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1、为什么称未知数为“元”？汪晓勤（华东师范大学数学系, 上海, 200241）数学教学中，我们常常会遇到三种“为什么”，一是“逻辑上的为什么”，如：“为什么等腰三角形两底角相等”、“为什么三角形内角和等于两个直角”、“为什么是无理数”等等， 对于这类“为什么”，我们可以通过逻辑推理的手段来解决；二是“历史上的为什么”，如：“为什么要将圆分成360等分，每一等分所对圆心角为1度”、“为什么平面直角坐标系将平面所分成的四个部分叫象限”、“为什么称无限不循环小数为无理数”等等，对于这类“为什么”，逻辑的手段不再有效，只有通过历史知识才能解决。那么，面对“历史上的为什么”，教师持何种反应？这类“为什么”
2、会引起教师怎样的反思？为了回答上述问题，笔者在上海市十二五市级共享课程“数学史与数学文化”的BBS讨论区，发了这样一则帖子：最近，去某初级中学交流，一位资深数学教师告诉笔者：学生在课堂上问一位年轻教师：为什么未知数叫“元”？教师答：大概因为古人认为“天圆地方”呗！如果是你，如何向学生解释？多少有些出乎意料，这个问题引起了在线教师的热烈讨论。1 教师对“为什么未知数叫元”的反应为什么未知数叫“元”？这是一个典型的“历史上的为什么”。在线的所有教师都表示从没有想过这个问题。以下是部分教师的反应。T1：这个问题真有意思。说实话，教了那么多年的数学，从没想过这个问题，也没学生问过我。T2：如果学生问我
3、，还真回答不出来。教学过程中，总想着如何让学生易于理解，但却忽略了名词本身的解释，值得反思。T3：一直把它作为专用名词，真没考虑过为什么，也真没有学生来问过，看来自己的数学史功底很不够，缺乏了一种追根溯源的追问精神。T4：这个问题从来都没有思考过，看到这个问题的时候自己也纳闷，看来真的是活到老，学到老。T5：从来没有考虑过为什么这么说，就像1+1=2一样，认为是理所应当。 在线教师的给出的解释大致有以下几类：推荐精选 古时候常用通假字，而 “元”通“源”，解方程其实就是“追本溯源”。这一解释来自百度。 “元”也就是变量，一元方程含一个变量，二元方程含两个变量。这一解释也来自百度。 符号代数的创
4、始人韦达曾用元音字母A、E、I等表示未知数，故未知数叫“元”。 “元”是个量词，与“一元钱”、“二元钱”中的“元”相类似。 “元”是明代徐光启翻译几何原本时创用的一个数学术语。 “元”是从日本传入中国的一个数学术语。 “元”不过是人们约定俗成的一个数学术语。所有上述解释都不是用“元”表示未知数的真正原因。认同第一种解释的教师最多，其中一位教师写道：“百度来的，有问题找百度！”可见，中学数学教师在遇到疑难问题时，过于依赖网络，对于网上所说是否正确，缺乏正确的判断。2 用“元”表示未知数的历史实际上，用“元”这个字表示未知数，源于我国宋元时期的天元术。所谓天元术，就是在解代数问题时，先“立天元一为
5、某某”，再根据题设条件，建立等式，最后通过移项、合并同类项，得到一个方程。“立天元一为某某”，就是我们现在的“设某某为x”。今天我们所能见到的天元术著作，只有李冶（11921279）的测圆海镜和益古演段、朱世杰（1249314）的算学启蒙和四元玉鉴。我们以测圆海镜卷二最后一题为例：“或问：出西门南行四百八十步有树，出北门东行二百步见之。问城径几何？” 测圆海镜全书共含170个问题，均围绕“勾股容圆”而设，即都与直角三角形内切圆有关。这里，西门、北门是指圆城的西门、北门。李冶给出的解题过程是1：“立天元一为半径。置南行步在地，内减天元半径，得，为股圆差。又置乙东行步在地，内减天元，得下式，为勾圆
6、差。以勾圆差增乘股圆推荐精选差，得，为半段黄方幂，即城幂之半也。又置天元幂以倍之，得，亦为半段黄方幂。与左相消，得。如法开之，得半径，合问。”以上我们看到的就是“原汁原味”的天元术。易于用今天的代数语言对上述解题过程作出解释。如图1，设圆城半径为x，则，。因，故得，即，移项相消后得方程。 图1 测圆海镜中的圆城问题 图 2 三次多项式的表示法从李冶的天元术解题过程可见，多项式的写法是：只列出各项系数，按幂的次数从低到高的顺序，由下至上排列。一次项系数旁标一“元”字（有时也在常数项旁标一“太”字），上面依次为二次项系数，三次项系数，等等，而下面为常数项。例如，图2（采自测圆海镜卷六）表示的就是三
7、次多项式（注意，斜杠表示负号）推荐精选。方程总是化成右边等于零的形式，因此只需写出左边的多项式；只不过此时不再出现“元”字，因为最下面一个数总是常数项，不会产生歧义。 朱世杰在四元玉鉴中将天元术拓广为四元术，除了天元，又引入地元、人元、物元，用以解决多元高次方程组。清末，李善兰（18111882）和伟烈亚力（18151887）合译英国数学家德摩根（A. de Morgan, 18061871）的代数学，创用“多元一次方程”这样的术语2。该术语是西方数学术语与中国传统数学术语完美结合的典范。在代数学和另一部微积分教材代微积拾级中，李善兰用“天”、“地”、“人”、“物”分别代替英文字母x、y、z、
8、w（前二十二个字母分别用天干地支来代替），于是，“天”、“地”、“人”、“物”成了表示未知数的符号，而“元”即为未知数的统称。从上面的历史考察可以看出，用“元”表示未知数，实源于天元术，追本溯源之说虽貌似有理，实属臆测；“元”这一称谓并非舶来品，亦非约定俗成，与元音字母更是风马牛不相及。教师对于“元”的错误解释，或对于网上说法的盲从，源于数学史知识的缺失。3 未知数在国外的称谓和表示法在关于“元”的词源的讨论过程中，有教师还提出这样的问题：“外国人管未知数叫什么呢？他们有没有特别的称谓？”在今天的英文中，与“未知数”对应的术语是unknown numbers，一般用x来表示。但是，在历史上，不
9、同国家或地区确有不同的未知数称谓或表示法。古代印度数学家婆罗摩笈多（Brahmagupta, 598670）和婆什迦罗（Bhskara, 11141185）等用梵文中不同颜色名的首音节来表示不同未知数3。阿拉伯数学家花拉子米（Al-Khwarizmi,780850）称未知数为“物”或“根”。我们来看他的代数学中的一个问题：“将10分成两部分，各自乘，所得乘积之和等于58。”花拉子米的解法如下：“设其中一部分为物，则另一部分为10减物。将10减物自乘，得100加1平方减20物。将物乘以物，得1平方。将两个乘积相加，得100加2平方减20物，等于58。得21加1平方等于10物。”412世纪，英国学
10、者罗伯特（Robert of Chester）将花拉子米的著作译成拉丁文，传入欧洲。罗伯特将“物”译为res。13世纪初，斐波纳契在计算之书中完全沿用了“物”这一称谓。如：推荐精选“将10分成两部分，使其平方和为。设第一部分为物，自乘得平方。第二部分为10减物，自乘得100加平方减20物。加上第一部分的平方，得100加2平方减20物等于第纳尔”514世纪，意大利作者将拉丁文res译成意大利文cosa，从此，代数学被称为“物术”（regola della cosa），与中国的天元术异曲同工。15-16世纪，“物术”相继传入德国、法国和英国，cosa又被译成coss。为什么我们今天常用x来表示未知
11、数？学术界有多种解释。 西班牙语起源说：阿拉伯语中，“物”发音shay，译成西班牙文，就是xay，简写后就成了今天的x。法国初中数学教材采用此说。 拉丁语起源说：拉丁语res前两个字母re的草写，成了15世纪德国数学手稿中未知数的符号“”。该符号为16世纪德、法、英三国的有关作者所沿用。这个符号演变后，就成了今天的x。 笛卡儿发明说：解析几何学的发明者之一笛卡儿在几何学中用字母表中前几个字母（如a，b，c）表示已知数，后几个字母（如x，y，z）表示未知数。但该书后半部分，x比y和z出现得更频繁。一个故事说：几何学还在排版的时候（那时候用的是活字印刷术），印刷者发现，由于y和z的使用频率比x高的
12、缘故，铅字y和z不够用了，他问笛卡儿，使用x、y、z中的不同字母来表示方程中的未知数，意义上是否有差别，笛卡儿回答说：随便使用三者中的哪一个，并没有差别。于是，印刷者就放心地频繁使用铅字x了6。美国数学史家卡约黎（F. Cajori, 18591930）认为，除了笛卡儿发明说，其他解释都没有依据7。4 教师的反思“元”的词源问题引起很多在线教师的深入反思，主要包括以下四个方面。4.1 关于本问题性质的认识讨论过程中，教师意识到所讨论的问题属于“历史上的为什么”，只有通过数学史才能解决。T6：要找出这个问题的答案来，的确得从数学史的角度去研究。老师课堂上提出这个问题，让学生课后自行探索和发现会更
13、好。推荐精选T7：通过这个问题的讨论，我感到教数学就必须要对数学史与数学文化有一个比较全面的了解，这样才能对一些概念的来龙去脉有所认识，才能在教学过程中回答学生有关数学史的有趣问题。4.2 关于数学史教育价值的认识一些教师意识到数学史的德育价值；另一些教师则指出，数学史能够激发学生的学习兴趣；提出“历史的为什么”，可以激发研究兴趣，甚至改变他们的数学观。T8：我们教材里的许多概念名词，都是译名，是译者从无到有创造的，不少名词都出自徐光启和利玛窦翻译的几何原本。比如：点、线、直线、平行线、曲线、角、直角、锐角、钝角、三角形等，其中大多沿用至今这些译名大家都觉得十分恰当，并且还影响了日本，朝鲜各国
14、。在课堂上，这样的介绍一定可以提高学生的民族自豪感。我们常常觉得在数学课堂里渗透两纲教育很难，其实，只要做个有心人，就可以去贯彻教育方针。T9：通过BBS的讨论，我深刻体会到了“了解历史的变化是了解这门科学的一个步骤”，在初中数学教学中，教师要有意识地渗透数学文化史，让学生觉得数学不仅仅是为了解题，还有很多有趣的内容，从而使学生喜欢数学、学好数学。作为教师，我现在需要做的是对数学史有进一步的理解与探究。4.3 关于教材和教参中的数学史不少教师就数学史知识，对教材和教材提出自己的建议。T10：如果教参用一句话提醒我们教师关注此类问题，也许就能让更多的教师注意到数学史的意义。上海现行初中数学教材，
15、关于数学史和数学文化有所涉及，但内容极少，如八年级下第138页，在代数方程一节的第一页，提到九章算术中有方程章，总共不到50字。教材编写者有必要多向学生提供一些数学史知识片段。T11：教材中数学史内容呈现方式单一，主要以数学家简介和“阅读材料”的形式出现。这部分内容在师生眼里只是补充材料，可学可不学，可看可不看。结果，常常牺牲了这些数学史料在数学课上应有的地位和价值。建议专家们专为中学编写有关数学史教材，供教师开设选修课时使用。 4.4 关于教师的数学文化素养所有教师都感到自己数学文化素养的不足。T12：去年刚刚教过一元一次方程，我只知道“元”是未知数的意思。细细想来，其实专业的数学教师要与其
16、他懂数学的不同。非专业数学教师按照教科书照本宣科也能教孩子数学知识，推荐精选而我们专业数学教师需要有更高的追求。数学文化素养的提升便是其中之一。T13：我们教师对教材体系中的“隐性数学文化”知之甚少。大部分教师只知道概念、法则、公式，但对于数学思想方法、数学常识、数学渊源等隐性文化知识知之甚少。所以我要通过这次培训学习，补上这一课。5 若干启示通过对“为什么未知数叫元”这个问题的讨论，我们得到诸多启示。 数学史在中学的境遇是“高评价、低应用”，究其原因，除了数学教师数学史知识匮乏外，教师未能感受到数学史的需求，也是不可忽视的原因。这类“历史上的为什么”能让教师深切感受到数学教学与数学史之间无法
17、割裂的联系，感受到自身数学史素养的不足，从而产生学习数学史的动机。虽然数学史课程在教师培训中已占有一席之地，但要改善培训效果，就必须在教学中加强历史与教育之间的关联。 数学教材虽有数学史阅读材料，但这些材料所发挥的作用十分有限。其原因之一是它们并未针对“历史上的为什么”来编写。虽然教材提到了代数学的历史，但教师仍对“元”的词源一无所知；虽然教材中介绍了无理数的由来，许多教师仍将无理数理解为“没有道理”、“非理性”或“没有秩序”的数；虽然教材介绍花拉子米的代数学，但教师对“代数学”的词源同样不甚了了。因而阅读材料很少真正解决教师在教学中遇到的难题或他们感兴趣的问题。 宋元时期的天元术对于一名专业
18、数学史研究者来说，不过是个常识，可在中学数学教育界却鲜为人知。因此，需要我们在数学史书斋和数学课堂之间架起一座桥梁。研究和传播教育取向的数学史，编写相关培训教材，加强大学与中学之间的交流与合作，理应成为未来HPM研究工作的重要组成部分。参考文献1 李冶. 测圆海镜. 见郭书春主编. 中国科学技术典籍通汇数学卷（第一分册）. 河南教育出版社, 1994. 7672 棣么甘. 代数学 (李善兰, 伟烈亚力译), 卷三. 上海: 墨海书馆, 咸丰九年(1859)3 Colebrooke, H. T. Algebra with Arithmetic and Mensuration,from the S
19、anscrit of Brahmegupta and Bhascara. London: J. Murray, 1817. 139-1444 Rosen, F. The Algebra of Mohammed ben Musa. London: Parbury, Allen, & Co., 1831. 395 Siegler, L. E. Fibonaccis Liber Abaci: A translation into modern English of Leonardo Pisanos Book of Calculation推荐精选. New York: Springer-Verlag, 2002. 5606 Derbyshire, J. Unknown Quantity: A Real and Imaginary History of Algebra. Washington: Joseph Henry Press, 2006. 937 Cajori F. A History of Mathematical Notations (Vol. 1) M. La Salle: The Open Court Publishing Company, 1951. 381-383 （注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!） 推荐精选