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1、命题及其关系、充分条件与必要条件考点和题型归纳、基础知识1. 命题的概念用语言、符号或式子表达的， 可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题个命题要么是真命题，要么是假命题，不能模棱两可3.充分条件、必要条件与充要条件如果p? q,则p是q的充分条件； A是B的充分不必要条件是指：A? B且B A; A的充分不必要条件是 B是指：B? A且A汁IB，在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误.如果q? p，则p是q的必要条件；如果既有p? q,又有q? p,记作p? q,则p是q的充要条件.充要关系与集合的子集之间的关系设 A=x|p(x) , B= x
2、|q(x), 若A? B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件. 若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件. 若A = B，则p是q的充要条件.、常用结论1. 四种命题中的等价关系原命题等价于逆否命题， 否命题等价于逆命题， 所以在命题不易证明时，往往找等价命 题进行证明.2. 等价转化法判断充分条件、必要条件p是q的充分不必要条件，等价于 非q是非p的充分不必要条件.其他情况以此类推.考点一四种命题及其真假判断典例（2019菏泽模拟）有以下命题： “若xy= 1，贝U x, y互为倒数”的逆命题； “面积相等的两个三角形全等”的否命题； “若mw 1,则x2 2x+ m =
3、 0有实数解”的逆否命题； “若A n B= B，则A? B”的逆否命题.其中真命题是（）A .B .C.D .解析原命题的逆命题为 “若x, y互为倒数，则xy= 1”，是真命题；原命题的 否命题为“面积不相等的两个三角形不全等 ”，是真命题；若 mW 1 , A= 4 4m>0,所以原命题是真命题，故其逆否命题也是真命题；由A n B = B,得B? A，所以原命题是假命题，故其逆否命题也是假命题，故正确.答案D题组训练1. （2019长春质监）命题“若x2<1，则1<x<1 ”的逆否命题是（）A .若 x2> 1，则 x> 1 或 x< 1B .
4、若1<x<1,则 x2<1C. 若 x>1 或 x< 1,贝U x2>1D. 若 x> 1 或 x< 1,则 x2> 1解析：选D 命题的形式是“若p,则q” ,由逆否命题的知识，可知其逆否命题是 “若 非q,则非p”的形式，所以“若x2<1，则1<x<1 ”的逆否命题是 “若x> 1或xw 1,则 x2> 1 ”.1k2. 已知集合 P= x x= k+ , k Z , Q = x x = -, k Z ，记原命题：“ x P,则 xQ”，那么，在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（）12k
5、 + 1解析：选 C 因为 P = xx= k + 2, k Z = x x= -, k Z , Q =kx x= 2，k Z ,所以P Q，所以原命题“x P,贝U x Q”为真命题，则原命题的逆否命题为真命题.原命题的逆命题 “x Q，则x P”为假命题，则原命题的否命题为假命题，所以真命题的个数为2.考点二充分、必要条件的判断（1）（2019湖北八校联考）若a, b,典例d依次成等差数列”的（）A .充分不必要条件C.充要条件（2）（2018天津高考）设x R，则“A .充分而不必要条件C.充要条件c, d R,则“ a + d = b+ c” 是“ a, b, c,B 必要不充分条件D
6、 .既不充分也不必要条件1 1X 1 v 1” 是“ x3 V 1” 的（）B 必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件已知p： x + yz 2, q : x, y不都是一1，则p是q的（）C.充要条件解析（1）定义法D.既不充分也不必要条件A .充分不必要条件B .必要不充分条件当a = 1, b= 0, c= 3, d = 4时，a + d= b+ c,但此时a, b, c, d不成等差数列；而当a, b, c, d依次成等差数列时，由等差数列的性质知a + d = b+ c.所以“a+ d = b+ c”是"a, b, c, d依次成等差数列”的必要不充分条件，故选B.（2）
7、集合法11311”小“3由 x 2 v 得 0v xv 1，则 0v x v 1 ,即卩 “ x 2 v? ?x3v 1” ；由 x3v 1，得 xv 1,即“ x3v 1 ” 宀 “ X 1 V 2 ”.1 1所以“ X 2 V是“ X3V 1”的充分而不必要条件.(3)等价转化法因为 p： x+ yz 2, q: xm 1 或 1,所以非 p: x+ y= 2,非 q： x= 1 且 y= 1,因为非q?非p但非p非q,所以非q是非p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件.答案(1)B(2)A(3)A提醒判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，要注意“A是B的充分不必要条件”与“
8、A的充分不必要条件是B”的区别，要正确理解“ p的一个充分不必要条件是q”的含义题组训练1. 集合法已知x R,贝U X<1 ”是X2<1 ”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件D .既不充分也不必要条件解析：选 B 若 x2<1 ,则一1<x<1 , (a, 1)? ( 1,1) ,.X<1 堤 X2<1 ”的必要不充分 条件.2. 定义法(2018南昌调研)已知m, n为两个非零向量，则“ m<0”是“ m与n的夹角为钝角”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件D .既不充分也不必要条件n解析：选B设
9、m, n的夹角为0,若m, n的夹角为钝角，贝U ?< X n,贝U cos 9<0,则 m- <0成立；当0= n时，m- n |m| n|<0成立，但 m, n的夹角不为钝角.故 “m- nO”是m与n的夹角为钝角”的必要不充分条件.3.等价转化法“ xyz 1”是“ xm 1或沪1”的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件D .既不充分也不必要条件解析：选 A 设 p： xyM 1，q: xm 1 或 yM 1,贝U非 p： xy= 1，非 q : x= 1 且 y= 1.可知非q?非p, 非 p上”非q,即非q是非p的充分不必要条件.故p是q的
10、充分不必要条件，即“ xyM 1 ”是“x M 1或y M 1”的充分不必要条件.考点三 根据充分、必要条件求参数的范围典例已知 P= xx2 8x 20W 0，非空集合 S= x|1 - mW x< 1 + m.若 x P 是 xS的必要条件，则 m的取值范围是 .解析由 x2 8x 20 W 0,得一2W x< 10,所以 P = x| 2 W xW 10,由x P是x S的必要条件，知 S? P.1 mW 1 + m,贝V 1 m一2,所以 0w mW 3.1+ mW 10,所以当0W mW 3时，x P是x S的必要条件，即所求 m的取值范围是0,3.答案0,3变透练清1.
11、 变结论若本例条件不变，问是否存在实数m,使x P是x S的充要条件.解：若x P是x S的充要条件，则P = S,所以 1 m= 2,1 + m= 10,解得 m= 3,m = 9,即不存在实数 m,使x P是x S的充要条件.2. （变条件）若本例将条件“若x P是x S的必要条件”变为“若 非P是非S的必要不充分条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围.解：由例题知P= x| 2w XW 10,非P是非S的必要不充分条件，S是P的必要不充分条件， P? S且 S P. 2,101 m,1 + m.1 mW 2，1 m< 2,或1 + m>101 + m > 10.
12、9;m > 9，即m的取值范围是9 ,+).课时跟踪检测1已知命题p: “正数a的平方不等于0”，命题q :“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的()A .逆命题B .否命题C.逆否命题D .否定解析：选B 命题p: “正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不 等于0”，从而q是p的否命题.2. 命题“若x2 + 3x 4 = 0，则x = 4”的逆否命题及其真假性为()A .“若x= 4,贝U x2+ 3x 4 = 0”为真命题B .“若xm 4,贝U x2+ 3x 4工0”为真命题C. “若xm 4,贝U x2+ 3x 4m 0”为假命题D .“若x= 4,则x
13、2+ 3x 4 = 0”为假命题解析：选C 根据逆否命题的定义可以排除A、D，因为x2+ 3x 4 = 0,所以x= 4或 1,故原命题为假命题，即逆否命题为假命题.3.原命题为“若Z1, Z2互为共轭复数，则|Z1|=|Z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A .真，假，真B .假，假，真C.真，真，假D .假，假，假解析：选B 当Z1, Z2互为共轭复数时，设 Z1= a+ bi(a, b R)，则Z2 = a bi，则田=|羽=".a2 + b2,所以原命题为真，故其逆否命题为真.取Z1= 1, Z2= i,满足0|=|z2|,但是 zi,
14、Z2不互为共轭复数，所以其逆命题为假，故其否命题也为假.4. （2018北京高考）设a, b, c, d是非零实数，则"ad= be”是"a, b, c, d成等比数 列”的（）A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C.充分必要条件D .既不充分也不必要条件解析：选 B a, b, e, d 是非零实数，若 a<0 , d<0, b>0, e>0，且 ad= be,贝U a, b, e, d不成等比数列（可以假设a =- 2, d=- 3, b = 2, e= 3）.若a, b, e, d成等比数列， 则由等比数列的性质可知ad = be所以“
15、ad= be”是"a, b, e, d成等比数列”的必要而不充分条件.5. 已知命题 a:如果x<3 ,那么x<5;命题3：如果X> 3,那么x> 5;命题y如果x> 5,那么x> 3关于这三个命题之间的关系中，下列说法正确的是（）命题a是命题3的否命题，且命题丫是命题3的逆命题；命题a是命题3的逆命题，且命题丫是命题3的否命题；命题3是命题a的否命题，且命题丫是命题a的逆否命题.A .B .C.D .解析：选A 本题考查命题的四种形式,逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都
16、否定然后互换所得，故正确，错误，正确.6. （2018北京高考）设a, b均为单位向量，则“ |a- 3b|= |3a + b|”是“ a丄b”的（）A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C.充分必要条件D .既不充分也不必要条件解析：选 C 由 |a- 3b|=|3a+ b|, 得 （a- 3b）2 = （3a+ b）2,即 a2+ 9b2 6a b = 9a2 + b2 + 6a b.因为a, b均为单位向量，所以a2= b2= 1,所以a b = 0,能推出a丄b.由 a丄b 得|a- 3b|= . 10, |3a+ b|= .10,能推出 |a 3b|= |3a + b|,所以“
17、|a 3b|= |3a + b|”是"a丄b”的充分必要条件.7. 如果x, y是实数，那么"xm y”是"cos xm cos y”的()A .充要条件B .充分不必要条件C.必要不充分条件D .既不充分也不必要条件解析：选 C 设集合 A= (x, y)|xM y, B= (x, y)|cos xm cos y，则 A 的补集 C= (x.y)|x= y, B 的补集 D = (x, y)|cos x= cos y，显然 C D，所以 B A于是 “ xm y” 是 “ cos xmcos y”的必要不充分条件.& (2019湘东五校联考)“不等式x2
18、- x+ m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是()1A . m>B. 0<m<14C. m>0D. m>11解析：选C 若不等式x2- x+ m>0在R上恒成立，则 = ( 1)2 4m<0 ,解得m>4, 因此当不等式x2 x+ m>0在R上恒成立时，必有m>0，但当m>0时，不一定推出不等式在 R上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m>0.9. 在 ABC 中，“ A = B” 是“ tan A= tan B” 的条件.解析：由 A = B，得 tan A= tan B,反之，若 tan A = tan
19、B，贝U A= B+ k n, k 乙'/0 v A v n 0<B<n /.A = B, 故 “A= B” 是 “tan A = tan B” 的充要条件.答案：充要10. 在命题“若 m> n,则m2> n2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数 是.解析：若m = 2, n = 3,则2> 3,但22<32，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假 命题，若m= 3, n= 2,则(3)2>( 2)2,但3<2,所以逆命题是假命题，则否命题也 是假命题.故假命题的个数为 3.答案：311. 已知p(x)： x2 + 2x m>
20、;0,若p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数 m的取值范围为解析：因为p(1)是假命题，所以1 + 2 mW 0,解得m3.又p(2)是真命题，所以4 + 4 m>0，解得m<8.故实数m的取值范围为3,8).答案：3,8)12. （2019齐鲁名校调研）给出下列说法: “若x+ y= n,则sin x= cos y”的逆命题是假命题； “在 ABC中，sin B>sin C是B>C的充要条件”是真命题； "a= 1”是“直线x- ay= 0与直线x+ ay= 0互相垂直”的充要条件； 命题“若x< 1,贝U x2- 2x- 3>0 ”的否命
21、题为“若 x>- 1,贝U x2- 2x- 3W 0”.以上说法正确的是（填序号）.解析：对于，“若x+ y= g,则sin x= cos y”的逆命题是“若sin x= cos y,则x + y = n，当x= 0, y = 时，有sin x= cos y成立，但x+ y =药 故逆命题为假命题，正确； 对于，在 ABC中，由正弦定理得 sin B>sin C? b>c? B>C,正确；对于，“a= ±1是“直线x-ay= 0与直线x+ ay= 0互相垂直”的充要条件，故错误；对于，根据否命 题的定义知正确.答案：13. 写出命题“已知 a, b R,若关于x的不等式x2+ ax+ b< 0有非空解集，则a2>4b” 的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.解：（1）逆命题：已知a, b R，若a2>4b,则关于x的不等式x2 + ax+ b<0有非空解 集，为真命题.（2）否命题：已知a, b R,若关于x的不等式x2+ ax+ b< 0没有非空解集，则 a2<4b, 为真命题.逆否命题：已知 a, b R,若a2<4b,则关于x的不等式x2+ ax+ b< 0没有非空解 集，为真命题.