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1、关于保姆服务公司招聘保姆问题的模型一、 摘要本题是一个关于一家保姆公司招聘保姆的问题。已知保姆公司春夏秋冬四个季节对保姆的需求量和每个保姆每个季度的上岗时间以及每个保姆每个月应得的报酬。在保证保姆公司每年获利最大的情况下建立模型求解问题。本模型的基本设计思想是以该保姆公司本年度付出的总报酬最少为目标，从四个季节中找出约束条件，再加上对变量的非负约束，然后对求解问题用LINDO软件求解，用LINGO检验。针对第一问题，设4个季度开始时公司的新招聘的保姆数量分别为x1,x2,x3,x4人，4个季度开始时保姆总数量分别为s1,s2,s3,s4人，以本年度付出的总报酬最少（即4个季度开始时保姆总数量之
2、和为最小）为目标，建立模型求得到的结果为478.5107。针对第二问题，设4个季度开始时公司新招聘的保姆数量分别为x1,x2,x3,x4人，4 个季度结束时解雇的保姆数量分别为y1,y2,y3,y4人，4个季度开始时保姆总数量分别为s1,s2,s3,s4人，以本年度付出的总报酬最小（即4个季度开始时保姆总数量最小）为目标，建立模型求得到的结果为465.1218。关键词：线性规划目标函数 约束条件 非负约束二、问题的提出1、基本情况一家保姆服务公司专门向顾主提供保姆服务。根据统计，下年的需求是：春季6000人日，夏季7500人日，秋季5500人日，冬季9000人日。公司新招聘的保姆必须经过5天的
3、培训才能上岗。每个保姆每季度工作（新保姆包括培训）65天。保姆从该公司而不是从顾主那里得到报酬，每人每月工资800元。春季开始时公司拥有120名保姆，在每个季度结束时，将有15%的保姆自动离职 推荐精选2、需要解决的问题（1）如果公司不允许解雇保姆，请你为公司制定下一年的招聘计划；哪些季度的增加不影响招聘计划？可以增加多少？ （2）如果公司允许解雇保姆，请你为公司制定下一年的招聘计划。三、问题分析1、对问题一的分析。设4个季度开始时公司的新招聘的保姆数量分别为x1,x2,x3,x4人，4个季度开始时保姆总数量分别为s1,s2,s3,s4人，以本年度付出的总报酬最少（即4个季度开始时保姆总数量之
4、和为最小）为目标，建立模型求解。2、对问题二的分析。设4个季度开始时公司新招聘的保姆数量分别为x1,x2,x3,x4人，4 个季度结束时解雇的保姆数量分别为y1,y2,y3,y4人，4个季度开始时保姆总数量分别为s1,s2,s3,s4人，以本年度付出的总报酬最小（即4个季度开始时保姆总数量最小）为目标，建立模型求解。四、模型假设与符号约定1、模型假设（1）数据是真实可靠的。2、符号约定：第季度开始时公司新招聘的保姆数量；：第季度结束时公司解雇的保姆数量；：第季度开始时公司保姆总数量。其中，可取1，2，3，4分别表示春、夏、秋、冬四个季节。五、模型的建立建立规划模型要确定规划目标和寻求的决策。用
5、表示决策变量，表示目标函数。实际问题一般对决策变量的取值范围有限制，不妨记作，称为可行域。规划问题的数学模型可表示为通常是1维或2维变量，通常是1维或2维的非负域。实际问题中的规划问题通常有多个决策变量，用维向量表示，目标函数是多元函数，可行域比较复杂，常用一组不等式(也可以有等式)来界定，称为约束条件，一般地，这类模型可表述成如下形式推荐精选六、模型的求解针对问题一：目标函数：以本年度付出的总报酬最少（即4个季度开始时保姆总数量之和为最小），即MIN = S1 + S2 + S3 + S4.约束条件：第一季度 65 * s1 - 5 * x1 6000; s1 - x1 = 120;第二季度
6、 65 * s2 - 5 * x2 7500;s2 - 0.85 * s1 - x2 = 0; 第三季度 65 * s3 - 5 * x3 5500;s3 - 0.85 * s2 - x3 = 0; 第四季度 65 * s4 - 5 * x4 9000;s4 - 0.85 * s3 - x4 = 0;非负约束：均不能为负值，即我们用LINDO软件求解该问题，输入：Min s1+s2+s3+s4 st 65s1-5x1>=6000 65s2-5x2>=7500 65s3-5x3>=550065s4-5x4>=9000 s1-x1=120s2-0.85s1-x2=0 s3-
7、0.85s2-x3=0 s4-0.85s3-x4=0将文件存储并命名后，选择菜单“Solve”即可得到如下输出：LP OPTIMUM FOUND AT STEP 0 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 478.5107 VARIABLE VALUE REDUCED COST S1 120.000000 0.000000 S2 116.500000 0.000000 S3 99.025002 0.000000推荐精选 S4 142.985733 0.000000 X1 0.000000 0.873223 X2 14.500000 0.000000 X3 0.000000 0.
8、929167 X4 58.814480 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 1800.000000 0.000000 3) 0.000000 -0.029830 4) 936.625000 0.000000 5) 0.000000 -0.016667 6) 0.000000 -0.873223 7) 0.000000 0.149149 8) 0.000000 -0.929167 9) 0.000000 0.083333 10) 0.000000 0.000000 11) 14.500000 0.000000 NO. ITERATIONS=
9、0 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE S1 1.000000 INFINITY 0.873223 S2 1.000000 12.327855 1.789792 S3 1.000000 14.503359 0.929167 S4 1.000000 13.117647 1.000000 X1 0.000000 INFINITY 0.873223 X2 0.000000 0.948297 1
10、.789792 X3 0.000000 INFINITY 0.929167 X4 0.000000 1.009050 1.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 6000.000000 1800.000000 INFINITY 3 7500.000000 4508.536133 869.999939 4 5500.000000 936.625000 INFINITY 5 9000.000000 INFINITY 3528.868652 6 120.000000 15
11、.746606 27.692308推荐精选 7 0.000000 13.384615 901.707153 8 0.000000 63.870926 14.409616 9 0.000000 54.290287 INFINITY 10 0.000000 0.000000 INFINITY 11 0.000000 14.500000 INFINITY对上述结果取整，4个季度开始时公司新招聘的保姆数量分别为0，15，0，59人 上面的模型中没有要求x1,x2,x3,x4,s1,s2,s3,s4为整数，是因为保姆数量比较大，可以近似的看做实数处理，此外，由于非整数因子0.85的影响，如果要求x1,x
12、2,x3,x4,s1,s2,s3,s4为整数，则可能使得新招聘的保姆数量远远不能超出实际需要的数量，从而难以找到合理结果的整数解。 由以上结果约束中的松弛的数据知道，春季和秋季需求的增加不影响招聘计划，可以分别增加1800和936人。针对问题二：目标函数：以本年度付出的总报酬最少（即4个季度开始时保姆总数量之和为最小），即MIN = S1 + S2 + S3 + S4.约束条件：第一季度 65 * s1 - 5 * x1 6000; s1 - x1 = 120;第二季度 65 * s2 - 5 * x2 7500;s2 - x2 + y1 - 0.85 * s1 = 0;第三季度 65 * s
13、3 - 5 * x3 5500;s3 - x3 + y2 - 0.85 * s2 = 0;第四季度 65 * s4 - 5 * x4 9000;s4 - x4 + y3 - 0.85 * s3 = 0;非负约束：均不能为负值，即我们用LINDO软件求解该问题，输入：Min s1+s2+s3+s4 st65s1-5x1>=6000 65s2-5x2>=7500 65s3-5x3>=550065s4-5x4>=9000 s1-x1=120 s2-x2+y1-0.85s1=0 s3-x3+y2-0.85s2=0 s4-x4+y3-0.85s3=0将文件存储并命名后，选择菜单“
14、Solve”即可得到如下输出：LP OPTIMUM FOUND AT STEP 6 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 465.1218 VARIABLE VALUE REDUCED COST推荐精选 S1 120.000000 0.000000 S2 116.500000 0.000000 S3 84.615387 0.000000 S4 144.006409 0.000000 X1 0.000000 0.929167 X2 14.500000 0.000000 X3 0.000000 0.071474 X4 72.083336 0.000000 Y1 0.000000
15、0.083333 Y2 14.409616 0.000000 Y3 0.000000 0.083333 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 1800.000000 0.000000 3) 0.000000 -0.016667 4) 0.000000 -0.014295 5) 0.000000 -0.016667 6) 0.000000 -0.929167 7) 0.000000 0.083333 8) 0.000000 0.000000 9) 0.000000 0.083333 NO. ITERATIONS= 6 RANGES IN WHICH THE BA
16、SIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE S1 1.000000 INFINITY 0.929167 S2 1.000000 13.117647 1.000000 S3 1.000000 INFINITY 0.929167 S4 1.000000 13.117647 1.000000 X1 0.000000 INFINITY 0.929167 X2 0.000000 1.009050 0.076923 X3 0.000000 INFIN
17、ITY 0.071474 X4 0.000000 1.009050 0.076923 Y1 0.000000 INFINITY 0.083333 Y2 0.000000 0.929167 0.077431 Y3 0.000000 INFINITY 0.083333 RIGHTHAND SIDE RANGES推荐精选 ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 6000.000000 1800.000000 INFINITY 3 7500.000000 INFINITY 869.999939 4 5500.000000 936.
18、625000 5500.000000 5 9000.000000 INFINITY 4325.000000 6 120.000000 15.746606 27.692308 7 0.000000 13.384615 INFINITY 8 0.000000 INFINITY 14.409616 9 0.000000 66.538460 INFINITY由上述结果可以知道：第二个季度开始时公司新招聘15人，第二个季度结束时解雇15 人；第四个季度开始时新招聘72人，目标函数值为465.121 8比不允许解雇时的值略有减少。七、结果检验LINGO软件和LINDO软件经常是配合使用的，因为有时候用LI
19、NDO软件求得到的结果不一定千真万确，因此很有必要用LINGO软件进行验证。1、对于问题一的结果，我们用LINGO软件验证，输入：MIN = S1 + S2 + S3 + S4; 65 * s1 - 5 * x1 > 6000; 65 * s2 - 5 * x2 > 7500; 65 * s3 - 5 * x3 > 5500; 65 * s4 - 5 * x4 > 9000; s1 - x1 = 120; s2 - 0.85 * s1 - x2 = 0; s3 - 0.85 * s2 - x3 = 0; s4 - 0.85 * s3 - x4 = 0; x1 >
20、0; x2 > 0; x3 > 0; x4 > 0; s1 > 0; s2 > 0; s3 > 0; s4 > 0;将文件存储并命名后，选择菜单“Solve”即可得到如下输出：Rows= 11 Vars= 8 No. integer vars= 0 ( all are linear) Nonzeros= 30 Constraint nonz= 21( 10 are +- 1) Density=0.303 Smallest and largest elements in abs value= 0.850000 9000.00 No. < : 0 N
21、o. =: 4 No. > : 6, Obj=MIN, GUBs <= 5 Single cols= 0推荐精选 Optimal solution found at step: 2 Objective value: 478.5107 Variable Value Reduced Cost S1 120.0000 0.0000000 S2 116.5000 0.0000000 S3 99.02500 0.0000000 S4 142.9857 0.0000000 X1 0.0000000 0.8732231 X2 14.50000 0.0000000 X3 0.0000000 0.9
22、291667 X4 58.81448 0.0000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 478.5107 1.000000 2 1800.000 0.0000000 3 0.0000000 -0.2982986E-01 4 936.6250 0.0000000 5 0.0000000 -0.1666667E-01 6 0.0000000 -0.8732231 7 0.0000000 0.1491493 8 0.0000000 -0.9291667 9 0.0000000 0.8333334E-01 10 0.0000000 0.0000000 11 14.
23、50000 0.0000000可以看到，结果和用LINDO软件运行得到的结果一致。2、对于问题二的结果，我们用LINGO软件验证，输入：MIN = S1 + S2 + S3 + S4; 65 * s1 - 5 * x1 > 6000; 65 * s2 - 5 * x2 > 7500; 65 * s3 - 5 * x3 > 5500; 65 * s4 - 5 * x4 > 9000; s1 - x1 = 120; s2 - x2 + y1 - 0.85 * s1 = 0; s3 - x3 + y2 - 0.85 * s2 = 0; s4 - x4 + y3 - 0.85
24、* s3 = 0; x1 > 0; x2 > 0; x3 > 0; x4 > 0;推荐精选 s1 > 0; s2 > 0; s3 > 0; s4 > 0;将文件存储并命名后，选择菜单“Solve”即可得到如下输出：Rows= 17 Vars= 11 No. integer vars= 0 ( all are linear) Nonzeros= 39 Constraint nonz= 30( 19 are +- 1) Density=0.191 Smallest and largest elements in abs value= 0.850000
25、 9000.00 No. < : 0 No. =: 4 No. > : 12, Obj=MIN, GUBs <= 8 Single cols= 3 Optimal solution found at step: 2 Objective value: 465.1218 Variable Value Reduced Cost S1 120.0000 0.0000000 S2 116.5000 0.0000000 S3 84.61538 0.0000000 S4 144.0064 0.0000000 X1 0.0000000 0.9291667 X2 14.50000 0.0000
26、000 X3 0.0000000 0.7147436E-01 X4 72.08333 0.0000000 Y1 0.0000000 0.8333334E-01 Y2 14.40962 0.0000000 Y3 0.0000000 0.8333334E-01 Row Slack or Surplus Dual Price 1 465.1218 1.000000 2 1800.000 0.0000000 3 0.0000000 -0.1666667E-01 4 0.0000000 -0.1429487E-01 5 0.0000000 -0.1666667E-01 6 0.0000000 -0.92
27、91667 7 0.0000000 0.8333334E-01 8 0.0000000 0.0000000 9 0.0000000 0.8333334E-01 10 0.0000000 0.0000000 11 14.50000 0.0000000 12 0.0000000 0.0000000 13 72.08333 0.0000000 14 120.0000 0.0000000推荐精选 15 116.5000 0.0000000 16 84.61538 0.0000000 17 144.0064 0.0000000 可以看到，得到的结果和我们用LINDO软件运行得到的结果一致。八、模型的优缺
28、点及推广1、模型的优点（1）采用的数学模型有成熟的理论基础，可信度较高。（2）建立的数学模型都有相应的专用软件支持，容易推广。（3）利用数学工具，严格地对模型求解，具有科学性。2、模型的缺点（1）对问题的求解结果作了近似处理。3、模型的推广本题的求解用到的模型是线性规划模型，可以推广到下料问题、汽车生产与原油采购等问题中。九、参考文献1吴建国.数学案例精编.北京，中国水利水电出版社.2005.2盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计.北京，高等教育出版社.2003.3黄叫裕.初等数学建模.成都，四川大学出版社.2005.4姜启源，谢金星，叶俊.数学建模.北京，高等教育出版社.2003. （注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!） 推荐精选