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1、高等数学I (大一第一学期期末考试题及答案)1.当xX。时，X , ： X都是无穷小，则当 a(xp+冋 x)(A)(B)(C) In 1 ： (x)，(x) 11sinx 佑lim2.极限X浮Sina 的值是(C(D)xx0时(D :-2 x j 亠,2 x2：(X)：(x)不一定是无穷小.(A) 1(B) ecot a(C)e(D)tan ae2ax5.sin x e -16.由exy y|n X =cos2x确定函数y(x)，贝u导函数y2sin2x yexyxxe In x(A) 1(B) 0(C)elim -那么h刃f (a h)-4.设f(x)在点x二a处可导，h(A)3f(a)(
2、B)2f (a)(C)f (a)11 f (a)(D)33.lim极限x 0x = 0在x = 0处连续,(D)-1f(a -2h)4分，共16分)1、填空题(本大题有4小题，每小题ln(x a) -In a , 小、(a 0) 的值是 a7.直线I过点M(1,2,3)且与两平面x y-z-ONxYy，5z = 6都平行，则直线|的方程_X p _ _y_ Z3为1-1-128.求函数y =2x -1 n(4x)的单调递增区间为(:,0)和(1, +：)三、解答题(本大题有4小题，每小题8分，共32分)19.计算极限limSX 0 X1 1 ln(1 x) A(1 x)X -eex -1ln(
3、1 x) x elim=elim =elim2= _解：xTXxTxx Q x2x a,b，试求出F“(x)F(x)= J(x-t)f(t)dt10.设f(x)在a, b上连续，且axx解:F (x)二 x f (t)dt - tf (t)dtaacosx x 3dx.11.求 sin x解:cosx1Xrdx =-sin xxd sin ' x21 , 1 , 1/1 xsin x sin xdx xsin x cotx C2 2 2 2四、解答题(本大题有4小题，每小题8分，共32分)dxX.X2-112.2xy =213.求函数 1 - x2的极值与拐点.解：函数的定义域(一：，
4、+ ：)令 y = 0 得 x 1 = 1, x 2 = -1y (1) ： 0 x 1 = 1是极大值点，y( -1)°X 2 = -1是极小值点极大值y(1)二1，极小值“-1) = -1令 y =0 得 x 3 = 0, x 4 =3 , x 5 = -3Xa為)(-朽,0)(0,")(駅，+ ?)+_<3_ <3故拐点(3，- 2 )，( 0, 0)( 3，2 )3xy214. 求由曲线 4与y=3x-x所围成的平面图形的面积.215. 设抛物线y=4-x上有两点A(-1,3)，B(3,-5)，在弧a B上，求一点P(x,y)使ABP的面积最大.六、证明题(本大题4分)16.设 x 0，试证/(x)门 x.证明：设 f(x)弋2x(1-x) -(1 x),x 0f (x)二 e2x(1 -2x) -1， f (x)-4xe2x，x 0, f (x)空 0，因此 f (x)在(0，+ ：)内递 减。在(0, + ：)内，(X)“ f (0) 7 f(x)在(0, + ：)内递减，在(0, + ：)内，f(x)“ f(0), 即 e2X(1 x)-(1+x) £0 亦即当 x>0 时，e2X(1x) S+x 试证 e2X(1 - x) c1 + x .