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1、第22讲 UNIT 3二倍角公式与 简单的三角恒 等变换课前双基巩固丨课堂考点探究丨教师备用例荻能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦、正切公 式,进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组 公式不要求记忆）.课前双基胡s知识聚焦1 二倍角的正弦、余弦、正切公式l-2sin2a(1)公式 S2a：sin 2a=2sin ac°s a公式 C2,:cos 2a=cosa-sin2a 二 2cos2a-12 tana(3) 公式 T2ez:tan 2a =ltan2a 2常用的部分三角公式2吨(l)l-cos a=,1+cos oc=小2a
2、2cos 亍（升幕公式）(2) 1 ±sin a=(3) sin2a=_2tan a=(sin 斗土cosP2 2 1-cosZa2,cos2a=1-cos 2 a(降幕公式)(升幕公式)1 + cos2a1 + cos2a课前双基胡1-tan2 2(X7y2tanyi I 4-nn2 _(4) sin a= ,cos a= 丄 LclH 2 ,tan a=1+tan2- (5) t/sin a+bcos a=“以 + b2sin(a+0),其中 sin3 三角恒等变换的基本技巧(1)变换函数名称:使用诱导公式.升幕、降幕:使用倍角公式.常数代换:如 1 =sin2a+cos2a=t
3、an.(4)变换角:使用角的代数变换、各类三角函数公式.2tan jl-ta/.（万能公式）厂爲亦os厂希.（辅助角公式）课刖双基巩周常用结论半角公式: a . / 1-cos aaSln,cos 产土1+cos a ap-'tan -1-cos a 1-cos a14-cos a sin asin a1+cos a课刖双基巩周L对点演练'题组一常识题L教材改编sin 15°-V3cos 15。的值是答案-V2解析sin 15°-V3cos15°=2Qsinl5o-yC0sl5°)=2(sin30°sin 15°-co
4、s 30°cos15°)=2cos(30°+ 15°)=2cos 45°=-a/2.课刖双基巩周答案兀解析金)=siiA$-竽，故沧) 的最小正周期丁=¥=兀2教材改编BQ»=sin2x-|(xeR),IJ1IJ»的最小正周期是1 解析由 cos+)二亍,cos(a0)=§,3教材改编已知cos(a+0)=扌,cos(a0)=右则tan «tan P的值 为得所以 tan «tancosczcos/?-sinasin/?=3 cos 伉 cos/? + sinasin = 土,cosc
5、xcos/?=右1sinasin =-丄osin asincos acos4教材改编已知sin。=詁为第二象限角，则sin 20的值 为2425解析:-sin 0=0为第二象限角,4 :cos：sin 20=2sin Ocos533=2x-x5题组二常错题索引:已知角与待求角之间关系不清致误;已知三角函数值求角时范围不清致误 ；6zsin a+bcos a=sin（a+（p沖。值的确定错误;求三角函数值时符号选取错误（根据求 解目标的符号确定）.5已知 sinCTW，则 cos（2a）二答案I解析由题意知,cosQ 2 伉）=1 -2sin2Q 伉）二 12_79_?凰如賢赵职詡xiy卷昜课前
6、双基巩固7. sin a-cos a=Vsin(a+°)中的(p=答案2竝护e Z解析sin «-cos么=血（乎sin乙«cos 力，贝！J cos 0=乎,sin 卩=乎, 所以（p=2kn,kZ.课刖双基巩周&已知 sin 2a=3,2a 曰0二），则 sin a-cos a42答案弓解析因为2炸（0冷），所以心0,牛）,所以 sin a-cos a<0,所以 sin a-cosa= J（sina-cosa）2=I l-2sinacosa=- il-|=课堂考点探究思路点拨(1)先根据余弦的二 倍角公式降幕，再根据两角和 与差的余弦公式化简得结
7、果;(2 先化切为弦,再通分，然后利用 两角差的余弦公式求解.探究点一三角函数式的化简例12018东莞考前冲刺化简:cos2(q|) +sin2(x+)=()11 A. 1 +cos 2xB. 1 +sin 2x22C. 1 +cos lx D. 1 +sin 2x(2)化简:tan a+=()tan1 1A.cos a B.sin a C. D.cos asin a答案(1)B(2)C解析(1 )cos2x-+sin2% + 寻)=i+8严 6)+1 c°s, +&)=+£(ms 2xcosf+sin 2xsin£)-(cos2xcos,sin 2xsi
8、n7)=l+sin 2xsin= 1+；sin 2兀，故选 B6 6 6 2“,1 sina(2)tan卅喝cos(¥+») sinasinQ+cosacosQ+y4. 2丿 cos« ' sing+y)cosasing+g4»丿二騁)二 一 = cosasinQ+y cosasinQ+y coscrsin(?+#)/it . a /k a fn . acos丄钻二丄故选c.cosasin -+- cosa总结反思(1)化简标准:函数种类尽可能少、次数尽可能低、项数尽可能少、尽量不含根 式、尽量不含绝对值等.(2)余弦的二倍角公式、正弦的二倍角公
9、式都能起到升(降)幕的作 甩课堂考点探究变式题 V1 + sin64- Jlsin6=()A.2sin 3B.-2sin 3C.2cos 3D.-2cos 3答案D 解析V1 + sin6+J l-sin6=J (Vl + sin6 + j 1 + sin6 + l-sin6 + 2 sin6)(l -sin6)= "2 + 2cos6二 12 + 2(2cos23-l)=V4cos23=-2cos 3.课堂考点探究探究点二三角函数式的求值角度1给值求值例 2 已知 sin(a0)cos a-cos(a-/?)sin。=三,则 cos20的值为()A= B兰C丄D.竺25252525
10、(2)2018厦门外国语学校月考已知tan &+代=4,思路点拨(1)根据两角差的正弦公式进行化简，求得sin B的值，再根据二倍角公式，即可得到答案;(2)由已知条件求得sin 0cos 3的值，再由二倍角的正、余弦公式CD及诱导公式求值.课堂考点探究例 2 已知 sin(a0)cos a-cos(a-)sin 则 cos20的值为()b器c去D4f252525252018厦门外国语学校月考已知tan &+±=4, 则 cos& + 中)=()A.-B.-C.-D.-5432答案(1)A (2)B解析由题意得sin(a0)cos36t-cos(a-y5)si
11、n «=sin(-/?)=-sinqo 7所以 sin /3=-,所以 cos 2/?=l-2sin_=,故选A.(2)由 tan &+丄二4,' 3tan8 '/曰 sinO cos& 日pjSinS+cos?&可 cos& sinO ， sin&cose ， :sin Ocos &：cos2(e + 刁+叭"乜4V 472l-sin2&l-2sincos0 1-2 x| 1222 一4,课堂考点探究总结反思给值求值是指已知某个角的三角函数值,求与该角相关的其他三角函数值的 问题，解题的基本方法是通过
12、角的三角函数的变换把求解目标用已知条件表达出来.课堂考点探究变式题（1）2018荷泽模拟已知,2兀）,sinQ + a）=扌,则 tan（兀+2a）= （ ）B.a5D.空5A竺7CQ7（2）2018-r州七校联考若sin（知）弓63则COS（号+ 2a）的值为（）A.-|B.439C 丄D.?39答案(1)A (2)B解析(1) ：g(¥，27T),sin(| + Q)=cosa=-, : sin a=亍,tan a=-2y/2,2tana -42 42 .tan(7i+2a)=tan 2a= =v 7l-tan2a -77(2)COS(y +二-cos£ -2a)二co
13、s2g)=COS 71-2-a)=-l-2sin2Q-a)'=-(l-2 X 沪冷.角度2给角求值例32019重庆南州中学月考2cos 10°sin 70B./3-12tan 20°=(A.1C.V3思路点拨首先利用同角三角函 数关系式，将切化弦，之后利用诱 导公式化简,借助于两角差的正弦 公式及辅助角公式求得结果.例32019重庆南州中学月考2 cos 10°sin 70 °tan 20°=(B.A.1C.V3答案C解析需R20。_2cosl 0° sin20° 2cos 10°-sin(30°
14、-10°) sin70° cos20°知$10。+纽1110。_届皿10。+60。)_羽 故选(sin70°sin70°sin70°总结反思该类问题中给出的角一般都不是特殊角,需要通过三角恒等变换将其变为特 殊亀或者能够正负相消，或者能够约分相消，最后得到具体的值变式题 tan 70°cos 10°(V3tan 20°-1)=(A.lB.2C.-lD.-2=1.答案C 解析原式特述sin20°cos20°_cos20°cosl0°丿_ sin20°x/3s
15、in20°-cos20°cos20°cos 10°sin20°sin20°也诚20。30。）=窃角度3给值求角 例4若sin 2a=半,sin0a）二讣且兀,¥，则幺+0的值是()思路点拨转化为求cost+0)的 值,再求角6(+0的值课堂考点探究例 4 若 sin 2a=¥，sin0a）二乎,且答案AaW £兀,0G兀,¥|,则a+“的值是71：2泻L4L4又 0vsin 2a=¥W， ：2a G 庠,兀）,即 a G （菩扌）,cos 2a=-Jl-sin22a=-r|. ：0丘
16、兀，寸 又 sing）=晋， ：0a W（£，兀），：cos0a）= J l-sin2（/3-a）=-:cos（a+0）=cos2a+e幺）=cos 2acos（J3a）sin 2小处）=琴（-辔）更烦迈-3兀3?f2*，"炸G，苟,371010纠罟又匹（韵,“丘兀罟，：十0丘（*,2兀），：+0=¥，古攵选人总结反思通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：已知正切函数值，则选正切函数.已知正、余弦函数值,则选正弦或余弦函数若角的范围是（0,扌），则选正、余弦皆可;若角 的范围是（0,71）,则选余弦较好;若角的范围为（黑），则选正弦较好.变式题
17、 已知切£(0,兀),且tan(a-)=-,tan “=+，则2切的值为3兀tan(a-)+tan/?l-tan(a-J?)tanjffZtan(2a-/?)=tan2a-tan/?l+tan2atan/?解析:a e (0,7i),tan a=tan(a0)+0=越W>o,.g弓n c 2tana 2X：3小小'兀又tan 2a=Tw=TQ7=4>°5 - 0<2«<?：0 W (0,7r),tan 0=*<0, 冷<0<兀,：兀 v2a0<O, ：2a#=手课堂考点探究思路点拨(1)利用两角差的正弦 公式
18、和倍角公式对函数解析式化简整理，利用函数的最大值求得a探究点三三角恒等变换的综合应用例5已知函数/(x)=4cos xsin(Qf)+a的最大值为3.(1)求a的值及用)的单调递减区间；若aW(O,斗，求cos a的值进而根据正弦函数的单调性得到 沧)的单调递减区间;(2)由题意易 得sin("W，进而得到COS(Q- W利用配角法可得cos cc=cos(a- 夕+轧从而得到结果.O O解:由题意知金)=4cos xsin(x-f)+"=4cos % (y sinx-1 cosx)+a=2V3sin xcos x-2cosx+tz =V3sin 2%-cos 2rl+a=
19、2sin(2x-l+a当sin(2炉加1时金)取得最大值，此时/=21+*3,九=2 由2k7i<2x-+2kn,k e z+k7t<x<+k7i,k e 乙26 236:金)的单调递减区间为扌+"罟+加从e Z.(2)由(1 )可知炎x)=2sin(2x- *) + 1, * 血(-彳)=|,又a丘(0,亂.：a辛(-胸，.:cos(a-专)=扌, COS G=COSoc + cos( ol- )-rsin( oc67 2tt_4V3-36/ 10总结反思求三角函数解析式尸Asin（侏+0）（4>0口>0）时要注意（p的取值范围 根据二倍角公式进行计算
20、时，如果涉及开方则要注意开方后三角函数值的符号.课堂考点探究变式题 设函数f(x)=sin x+V3cos兀+1.求函数沧)的值域和单调递增区间；当_/(a)=¥，且a彳时，求sin(2a +年) 的值.因为-2<2sin(x + 学 2,所以ls2sin(x + ) + 1<3,即函数/W的值域是卜1,3.令-+ 2kn<x+-<2kjiU Z,解得- ¥+2尿W+2刼* e乙所以函数的的单调递增 区间为*+ 2/m,£+ 2/ctt,胆乙变式题 设函数f(x)=sin x+V3cos兀+1.求函数沧)的值域和单调递增区间；当_/(a)=
21、¥，且a彳时，求sin(2a +年) 的值.由二2sin（a + 0 + 1 =y,得sin（伉+詈）二扌 因为所以子a+押,所以cos（a + f） W 所以 sin（2伉 + 年）二sin 2（伉 + 詈）=2sin（伉 + 詈）岭+ ”站一总教师备用例题【备选理由】例1考查三角函数式的化简;例2是给值求值问题;例3是给角求值问 题的补充,给出的是非特殊角;例4是给值求角问题，选择相应的三角函数求值是解 题的关键.例1配合例1使用化简:sin(a+0)cos a丄sin(2a+0)sin 0=.答案sin p解析原式二 sin(a+0)cos a 丄sin(a+0+a)sin 0
22、2二sin(a+0)cos a-sin(a+“)cos a+cos(a+0)sin a-sin /3吕sin(a+0)cos acos(a+厉sin a+gsin 0二 fsin 0+gsin 0=sin 0.例2 配合例2使用2018资阳三诊已知 角a的顶点与原点O重合,始边与x轴的正 半轴重合，若它的终边经过点尸(2,1),则 tan(2a + f)=()A.-7D.7答案A 解析由角a的顶点与原点O重合,始边与x 轴的正半轴重合，且它的终边经过点卩(2,1),I /pg1 c 2tana 14可侍 tan «=-,2“： 二二它4 : Um（2a + 扌）二tan2a+tan7
23、4l-tan2atan-皆一7故选A.例3 配合例3使用若a/2(cos2 16°-sin216°),Z?=sin 15°+cos +cos56。贝！ a,b,c 的大小关 系为()A.c<b<aB.b<c<aC.a<b<cD.b<a<c答案C解析6Z=a/2(cos2 16°-sin216°)=V2cos 32°,b=sin 15°+cos 15°=V2cos 30°,c=V1 + cos56°=V2cos228°=V2cos 28°, 又：二cos x在(0。,90。)上单调递减， :cos 28°>cos 30°>cos 32°, c>b>a.故选 C.例4 配合例4使用已知均为 锐角，且sin a=y,cos 0=罟，则a-p的值 为答案£解析:乙,0均为锐角,sin a=cos a=V5 p /io 干 cos r, l-sin2a=z|,sin 0=Jl-cos?" : sin(a0)=sin ctcos 0cos asin n V5 7T0 2/5 3V10a/2=TXVx=-亍又:冷Va0V?,.：a0=*