《2020届高三数学备考冲刺140分问题19数列中的最值问题(含解析).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020届高三数学备考冲刺140分问题19数列中的最值问题(含解析).docx（10页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、问题19数列中的最值问题、考情分析Sn有关的最值、求满足数列的特定数列中的最值是高考热点，常见题型有：求数列的最大项或最小项、与 条件的n最值、求满足条件的参数的最值、实际问题中的最值及新定义题型中的最值问题等二、经验分享（1）数列的最值可以利用数列 的单调性或求函数最值的思想求解解决数列的单调性问题可用以下三种方 法用作差比较法，根据 an+1-an的符号判断数列an是递增数列、递减数列还是常数列.an + 1用作商比较法，根据 云（an> 0或anV 0）与1的大小关系进行判断结合相应函数的图象直观判断.anan+ 1 ,an W an+ 1 , 最大值与最小值：若 心an-1,则a
2、n最大；若 L W an-1,则an最小.求等差数列前n项和的最值，常用的方法：利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；利用等差数列的前n项和S = Ar2 + Bn（A, B为常数）为二次函数，通过二次函数的性质求最值 另外，对于 非等差数列常利用函数的单调性来求其通项或前n项和的最值三、知识拓展已知等差数列:的公差为d,前n项和为Sn，若d 0 , Sn有最小值，若'',则Sk最小,若ak =0则S“Sk最小；若d：0 , Sn有最大值，若'',则Sk最大，若a0则Sk，Sk 最大。四、题型分析（一）求数列的最大
3、项或最小项求数列中的最大项的基本方法是：（1）利用不等式组an - 1 W an ,an>an+1 （n2）确定数列的最大项；（2）利用不等式an-1an,组'anW aw （ n2）确定数列的最小项.（3）利用函数或数列单调性求最大项或最小项,求an的最大项.【例1】已知数列an的通项公式为an = -a* 3n 1n n 1的n的值an - an 4n2 +156【分析】思路1:利用基本不等式求解思路2:求满足丿【解法一】基本不等式法勺+勺】=弘+闵V。, 02 V0,则当Sn >0时，n的最大值为11,故选A（三）求满足数列的特定条件的n的最值【例3】【贵州省凯里市第
4、一中学2018届高三下学期一模】已知 订,的前n项和为 -，且a1.a4.a5 -2成等差数列' I ,数列bn?的前n项和为， 正整数n的值为（）A. 8 B. 9 C. 10 D. 11【分析】先求和，再解不等式 【答案】C则满足Tn 空7的最小20182成等差数列可得2兔二坷+q】即 2 x2“+4+战+2'2, 解得 m - -22n+L +2Tn 2 0, 1 201" 亠.，即2n'2019，则n 11, 即 2，故n的最小值为10.【小试牛刀】【湖南省邵东县创新实验学校2019届高三月考】已知数列 的通项，数列'的前项和为'
5、9;,若这两个数列的公共项顺次构成一个新数列，则满足cn<2012【解析，当n _2时,r "；,由a1. a4.的的最大整数值为（A. 338 B . 337 C . 336 D . 335【答案】D【解析】当冲=时5 当如=»-»"=-贺-”+飞“叮=3幷 + 2：它和数列务的公共项构成的新数列亿堤苜项为二公差为6的等差数列，5 =缸一I?令q < 201阿得菲< 3355所以皿的最大值为S35.（四）求满足条件的参数的最值【例4】已知Sn为各项均为正数的数列、an的前n项和,"'* _ '（1 ）求:an
6、 /的通项公式;1恂巳：江4£（2）设bn,数列、bn的前n项和为Tn ,若对恒成立,求实数t的最大值.anan 出【分析】（1）首先求得ai的值,然后利用an与Sn的关系推出数列an为等差数列，由此求得（aj的通项公 式；（2）首先结合（1 ）求得bn的表达式，然后用裂项法求得Tn,再根据数列 汀J的单调性求得t的最大值.【解析】当存=1时，宙恋+込+2 = 6几得斤+划+=殉即0； -3珂+ 2= 0又兔£（0.2）,解得坷=1由点+込+ 2 =6乂：可知几+3% + 2 =隅亠 两式相凰L得碍也+3（厲1 殂J = °口aI即（°!>i +
7、4（灯好】务一 3） = °、由于斗> 0 :可得叫务-2 0 ；即g -爲二亠所以是首项为1公差为3的等差数列所叹q严1 +製1） = 32 ._ 1 _ 1 .1（2）由an =3n_2 ,可得耳一肩:一丽哥丽可一灵务_丄fl-lkI 4丿-C 11f 1 _ 1 b-2 "57+4知+1n宀！.n+1因为，所以Tn1 ' Tn ,所以数列"'Tn 是递增数列，所以:-"- ' ： - - -.,所以实数t的最大值是1.444【点评】（1）求解与参数有关的问题，一般是分离变量，再构造新函数求解.（2）使用裂项法，要注意正
8、负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项要注意由于数列an中每一项an均裂成一正一负两项，所以互为相反数的项合并为零后，所剩正数项与负数项的项数必是一样多的，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点.n,不等式1【小试牛刀】已知数列an的通项公式为an,前n项和为Sn,若对任意的正整数n +1恒成立，则常数m所能取得的最大整数为【答案】5【解析】要使一'恒成立，只需（七工16 161 1 1 1 1 1 11>+=2n+2 ln+3 n + 2 2h+2 In+ 4 n + 2 2n+2所以一。'，”+1 a3n - 2 3n - 5-1,数列；一1为等差数列，
9、首项为.I3n 53 5= 4-(n-1) = S-»,alt = (3n-5)(S-n)|5在数列 中只有 , 为正数-片-几的最大值为+=+故选5 .【湖南师范大学附属中学2019届高三上学期月考】« + 1a. =11 ® + 2已知数列.的前项和为，通项公式A. 62 B . 63则满足不等式5汚-&的卩的最小值是(C. 126 D . 127【答案】D【解析】因为几=10g:(|xx - Xf|= log. I< f所次士 < 2弋即n > 126故应选D.6 .【湖南省岳阳市第一中学2019届高三上学期第三次质检】在数列 中，
10、,+ z(w如羽若数列叽满足仃,则数列的最大项为()A.第5项 B .第6项 C .第7项 D .第8项【答案】B【解析】数列中，叫研-1 + "25*2)1 = -1得到：，2(n-1)-1上边3】；个式子相加得：务 % = 2(2 + 2+1)解得：当 丨时，首项符合通项.故：-"数列满足八屮则"皿：覺汀7由于bn艺忙“，IEfl T 1'(n2 + n) (A)«-ls(n2 ) .(£)"-2故：yf )($化叶+弘+ 2) (扑，” e 1&19解得：，当n 1,44时, an单调递减,当n 45,100时,
11、 ad单调递减,X寸 2 013结合函数f (X) = x寸2 014的图象可知，(an)ma尸a45,( Sl)min= a44,选C.10. 已知函数=-'-,且-=-,设等差数列 曲的前n项和为*Sn 4aSn, n，N 若Sn= fn,则的最小值为()an 一1A.276358【答案】【解析】由题意可得等差数列的通项公式和求和公式，代入由基本不等式可得.由题意可得-一一-或一 一.2解得a=1或a=-4,当a=-1时，.-'一,数列an不是等差数列；当 a=-4 时，/W + 4X ,二=/3二7口 ,二 =5* 角二aJI=5+(7-5)(H-l)=2?t+3一斗4
12、_ ”亠+ 4沖+】6 _ 1 (丹+1)亠+ 2|并+ 1)+1】=-x (用+ D+丄+ 2 >t2j(w + l)x +2J =713 + 12 h + 12 T w+113当且仅当n 仁竺，即n .13 -1时取等号,n +137T n为正数,故当n=3时原式取最小值 一,故选D.811. 已知等差数列:a/?的通项公式为a. = n，前n项和为&，若不等式一、=氏 W兀工.：-:恒成立，则 M 的最小值为 【答案】259【解析】由题可知； 再j”：+li =三亠亠（0如5 + 32）（片十2恒成立即1m+1= r = t =5 + H）5 + 2） - 恒成力设 EF
13、则 M+32i5 + 2 厂"+31| 仃十1） - r+32f+31_/ + 31+32 , 因为函数廿卫在卩击T）递减 （屈+P递増,/二害丁二孑害,所以311 ?9fi片一+ 32"匕二壬，所以M的最小值是代曲中，若一，则t6 625912. 【江苏省常州2018届高三上学期期末】各项均为正数的等比数列a3的最小值为【答案】.3【解析】因为 Qn是各项均为正数的等比数列，且血一雀y+勾2血二=2勺，即丐一3导0,即2肚2不，即a3的最小值为43.13. 【福建省闽侯县第八中学 2018届高三上学期期末】已知数列 na,的前n项和为Sn，且a 2n，则使n的值为【答案】
14、5【解析】 肆二1 7 + 2H+L+吒, 圾二1F+IF+L +打們两式相减 - 一 -,1-2故-' - - -7 -'-'，故n的最小值为5.14 【河北省承德市联校2018届高三上学期期末】设等差数列满足D b3 =6b2b4 = 2 ,则22“ |2bn的最大值为【答案】5123 + 4 + 2/ = 6【解析】依题意有，-一-.4二5/二-2力二2 初+7，解得，故故当n =3时，取得最大值为2° =512 .15.【新疆乌鲁木齐地区 2018届高三第一次诊断】 设Sn是等差数列aj的前n项和，若S25 0， S26 ： 0，S S2则数列：-:的
15、最大项是第项.【答案】13【解析】因为 >0, Sis<of2526所以一（的 +。15）=圧如 > 0 /.化 n 0；-（纽 +險）=13 （他 + d14） < 0 /.如 < 0;所沁最尢说最小正数项因此芸最尢即最大项罡第"16.【安徽省淮南市 2018届高三第一次（2月）模拟】已知正项数列的前n项和为Sn，当n_2时,An+1仏一»1）二乂Sm，且&=1，设 - log丄?，则乞一+瓦一的最小值是.【答案】9【解析】当n - 2 时，（Sft-4Sj=0,i即 I j i ；八W ,展开化为：正项数列 曲的前n项和为Sn &#
16、39; ©S；点点数列s?是等比数列,首项为 1，公比为一则«+也+.,"+力 + 34 if-n + 34(用十1) 一(耳+1)+36贝 ym+1m+1n+1二科+ 】+2L_3H2-3 二 9n + 1当且仅当n J二更即n =5时等号成立n +1故答案为9r 丄1 J i+河悄奇数,(卬由得 sn=i-(-4r=:12 li-R涕偶数当甘为奇数时$随冷的增大而:咸小：3所以 l<SflSSi=2：113 2 5故 0<S.s-瓦出一£= 2-3-6-当舟为偶数时$随71的増大而増犬：3丄 L 1 1 L所以彳=5:<L故 0&g
17、t;®厂$：>S:-s：=4- 3=-12713综上对于朋厂总有-57所以数歹'J 右最大项的值対6:最小项的值为-12 19.已知数列 f满足：ar N * , 3! , 36,且卩叫迪冬1&Af二b”neN*2迪-叽"JE4,记集合I(1 )若ai = 6 ,写出集合M的所有元素；(2) 若集合M存在一个元素时3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数;(3) 求集合M的元素个数的最大值 解析：(1)6 , 12, 24 .(2)因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设ak是3的倍数.由:討一一，.、*，可归纳证明对任意nk, a.是3的倍数.如
18、果k =1,则M的所有元素都是3的倍数；如果k 1,因为ak =2ak二或迟_號迫="：i ,所以2a“是3的倍数,或2ak-36是3的倍数,于是a是3的倍数.类似可得，ak亠，a!都是3的倍数.从而对任意nT, a.是3的倍数,因此M的所有元素都是3 的倍数.综上，若集合M存在一个元素是3的倍数，则M的所有元素都是3的倍数.(7<- 8<3)由i心可归纳证明陽自6(x23)，因対珂是正整/耳 3 Q 务.A 帛数g h J *1护所以6是-的倍数-2玛 一 36昭 A18从而当幵3釘寸4是4的倍数一如果斫是3的倍数庙 知对所有正整数“4是3的倍数因此当心3时厲瑞12：24,36,这时卫中 的元素的个数不趙过5如果斫不杲3的倍数由(“知対所有的正整数叭陽不是3的倍数:因此当冲3 时4 e 4816,2628*2遨时M的元素的个数不超过S.当珂7时”M=124.8L162Q28；2有$个元素综上可知集合脳的元素个数的最犬值为8.