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1、参数估计练习题1. 指出下列分布中的参数，并写出它的参数空间:(i)二点分布；(ii) 普哇松分布；(iii)在0,上的均匀分布；(iv)止态分布N , 2 .解:i P0,1 ； ii0,； iii0,； (iv ),02.设 1,n是来自二点分布的一个子样,试求成功概率p的矩法估计量.解:EPP 3.已知母体均匀分布于，之间,试求，的矩法估计量1212得Sn23Sn，2 一 3Sn.第16页解:Ea02x2 a x dx a-令a_33得 a? 3；5.在密度函数f xa1 xa,0 x 1中参数a的极大似然估计量是什么？矩法估计量是什么？解:(1)Lnin” n ” n1 xi1xii
2、10人1iInLn ln1Innln LXi .令i 1nlnXj 0，得1i 1?L1 -nn0ln xii 12由于lnL2n 20 故?l1 n n是极大似然估计1ln xi2a x ,0 xa0,其它i 1a中参数a的矩法估计量4.对容量为n的子样，求密度函数f x; a 由E 1令126.用极大似然法估计几何分布p1 p k1,k 1,2,中的未知参数p.解:L ppn 1 pXi，令ln L p2 nxX 1?丄是P的极大似然估计7.设随机变量的密度函数为f的子样，试求的极大似然值.ln L12Xi0。得？ 1Xin又n2故?L8设1, n是取自均匀分布R的母体的一个子样,其中.试
3、证:的极大似然估计量不止一个，例如n 1,i都是的极大似然估计量.1的密度函数为X其它X1 x n其它即凡满足？ x1 xn均为的极大似然估计从而?'1满足此条件，故？是的极大似然估计由于?'21,所以也是的极大似然估计由于从而?也是的LM.9.设解:的密度函数为f1eXimXj 22 2Xj 0两边对数并分别对2求寻,并令其为0,得似然方程组In Xj，解得In xiIn x经验知2的LM为:lnxi?2In Xjn是取自对数正态分布母体的一个子样，即1n N，试求:的期望值E和方差D的极大似然估计/ In x 21 2 2x e 2 dx 0 x1从而E exp ?2n的子
4、样；其中有k个白球,10. 一个罐子里装有黑球和白球，有放回地抽取一个容量为 求罐子里黑球数和白球数之比 R的极大似然估计量解:设罐子里有白球x个,则有黑球Rx个，从而共有R 1x个球,从罐中有放回地抽一个球为白球的概率为：冷 宀，黑球的概率为光.从而抽球为二点分布Rn k.似然方程为0。从而解得R - 1.可k验证这是R的极大似然估计11.为检验某种自来水消毒设备的效果，现从消毒后的水中随机抽取50升,化验每升水中大肠杆菌的个数（一升水中大肠杆菌的个数服从普哇松分布）,化验结果如下:大肠杆菌个数/升0 123 4 5 6升数17 20 10 2 1 0 0试问平均每升水中大肠杆菌个数为多少时
5、，才能使出现上述情况时的概率为最大解:由，设一升水中大肠杆菌个数k = e , k 0,1,2,又 E k!.故问题为求的极大似然估计由LXin e Xi!，可得?L ".由观测值代入求设-1 .故每升水中大肠杆菌的个数平均为 1时，出现上述情况的概率最大12.设是取自二维正态母体N 0,0, 12的一个子样,求12, 22和的极大似然估计解:由 L12, 22n12彳 2 空12 12 exp2 12Xi212Xi yi可得似然方程为11 211 22X i212yi222Xi 2iXiyi21 2Xiyi1Xiyi2yi22Xi%将(1),(2)代入得:nXi yiXi由(4)代
6、入(1),(2)得似然估计:13.从四个正态母体(它们都有同样的方差2)中,各抽一个容量为n的子样，第i个子样的观测值为1,2, ,n,i1,2,3,4,若四个母体的平均数分别为a b c, a bc, ab c, a bc,试求 a, b, c和2的极大似然估计解:L a,b,c, 24n112Texp六X1j2 j 1两边取对数后对a,b,c分别求导，令其均为0,即得a4 X1 X2X3X4,1 -4X1X2X3X4 ,1 -4X1X2X4。对2求导代入召,b,c?得2丄4n j 1X1j a?I?14.考虑某种离散分布Pxax,x 0,1,2,，其中对某些x可能有ax0, f有连续导数，
7、设i, , n是取自具有这种分布的母体的一个子样.i证明 的极大似然估计是方程-f一 E的一个根，这里的极大似然方程与矩法方程相同.ii试求为了估计下列分布而需要的极大似然方程的显式 ，这些分布是普哇松分布、二 项分布.解:(1)证xiaxaxiXjIn Lnaxxi lnnIn fXi对求导得Xinf.又由i 1Xax1 知 fnx axi 1从而EaxXi 1x 1axXi 1ax所以似然方程可写为E这与矩法方程一致.xex!Xax 其中1x!从而f e故似然方程的显式为Xax-nf1对二项分布:Pn axx故似然方程的显式为np.15.设 1是取自双参数指数分布的一个子样,密度函数f X
8、；寸el 1，其中2q,其它,02.试求参数1和2的极大似然估计和矩法估计解:LM 估计 L111 , 2n expXi n 1 ， X 11.12U JL o故 lnL 是1的递增函数，1取到最大可能值时可使InL达到最大，故！的极大似然估计为?由一u 0可解得2的LM这(2)矩法估计由于X 2e 2 dx2222故由22Sn2?'1Sn.16.设为取自参数为的普哇松分布的一个子样.试证子样平均 和2Sni ")2都是的无偏估计.并且对任一值sn2也是的无偏估计.证:对普哇松分布有E D ,从而E_*2-ESnGE故与Sn2都是的无偏估计又E* 2Sn故12Sn也是的无偏估
9、计.17.设n，为取自正态母体N ,2的一个子样，试适当选择c,使2i为2的无偏估计.相互独立可知从而ES2 cE i2 2E i 1E i c2 n 1 E12 2 n 1 E时,sn为2的无偏估计.18设母体 的数学期望为，方差D2.又设1 1 21 , n1和 122为取自此母体的两个子样.试证:S2n11n22n12“门n222 - 2 2 ii 12的无偏估计n j1 jnj i 1,j 1,2.证:ES21n2n1-E2 i 1n21n1 n22 n12n2故S2是2的无偏估计.19.设随机变量服从二项分布,x 0,1,n试求2无偏估计由于E20.从而当抽得容量为N的一个子样后,2
10、的无偏估计为:?从而E221.设是取自参数为的普哇松分布的一个子样,试求2的无偏估计.故E"所以2的无偏估计为2-2n,n是取自正态母体N11 a 曰a0, 1 a 疋i的密度函数为f Xi，则f x1f xn dx12的一个子样，试证对任一固定的a,的无偏估计，其中 x是N 0,1的分布函数.,n的联合密度函数为f Xi从而i 1adXnf X1 dX1故(1, n)是 a的无偏估计.22.设1, n是取自母体 的子样，的分布函数F X；,为未知参数,1 , n疋的个有偏估计，且En-，其中a1是仅与有关的一个函数，为了减少偏性，常要用如下的“刀切法”。设i是把原来子样中第i个分量
11、剔除,再以留下的容量为n 1的子样所得的估计量，并且匚与 的估计公式是有同样的形式,则可证明是的无偏估计,1称为的一阶刀切估计 in 1证:E 1 nE?E ? nn i 123.设1, n为取自正态母体N2的一个子样，证明n2Son 1n 12 S1 n2都是的无偏估计,其中Son2 1一in i 1证:(1)nSo22_则Y的的密度为而此时S02则?2利用(1)类似的方法可证E ?1?1也是的无偏估计24设1, n是取自均匀分布母体R的一个子样,min分别取做，的估计量，问，是否分别为，的无偏估计量？如何修正，才能获得,的无偏估计.解:i的密度函数为f Xi1Xi0其它0X其分布函数为F为
12、Xi1XiXi从而？的密度为?的密度函数为f xX nn 11n 1n xXmaxi:故？ ？均不是，的无偏估计为得到无偏估计可作如下修正从E?讥可得 将它代入E?中得:E? nE ? n从而 E所以 与 的无偏估计分别为: 25设1, , n是取自均匀母体Ra,a 1的一个子样，证明估计量皆为参数a的无偏估计，并且D a2O D a1这里0 D a1表示与D a1同阶证:由母体的密度函数为fX1X10其它0X其分布函数为F xXX11X1则n的密度函数为fn Xn xn 1X1由于E1知E 11 122 2由n的密度函数知:E n1n 1nn xxdxn1故E ?2,所以?1与?2均为的无偏
13、估计112n第10页又由12n所以OD ?126设,n为取自正态母体N的一个子样，在下列三个统计量2的无偏估计，哪一个对2的均方误差E Si22 $ 最小,i 1,2,3.解:记S2"2,则S22从而ESn n2DS 2 n那么由此可知所以只有S12是2的无偏估计.E S1DS12而 E S22S22n 1故S22的均方误差最小.27.设n是取自均匀分布在1,1上的母体的一个子样1 max2 1 i nmin i 都是1 i n的无偏估计，并指出哪一个方差较小-且12的密度函数为12其它它们的联合密度为x, y12 y其它由此可知E 1xdx所以E?1= , E即?1， ?2均为无偏
14、估计,它们的方差分别为2dyds2n 1 n 2当 n 2 时，D?i=D?2，当 n>2 时,112n,即 D?1>D?2,2 n 1 n 2? s 1 s 11D2二 s 1 s 2 X yn n 1 y第20页所以?2的方差较小。28设 111, n 和 221,是参数的两个相互独立的无偏估计，且方差D 1 2D 2 .试求常数k1和k2,使得k1k2 2是的无偏估计，且在一切这样的线性估计类中方差最小.解:设D ?22,则D?为使k2?2即k1 1 k2 2则只需klk2要使 D k1 ?1 k2 ?k12D ?1k22D ?k122 22 1k22 2k12 k222达到
15、最小,则需选取2k12k22 在 k1k21条件下达到最小.用k21 &代入2k12 k22，2k121 k1 2则由df k1dk1得k1， k2 f所以当k11 2?k23时可使k11k22是这类线性估计量中方差最小的无偏估计29.设1, 2是取自正态母体N,1的一个容量为2的子样,试证明下列三个估计量都是的无偏估计量1- 11 233并指出其中哪一个方差最小.12均为的无偏估计，且?3的方差最小.E i ， 显然。 而D 19,D 25，D 330.设随机变量均匀分布在0, 上, 1, 2, 3为取自此母体的一个子样， 试 证:max i,24 min i都是 的无偏估计，并指出
16、哪一个方差较小.3 i解: R 0,可知1 , 3的密度函数为3dx从而 E 1 X x2dx 4E?2，2D ?. D ?15D?2?1的方差最小.31.设k是参数的k个无偏估计，它们的方差与协方差矩阵为2v2ij ，其中ijijCOV证明:在线性组合类C11Ckk : C1, Ck是实数中的最小方差无偏估计是CikVijj 1kVijj 1且最小方差kijj 1其中ij是矩阵V的逆矩阵中的元素.解:证:由ECiE ?CiCi1.k而 D ci2Di 1CiCj COVCij viji 1 j 1因此问题变为在Ci1的条件下，找C1Ck使得C CjVjj 最小.CiCjVijCiCi5Vij
17、i=1,2,kC1此即有矩阵Vciv1 1Vij从而Vijj 1Ci k kvij1,2,k.，此时的方差是第22页232设1, n是取自正态母体N2的一个子样，试证:S 2 1 nSnin 1 i 1是2的一致估计.解:证由于*2n 1 Sn2n 1 .， 故ESn22 ，4*2DSn2 2 n 1n 1因为2 n的期望为n ,方差为2n)据契比可夫不等式有*2P Sn*2DSn2-2故S；是2的一致估计.33.设是取自均匀分布在0,上的母体的一个子样，试证:max 1, n是的一致估计.?的密度为0 x其它从而E?E?212?P? nPn 1n 1PE?34.设4n 2120.,故？是的一
18、致估计.(i)Sn2(ii)是取自正态母体Xi2的一个子样，其中为已知，证明2的有效估计；ESn2的无偏估计，并求其有效率.DSn2n2的密度函数为第24页2f x 1 ev;2x2"2故In f1ln2对2求导得:ln f2从而Eln fln L2 2R下界为Sn22的有效估计.ii由于E故E ?，即？是C1nD ?2-D1i2n 2 i.2Xidxye2y_Tdy的无偏估计.E In f12故C R下界为2n6.35 设证:由于又E i2从而DE2n?的有效率为2n2 22n2n0.876是取自具有下列指数分布的一个子样i 是的无偏、致、有效估计。xxe dxx2dxln的无偏估
19、计.22nx1e , x0,其它x022第26页20故C R下界为因此是的有效估计第28页另外，由契比可夫不等式P所以还是的一致估计.36.设母体服从珈玛分布,其密度函数为e xx 1,x 00,其它其中a为已知常数，设1, , n为取自这一母体的一个子样，为子样均值.1 .试证一为g的无偏、有效估计.a由于E 0dx ，故 E 1即一为g 的无偏估计.1dx再根据密度函数为求得:E In f故g 的C R下界为gn即D ()达到C R下界，所以一是g的有效估计.37.设1, n为独立同分布随机变量，其分布为二点分布P( i=x) = p xq1-x, x=0,1,其中p+q=1.试证明:下述
20、统计量都是p的充分统计量,n的联合分布是f %, xxnxip 1 pXi0,1则取总=p x 1 p n xik2 1,由因子分解定理可知:S1,S2 ,Sn均为P的充分统计量38.设1, n是独立同分布随机变量都服从f x; 1 x,x 0,1,2,01，则Tni是 的充分统计量i 1证:由于1, n的联合密度为f%, X n 1XiXi0,1,2,取k1n 1 字 k2 1，则由因子分解定理知Tn是的充分统计量第36页e xx 1,x 00,其它kx e x ,x 00,x 0其中k为已知常数，是参数,试证:ni 当，已知时，i是关于的充分统计量i 1nii 当，已知时，i是关于 的充分
21、统计量i 11 1x143.设1, 2, n是来自密度函数为 f x; e2n试证:Tn| i是关于的充分统计量.x的母体的子样n39. 设1, , n是独立同分布随机变量，都服从具参数为的普哇松分布，则Tni 1 是关于的充分统计量.xi证:由于1, n的联合密度是f兀 &e n Xi 0,1,2Xi!取k12xie n ., k2xj1,则由因子分解定理知:Tn是充分统计量.40. 试证:充分统计量T的一一对应的变换仍是充分统计量.试举出具体例子.41.设1, n是取自珈玛分布的一个子样，其密度函数为f x;n试证:i a已知时，i是关于 的充分统计量i 1nii 已知时，i是关于
22、a的充分统计量i 1,威布尔分布密度函数42.设1, n,为取自具有三参数威布尔分布的母体的子样44.设随机变量 服从二项分布bn, p ,求pl p的UMVUE.45.设!, n是取自珈玛分布的一个子样，其密度函数为f X；e Xx 1,x 00,其它为已知常数，试求未知参数 的UMVUE.46.设1, , n是独立同分布的随机变量，其分布是均匀分布R0, ,01 °其密度函数f X； ,0 X ,试证:0,2 1是的无偏估计；ii E是的无偏估计.n47.某厂生产一种产品，这种产品包装好后按一定数量放在盒子里，检验员从一盒里随机地抽取一个容量为n的子样,并逐个检查每个产品的质量.
23、假如子样中有三个或更多个废品，那么这一盒被认为是废品,退回工厂，但厂方要求检验员一定要把每盒检查出的废品数通报厂方i假如产品的废品率为p0 p 1,求任一盒通过的概率；ii假如检验员通报厂方的数据如下:在检查过的r盒产品中，发现它们的废品数分别为1,证明:1,若第一盒被接受0,若第一盒被拒绝是的无偏估计riii 令T i.试求Ei 11 T ,并指出这是的UMVUE.证明：COV T, 0, .49.设 1, 2,n为取自正态母体N(,2)的一个子样，为未知参数，试证S21 nin i 12是2的有效估计.48.设 T是参数的UMVUE,是的任一无偏估计，且对一切D证：因为密度函数f x;、2
24、取对数后得Inf x;In 2求对2的二阶偏导数匚讪22112 262 42 424 n从而得出罗一克拉美下界为 ，由于S2- i 2服从2nnniinS2一 一 2 42n,于是推得DS2 -，因而S2是2的有效估计.n50设1, 2, n为取自正态母体N(2)的一个子样，为未知参数，试证:S；2不是2的有效估计.证：因为密度函数f x;,21e-，22Inf x;22xIn 22取对数后得求对2的二阶偏导数E 2lnfJJ22112 262 42 424?2从而得出罗一克拉美下界为，由于n 12 -服从2n 1n?2 12 n 1 于是推得D ?2因而sn2不是2的有效估计.51.设母体具
25、有均匀分布,密度函数为f(x;丄，0 x ,00,其他求未知参数的矩法估计，并证它为无偏估计解：由于E = 0 xdx 10 ,用矩法估计得方程=一0 2 2 2解这个方程，得的估计 ？ 2。因为E ? 2E_ 2E 2 -2所以？ 2一是的无偏估计52.设母体具有均匀分布,密度函数为f(x； )-，0 x ,0,求未知参数0,其他极大似然估计，并求其期望.解：设1, 2, n为取自这一母体的一个子样，似然函数1L ; xi, , xnr, 0 Xi , i 1,2, , n.是 的一个单值递减函数，由于每一个K，最大的次序统计量的观测值xnmaxxi,在0 Xi, i 1, ,n,中要使1
26、i nL ；x1, , xn丄达到极大，就要使达到最小，但不能小于x(n)，否则子样观测值X1, ,Xn就不是来自这一母体，所以?Lx n是极大似然估计值。于是?L 1 ,最大次序统计量是参数的极大似然估计量。n 1均匀分布母体的最大次序统计量的分布密度函数为gn y n ' 丄，0 y故E ? E nygn y dy -nn .n y dynn 153.设X具有分布密度f (x,)xe =x!0x 0,1,2,0，其他，X,X2,X n是X的一个样本,求未知参数的极大似然估计.n刍X解：似然函数Ln ei 1 XXi!令d1 nIn Lnxi=0得? 1 n?Xidi 1n i 1故未知参数的极大似然估计为? 1nnXii 154.设总体X的分布密度为f(x)=6X(X),0池 ,X 1,X2,-,X n来自X的简单 其他0,随机样本.(1). 试求的矩法估计?; (2). 求？的方差.xf x dxn令 X丄Xi2nii6x2o 3x dx 2希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、世事忙忙如水流，休将名利挂心头。粗茶淡饭随缘过，富贵荣华莫强求。2、“我欲”是贫穷的标志。事能常足，心常惬，人到无求品自高。3、人生至恶是善谈人过；人生至愚恶闻己过。