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1、几何不等式东北师大附中 卢秀军一、基础知识1定义：几何问题中出现的不等式称为几何不等式. 常常表现为角的大小，线段的长短，面积的多少等. 在几何不等式的证明中，将综合运用到我们所学的很多知识，但最首要的是要注意运用几何中基本的不等关系和一些重要定理证明不等式，视其论证过程中，以运用何种知识为主，大致分为三种方法：几何方法；三角方法；代数方法。2证明几何不等式常用方法（1）代数方法：利用变量代换、因式分解、配方等手段将几何问题转为代数问题，其思路是：（1）适当地引入变量，将几何问题化为代数问题，特别是二次函数；恰当选择变量为关键；（2）利用重要的几何不等式及代数不等式；（3）当证明涉及三角形不等
2、式时，注意应用：三边长的固有不等关系；海伦公式；边长的大小顺序关系与对应角的大小顺序关系相同，而与对应高、中线及分角线长的顺序相反.（2）三角方法：利用三角函数来反映几何图形的变化规律，从而将几何问题转化为三角问题，这时最常用的三角知识是：（1）三角恒等变形：这主要是应用和、差、倍、半角公式，积化和差及和差化积公式等，制造出便于应用已知不等式的形式，以完成命题的证明；（2）边角互换：这主要是利用三角函数定义、正弦定理、余弦定理等，把一个关于角（边）的不等式转化成边（角）的不等式.（3）几何方法：即指用纯粹的平面几何知识来证明几何不等式，这时最常用的平面几何知识是：（1）抓住几何图形的特征，挖掘
3、几何图形中最基本的几何不等关系.事实上，一些最基本的几何不等关系在有关几何不等式的论证中异常活跃，常常成为解决问题的钥匙；（2）与面积有关的几何不等式也占有重要地位.其内容丰富，涉及面宽，富于智巧.证明这类不等式大都需要利用面积的等积变换、面积公式及面积比的有关定理等知识.3几个著名代数不等式在几何不等式的证明中，常常需要一些著名的代数不等式柯西不等式，排序不等式，算术平均不等式等.4几个著名的几何不等式（1）托勒密定理的推广：在凸四边形ABCD中，一定有：，等号成立时四边形ABCD是圆内接四边形.证明1：取点，使则推荐精选， （1）又上式等号成立当且仅当在对角线上.此时，从而四边形内接于圆.
4、证明2：复数法设、对应的复数分别是、用到下面的恒等式则（2）（嵌入不等式） 设，求证： 等号成立的充要条件是：及.证明：当且仅当且时取等号（3）艾尔多斯莫迪尔（ErdosMordell）不等式：在内部任取点，,分别表示由点到顶点之间的距离，分别表示由点到边的距离，则证明1：过作直线分别交于，使则推荐精选又即同理：证明2：四点共圆则在中，由余弦定理得同理证明3：设则又推荐精选即同理（嵌入不等式）证明四： 设，且设它们的内角平分线长分别是，且只要证更强的结论又，即同理，由嵌入不等式得（4）外森比克不等式：设的边长和面积分别为和，则，当且仅当为正三角形时等号成立.推荐精选证明方法很多，证明略5费尔马
5、(Fermat)问题：在中，使为最小的平面上的点称为费尔马点.当时，点为费尔马点；当中任一内角都小于时，则与三边张角为的点为费尔马点. 例题例1 已知，设是它的内心，的内角平分线分别交其对边于，求证：.证明：令由角平分线定理，易得易得同理则处理（1）令，则推荐精选处理（2）令，则，且又（在区间端点取到最小值）处理（3）利用内切圆与三角形的切点把每条边分成两部分作变换令说明：证明关于三角形内各元素的各种不等式时，常作如下变换：（由于三角形的内切圆存在，三条边总可表示为），反之，若三个正数可以表示为上述形式，则一定是某个三角形的三边，并且相应的三角形的其它元素也可以通过上面变换用表示，有关三角形的
6、一些几何不等式都可以化为关于的代数不等式例2 设是内的一个点，分别是与的连线与对边的交点（如图），求证：.（是塞瓦三角形）分析：利用补集思想证明证明1：令，则由塞瓦定理则推荐精选同理只要证明即只要证只要证显然当时取等号，此时是的重心证明2：设则同理只要证明即通分整理即只要证推荐精选事实上 当且仅当时取等号，此时是的重心证明3：令，且则由塞瓦定理得整理得同理只要证事实上当且仅当时取等号，此时是中点，是的重心例3 已知的面积为，三边分别为，求证：，且当时等号成立.证明1：由海伦公式，设当且仅当即时取等号证明2： 欲证推荐精选只要证故只要证由柯西不等式又从而结论得证当且仅当时，取等号例4 在中，求证
7、：证明1：设则又证明2：设则推荐精选由幂平均不等式得 （1）由例3得，即代入（1）即可得到结论.例5 设是锐角三角形，外接圆圆心为，半径为，交所在的圆于另一点，交所在的圆于另一点，交所在的圆于另一点，证明：，并指出在什么情况下等号成立？（第37届IMO预选题）证明1：作过的圆直径则在中，在中即记为同理只要证令推荐精选而对于是锐角三角形，同理显然成立证明2：如图，设交于，交于，交于，由四点共圆，得从而，处理方式（1）令处理方式（2）令则（利用面积关系）（再去分母，整理得）推荐精选令，则，即，即证明3： 由四点共圆，由托勒密定理，得而易知而同理，令证明4： 由四点共圆，由托勒密定理，得设在中，由正
8、弦定理，得又推荐精选同理以下略例6 如图所示，设，是同心圆，的半径是半径的2倍，四边形内接于圆，将延长交圆于，将延长交圆于，将延长交圆于，延长交圆于，试证明：四边形的周长大于等于四边形的 周长的2倍，并请确定等号成立的条件.（第3届全国冬令营，1988年）证明：设公共圆圆心为，连结在四边形中，运用推广的托勒密定理同理结论得证当且仅当四点共圆，是的角平分线，到的两边的距离相等同理四边形的各边相等，进而证四边形是正方形时，等号成立.练习题1. 如图，在中，为中线，为内一点，证明：证明：在与中，有两组对边对应相等，且，所以，于是，过作于，则垂足必在的内部或延长线上，从而，推荐精选因此（斜线长与射影长
9、的关系）2. 如图，为上一点，是上一点，为上一点， ，为上任意一点，则分析：以为对称轴，作点关于的对称点，以为对称轴，作点关于的对称点，连结、，则，连结、，则有 因为故、为定点，而连结、以线段最短，所以说明：本题把“折线化直”，然后利用两点间线段距离最短来证明，这种“化直法”在解决几何不等式问题中是常用的3.设是的最长边，在此三角形内部任意选一点，、分别交对边于、，证明：（1）；（2）分析：我们先证明一个简单但非常有用的引理：设点是的边上的一点，则事实上，过作，则利用斜线长和射影长的关系很容易说明便知引理成立（1）过分别作，分别交于、点，再过、分别作分别交、于、，如图易知，故是的最大边，由引理
10、知，；又因为，所以（），所以（2）令，那么推荐精选所以说明：其实，由（2）和引理知（1）成立，所以我们也可以先证明（2），然后推得（1）4. 设凸四边形的面积为1，求证：在它的边上（包括顶点）或内部可以找出四个点，使得以其中任意三个点为顶点的三角形的面积均不小于.分析：如果是平行四边形，那么，因此即为所求的点；如果不是平行四边形，不妨设与不平行，且，设与交于又设到的距离不超过到的距离，过作，交于，分两种情况讨论：（1）不超过的一半，此时可在边，上分别取，使得与平行，等于的一半，则有,即即为所求的四个点.（2）若大于的一半，则在线段与上分别取，同样使，且，延长交于，则是的中位线再过作的平行线，它
11、与的延长线的交点为，则,故有，于是同样可以证明即为所求的四个点.说明：在遇到比较复杂的情形时，要注意从简单情形起步，合理规划，通过分类讨论，适时化归，使问题得以圆满解决.推荐精选到三个顶点距离之和为最小的点，通常称为费尔马点.当各角均小于时，与三边的张角均为的点即为费尔马点；当有一个角大于时，这角项点就是费尔马点.下面这个命题是与费尔马问题“反向”的问题.5. 在的内部或边界上找一点，使得它到三个顶点距离之和为最大.分析：若点在内，作一个以、为焦点，过点的椭圆，设椭圆与、交于、点，连结并延长与交于点，如图，那么不妨设则所以点必定在边界上.下证只能是的顶点，不妨设点在线段的内部，因，设，那么综上
12、所述，所求的点必为的顶点，易知它是最短边所对的顶点.说明：本题所用的方法是“局部调整”法，这是一种重要的思想方法.6凸六边形的每边长至多为1.证明：对角线、中至少有一条不超过2.分析：连结、，在中，不妨设边最大，即，如图，对、四点用托勒密定理，有所以，从而命题得证.在证明与面积和周长有关的不等式时，下面的几个结论是很有用的，它们就是著名的等周问题.命题1 在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大推荐精选命题2 在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小命题3 在给定边长为的所有边形中，能够内接于圆的边形具有最大的面积命题4 在周长一定的边形的集合中，正边形的面积最大命题5 在面积一定的边形的集合中，正边形的周长最小运用等周定理可以解决很多与几何不等式有关的问题，看下面一例：7曲线将正分成两个等积的部分，那么它的长，其中是正的边长.分析： 以为圆心，为半径作圆弧将的面积等分，那么有，所以，的周长，现在证明.将连续翻转5次，由曲线形成了一条闭曲线，如图所示，由形成了一个圆，而两者所围成的面积相等.根据命题2，知，即. （注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!） 推荐精选