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1、圆的方程题型总结一、基础知识1圆的方程圆的标准方程为 ;圆心，半径.圆的一般方程为 _;圆心 ，半径二元二次方程 Ax2 + Cy2 + Dx+ Ey+ F = 0表示圆的条件为：； 2. 直线和圆的位置关系：直线Ax By C 0,圆(x a)2 (y b)2 r2，圆心到直线的距离为 d.贝y：( 1)d=；(2)当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交；(3)弦长公式： .3. 两圆的位置关系2 2 2 2 2 2圆 Ci: (x- Hi) + (y- bi) = ri ；圆C?： (x- a?) + (y- b?) = d则有：两圆相离 ； 外切 ；相交 ； 内切 内
2、含 .、题型总结:(一)圆的方程 1. x2 y2 3x y 1 0的圆心坐标，半径. 2 .点(2a,a 1)在圆x2 +y2 2y 4=0的内部，贝U a的取值范围是()11A. 1<a<1B. 0< a<1C. - 1<a<D. <a<155 3.若方程x2 y2 Dx Ey F 0(D2 E2 4F 0)所表示的曲线关于直线y x对称，必有2A. E F.D, E, F两两不相等 4 .圆 x2ax2ay 2a23a的圆心在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 5.若直线3x-4y+ 12 = 0与两坐标轴交点为A,B,则
3、以线段AB为直径的圆的方程是2 2A. x + y +4x- 3y=0 B.2 2x+y-4x-3y=02 2C. x + y +4x- 3y- 4=0 D.2 2x + y - 4x- 3y + 8 = 6.过圆 x2y24 外一点 P 4,2作圆的两条切线，切点为 代B,则 ABP的外接圆方程是()A. (x 4)2+(y 2)2=4B.x2+(y 2尸=4C. (x 4)2+(y2)2=5D.(x2)2+(y 1)2=5C (- 3, 0),求厶ABC外接圆的方程.A.(x-3)2 +(y+1) = 4B.2(x+ 3)2+ (y- 1) = 4C.(x-1)2 +(y-、21) = 1
4、D.(X+1)2 2+ (y+ 1) = 1 8.圆x2 2y2x6y 90关于直线2x y50对称的圆的方程是A.(x7)2(y1)2 1B . (x7)2 (y 2)2 1C.(x6)2(y2)2 1D. (x6)2 (y 2)2 1 7.过点A(1,- 1), B (- 1,1)且圆心在直线2= 0上的圆的方程(x + y- 9.已知 ABC的三个项点坐标分别是A (4, 1), B (6,- 3), 10.求经过点A(2 , - 1)，和直线x y 1相切，且圆心在直线 y 2x上的圆的方程.2.求轨迹方程2 2 11.圆x y 4y 120上的动点Q，定点A 8,0 ，线段AQ的中点
5、轨迹方程 12.方程 x y 1 x2 y2 4 0所表示的图形是（）A. 条直线及一个圆B.两个点C. 一条射线及一个圆D.两条射线及一个圆 13.已知动点 M到点A （2, 0）的距离是它到点 B （8, 0）的距离的一半，求：（1）动点M的轨迹方程；（2 ）若N为线段AM的中点，试求点 N的轨迹.3.直线与圆的位置关系 14.圆（x-1）2+y2=1的圆心到直线y二 fx的距离是（）D.A. 1 B.2 15.过点（2,1）的直线中，被x2 +2x+ 4y =0截得弦长最长的直线方程为A. 3x- y-5=0B.3x+ y-7=0C. x+ 3y-3= 0D.x- 3y + 16.已知直
6、线l过点2,0）,当直线I与圆x2y22x有两个交点时，其斜率k的取值范围是（A.(2 2,2 2)B. (2, . 2)C.(D.44 17.圆 x24x0在点P（1, 3）处的切线方程为A.xC.x3yx 3yC.3vav- 2D.2 、3 v a<或 a>25519.直线x 2y 30与圆(x 2)2(y3)29交于E、F两点，贝为()A.3B.-C.6/5D 3/5245520.过点M( 0, 4),被圆(x1)2y24截彳得弦长为2.3的直线方程为EOF (O为原点)的面积 21 .已知圆C x122 y 225 及直线 l : 2m 1 x m 1 y7m 4.(1)
7、证明：不论m取什么实数，直线I与圆C恒相交;(2) 求直线I与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线I的方程.PQ为直径的圆恰过坐标原点,. . 2 2 22.已知圆x+y+x 6y+m=0和直线x+2y 3=0交于P、Q两点，且以求实数m的值.4. 圆与圆的位置关系2 2 2 2 23.圆x y 2x 0与圆x y 4y 0的位置关系为 24 .已知两圆 G：x2 y2 10,C2：x2 y2 2x 2y 14 0.求经过两圆交点的公共弦所在的直线方程A. x+y+3=0B.2x y 5=0C. 3x y 9=0D.4x 3y+7=0 26.两圆 C1 : x2y2 2x 2y 20 , C2
8、:22x y 4x2y10的公切线有且仅有（)A. 1条B. 2条C.3条D.4条 27.已知圆C1的方程为f （x, y）0，且P（x°, y°）在圆C外,圆C2的方程为f (x, y)= f (x°, y°)，则G与圆C2 一定( )A .相离B.相切C.同心圆D.相交). . 2 2 2 2 25 .两圆x +y 4x+6y=0和x +y 6x=0的连心线方程为( 28.求圆心在直线x y0上，且过两圆x22 2y 2x 10 y 240 , x2y 2x 2y 80 交点的圆的方程.5.综合问题2 29.点A在圆x2y 2y上，点B在直线yx 1
9、 上,则AB的最小 30.若点P在直线2x 3y 100上,直线PA,PB分别切圆x22y 4于A, B两点，则四边形PAOB面积的最小值为（）A 24 B 16 C 8 D 4 31直线y x b与曲线x J y2有且只有一个交点，则 b的取值范围是（）A.B.1 b 1 且 b . 2c.1 b 170 km 处,以上答案都不对 32.如果实数x, y满足x2 y2 4x 10求:（1）y的最大值；x（2）y x的最小值；2 2（3）x y的最值. 33一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西受影响的范围是半径长 30 km的圆形区域.已知港口位于台风正北
10、40 km处，如果这艘轮船不改变航线, 那么它是否会受到台风的影响圆的方程题型总结参考答案1 (- 3 1) 血2 2 29解：解法一：设所求圆的方程是 (x a)2 (y b)2 r2 .因为 A (4, 1), B (6, - 3), C (-3, 0)都在圆上，所以它们的坐标都满足方程，于是(4 a)2 (1 b)2r2,a 1,(6 a)2( 3b)2r2,可解得 b3,(3 a)2(0b)2r2.r225.所以 ABC的外接圆的方程是（x 1）2 （y 3）225 .解法二：因为 ABC外接圆的圆心既在 AB的垂直平分线上，也在 BC的垂直平分线上，所以先求 AB所以M坐标（X1,
11、y1）满足：x/ y12 16将代入整理，得（x 1）2 y24 .BC的垂直平分线方程,求得的交点坐标就是圆心3 142 ， kBC0(3)1_?363线段AB的中点为（5,-1），线段BC的中点为 AB的垂直平分线方程为3BC的垂直平分线方程 y 323(x2(x2)-5),坐标.3)，解由联立的方程组可得1'ABC外接圆的圆心为E（ 1,- 3）, 3.,(a 2)2(2a 1)2 |a 2a 1|, (a2)2 (12a)2 2(1 a)2，圆心为（1 , - 2），半径为.2 ,所求的圆的方程为（x 1）2(y2)2 2.11. (x 4)2+(y1)2=4 ;13 .解：（
12、1）设动点M （x,y）为轨迹上任意一点，则点M的轨迹就是集合P M | MA |1严|.由两点距离公式，点M适合的条件可表示为.(x 2)2-21 2 2y 2 (x 8) y，平方后再整理，得 x2 y2 16 . 可以验证,这就是动点M的轨迹方程.（2）设动点N的坐标为（x, y） , M的坐标是（X1,y1).由于A （2, 0）,且N为线段 AM的中点，所以2x1x -,20 %y1 .所以有为 2x22 , y1 2y由（1）题知，M是圆x2 y2 16上的点,所以N的轨迹是以(1 , 0)为圆心，以2为半径的圆(如图中的虚圆为所求)14.解法一：如图，在矩形 APBQ中，连结AB
13、 , PQ交于M，显然OM AB , | AB PQ在直角三角形AOM2由OMAM(导(屮也即x2y2 2r2解法二:又IPQ2(x a)2)中,£(x a)2 (y b)2 r2 ,4(a2 b2)，这便是Q的轨迹方程.、 2 设Q(x , y)、A" , yj、B(x? , y?)，则 xAB2，即2y12 2r , X22y2r2(y b)2 (X1 X2)2 (y1 y2)2 2r2 2(x2y2) 又AB与PQ的中点重合，故x a x1 x2, y b y1y2，即2 2 2(x a) (y b) 2r2&必2 y°2)+，有 x2 y2 2r2
14、 (a2 b2).这就是所求的轨迹方程.;=0 或 15x+ 8y 32=0;22 .解: 直线方程l : 2m 1 x m 1 y 7m 4 ,可以改写为m 2x y 70,所以直线必经过直线2x y 7 0和x y 4 0的交点由方程组2x y 7x y 40,解得x0 y3,即两直线的交点为A(3,1)又1因为点A 3,1与圆心C 1,2的距离d .55,所以该点在C内,故不论m取什么实数,直线I与圆C恒相交(2)连接AC ,过A作AC的垂线，此时的直线与圆C相交于B、D . BD为直线被圆所截得的最短弦长此时，AC|5, BC 5,所以BD 2 25 54 5 即最短弦长为 4 5 .
15、又直线AC的斜率kAC11,所以直线BD的斜率为2.此时直线方程为：y 1 2x 3,即2x y 5 0.2yi y2423.解：由xxy2 x 6y m 025y220y 12 m 02y 3 012 myy5又 OPL OQxiX2+yiy2=0,而 xix2=9 6( yi+y2)+4 yiy2= 4m 275.4m 27512 m 0 解得 m=3.524.相交；25.29.解法一：（利用圆心到两交点的距离相等求圆心）将两圆的方程联立得方程组2 2x y 2x iOy 24 0x2 y2 2x 2y 8 0解这个方程组求得 两圆的交点坐标 A （ 4，0），B（0，2）.因所求圆心在直
16、线 x y 0上，故设所求圆心坐标为（x, x），则它到上面的两上交点（4, 0）和（0, 2）的距离相等，故有 4一X）2（0一x）2.x2（2一x）2 ,即4x 12，二x 3, y x 3，从而圆心坐标是（一3, 3）.又r43）2#10,故所求圆的方程为（x 3）2 （y 3）2 10 .解法二：（利用弦的垂直平分线过圆心求圆的方程）同解法一求得两交点坐标 A （ 4, 0）, B（ 0, 2）,弦AB的中垂线为2x y 30 ,它与直线x y 0交点（3, 3）就是圆心，又半径 r ,10 ,故所求圆的方程为（x 3）2 （y 3）210 .解法三：（用待定系数法求圆的方程）同解法一
17、求得两交点坐标为A （ 4, 0）, B（0, 2）.设所求圆的方程为（x a）2 （y b）2 r2，因两点在此圆上，且圆心在x y 0上，所以得方程组（4 a）2 b2 r2a 3a2 （3 b）2 r2，解之得b 3 ,a b 0r 10故所求圆的方程为（x 3）2 （y 3）210 .解法四：（用“圆系”方法求圆的方程过后想想为什么）设所求圆的方程为x2 y2 2x 10y 24(x2 y2 2x 2y 8) 0 (1),222(1)2(5)8(3)门即 x2 y2xy0 1 1 115可知圆心坐标为(，)1 ' 1因圆心在直线x y 0上，所以1一 5一 0，解得2 1 1将
18、2代入所设方程并化简，求圆的方程x2y2 6x 6y 8 0 33. (1).3 ； (2).6 2 ； (3)x2y24.3 ；x2y27 4 3.minmax34解法一：设点P、Q的坐标为 匕，yj、（x2 , y2）.一方面，由OP OQ，得kop koQ1，即也1，也即：X1X2 丫1丫2 0 X1 X2另一方面,(X1 , yj、（X2, y2）是方程组2y2yx 6y的实数解，即 x1、x2是方程m 025x 10x 4m27的两个根.4m 27X1X2X-|X2又P、Q在直线2y30上,1二山 2(3 X1)将代入，得y1 y22(3m5X2)12将、代入，解得m1丄9 3(X1
19、4X2)代入方程，检验X1X2 0成立，二 m 3 解法二：由直线方程可得3 x 2y，代入圆的方程x2 y2 x 6y m 0，有221m2x y 3(x 2y)(x 6y) 7(x 2y) 0，由于x 0，故可得(4m 27)(y)24(m 3)- 12 m 0 .xx- k°p, koQ是上述方程两根.故 kop koQ1.得12 m4m 271，解得m 3 .经检验可知 m 3为所求.35解:以A、B所确定的直线为x轴，AB的中点0为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系./ AB10，二 A( 5,0) , B(5,0).设某地P的坐标为(x,y)，且P地居民选择 A地购买
20、商品便宜，并设A地的运费为3a元/公里，B地的运费为a元/公里因为P地居民购货总费用满足条件：价格+ A地运费w价格+ B地的运费即：3a (x 5)2 y2 a (x 5)2 y2 ./ a 0,- 3.厂5厂y25厂y2化简整理得：(x 25)2 y2(5)2442515二以点(，0)为圆心 为半径的圆是两地购货的分界线.44圆内的居民从 A地购货便宜，圆外的居民从B地购货便宜，圆上的居民从 A、B两地购货的总费用相等因此可随意从 A、B两地之一购货.说明：实际应用题要明确题意，建议数学模型.半径 r |AE| (41)* 2(1 3)25 .2 2故厶ABC外接圆的方程是（x 1） （y 3）25 .10.解：因为圆心在直线 y2x上，所以可设圆心坐标为（a,-2 a），据题意得: