g计），设X N（4,4），今取 得样本（容量为n =10）：55.95, 56.54, 57.58, 55.13, 57.48, 56.06, 59.93, 58.30, 52.57, 58.46（1）求的最大似然估计值。（2）求的置信水平为0.95的置信区间。解：（1）根据已知结论，正态分布均值 亠的最大似然估计量和矩估计 量相同：？二X。所以J的最大似然估计值为¥ = x二56.8。（2）的置信水平为0.95的置信区间为56.8 土宴Z0 025 =（56.8士0.4 汉 1.96 ）=（56.8±1.24 ）=

15、（55.56,58.04 ）。I 山0 丿14, 一农场种植生产果冻的葡萄，以下数据是从30车葡萄中采样测得的糖含量（以某种单位计）16.0, 15.2, 12.0, 16.9, 14.4, 16.3, 15.6, 12.9, 15.3, 15.1 15.8, 15.5, 12.5, 14.5, 14.9, 15.1, 16.0, 12.5, 14.3, 15.415.4, 13.0, 12.6, 14.9, 15.1, 15.3, 12.4, 17.2, 14.7, 14.8设样本来自正态总体N（U2） , <c2均未知。（1）求讥二2的无偏估计值。（2）求J的置信水平为90%的置信区

16、间。解：（1）叫;2的无偏估计值为一 2 1 " - 2? = x =14.72， s（Xi-X） = 1.9072。n 1 i（2） J的置信水平为90%的置信区间为( s 、'1.38075、x ± t°.05 (n -1) 1心n丿14.72 ± l x 1.69911v 30=14.72 _ 0.4281=114.292, 15.14815，一油漆商希望知道某种新的内墙油漆的干燥时间。在面积相同的12块内墙上做试验，记录干燥时间（以分计），得样本均值X =66.3分, 样本标准差s=9.4分。设样本来自正态总体N0f2），J L均未知。求

17、 干燥时间的数学期望的置信水平为 0.95的置信区间。解：这是一个方差未知的正态总体均值的区间估计问题。根据已知结论，干燥时间的数学期望的置信水平为0.95的置信区间为-10.025. n66.3 -9.4,122.2010 二 66.3 -5.97 二 60.33,72.27。16，Macatawa湖（位于密歇根湖的东侧）分为东、西两个区域。下 面的数据是取自西区的水的样本，测得其中的钠含量（以 ppm计）如下：13.0, 18.5, 16.4, 14.8, 19.4, 17.3, 23.2, 24.9,20.8, 19.3, 18.8, 23.1, 15.2, 19.9, 19.1, 18

18、.1,25.1, 16.8, 20.4, 17.4, 25.2, 23.1, 15.3, 19.4, 16.0, 21.7, 15.2, 21.3, 21.5, 16.8, 15.6, 17.6设样本来自正态总体N(,二2) , <c2均未知。求的置信水平为0.95的置信区间。解：根据题中数据，计算可得样本均值x =19.07，样本方差3.245。J的置信水平为0.95的置信区间为'1 s3.245、x士t°025(n 1) 1= 19.07±=尤2.0395 l=(19.07±1.17 )=(17.90,20.24)I Jn丿 iV32丿17, 设

19、X是春天捕到的某种鱼的长度(以cm计)，设X N(*2)，C2均未知。下面是X的一个容量为n =13的样本：13.1,5.1, 18.0, 8.7, 16.5, 9.8, 6.8, 12.0, 17.8, 25.4, 19.2, 15.8, 23.0(1) 求匚2的无偏估计；(2) 求匚的置信水平为0.95的置信区间。解：根据题中数据计算可得s 37.75。(1)方差二2的无偏估计即为样本方差s 37.75(2)二2的置信水平为0.95的置信区间为2 、(n-1)s12X37.75'0.975 (n -23.337(n -1)£0.025 (n -1)鱼卫=19.414.40

20、4102.86，所以匚的置信水平为0.95的置信区间为(n- 1)s2 j "0.025 ( n -1)(n -1)s20.975 (n-1)二 19.41,102.86 1=4406, 10.142。18, 为比较两个学校同一年级学生数学课程的成绩，随机地抽取学校A的9个学生，得分数的平均值为Xa =81.31，方差为sA = 60.76；随机 地抽取学校B的15个学生，得分数的平均值为x 78.61，方差为 sB =48.24。设样本均来自正态总体且方差相等，参数均未知，两样本 独立。求均值差的置信水平为0.95的置信区间。解：根据两个正态总体均值差的区间估计的标准结论，均值差的

21、置信水平为0.95的置信区间为Xa_ XB-S12.7 Sw9m n2 -2)2.7 一 Sw0.025(22)1一t0.02515(22)2.7 _ 7.266112.0739丫 915二 2.7 _ 6.35 1=：一3.65, 9.0519, 设以X,Y分别表示有过滤嘴和无过滤嘴的香烟含煤焦油的量（以mg 计），设 XN 岸 x,O2X），YN（比,仃2丫），卩 x*Y®2X,Oy2 均未知。下面是两个样本X: 0.9, 1.1,0.1, 0.7, 0.3, 0.9, 0.8, 1.0, 0.4Y: 1.5, 0.9, 1.6, 0.5, 1.4, 1.9, 1.0, 1.2,

22、 1.3, 1.6, 2.1两样本独立。求二2X/二2Y的置信水平为0.95的置信区间 解：根据题中数据计算可得s2x二，s2y二。（未完）根据两个正态总体方差比的区间估计的标准结论， 宀小的置信水平为0.95的置信区间F°.025(8,1O) £2sx況 4.30 =(0.148,22.446)。20, 设以X,Y分别表示健康人与怀疑有病的人的血液中铬的含量（以10亿份中的份数计），设XN（x,匚2x），丫 N（X2y），xyLx,；y2 均未知。下面是分别来自X和Y的两个独立样本：X: 15, 23, 12, 18, 9, 28, 11, 10Y: 25, 20, 35

23、, 15, 40, 16, 10, 22, 18, 32求二2x/；2y的置信水平为0.95的单侧置信上限，以及二X的置信水平为 0.95的单侧置信上限。解：根据题中数据计算得到sX二6.82二46.24，sY二9.6272二92.68。；2x /；2y的置信水平为0.95的单侧置信上限为2Xs2X2sy1F°.95（7,9）46.24 3.68 = 1.836。92.68二2X的置信水平为0.95的单侧置信上限为2（8-怩 爲5（8-1）7 46.242.167= 149.37，所以，二x的置信水平为0.95的单侧置信上限为（8-1）Sx27刁：95（81）"49.37 =12.22。21, 在第17题中求鱼长度的均值的置信水平为0.95的单侧置信下 限。解：根据单侧区间估计的结论，正态总体均值 ，的置信水平为0.95 的单侧置信下限为st0.05（n -1） =14.716.144”131.7823 =11.6722, 在第18题中求-t的置信水平为0.90的单侧置信上限。解：两个正态总体的均值差的置信水平为0.90的单侧置信上 限为=(Xa XB )+SwJ+丄to J22) =2.7+7.266x0.422x1.3212 = 6.75。.915 .