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1、第9节圆锥曲线的综合问题最新考纲1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思 想方法；2了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想.ill运扫屈加运加込运刖运加送加屈虫熙益运曲送加殊虫运淀嵌运列加列订滋曲屈卫注閱屈加加加虫熙刖总好加运运庶加同讣口书斤甘口2氏命宣土屮 ：和：醫：舅：?：醫：I：I：!；：!：!：什：:": 73 歹*山1直线与圆锥曲线的位置关系知识梳理判断直线/与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线I的方程Ax+By+C=O（A, B不同时为0）代入圆锥曲线C的方程F% y）=0,消去y（也可以消去兀）得到一个关于变量兀（或变量y）的一元方程,jAr+By+C=0,
2、F (x, y) =0消去y, 得o?+加+c=0(1) 当qHO时,设一元二次方程ax2-rbx-c=O的判别式为zh贝V： / >0 o直线与圆锥曲銭匸/ = 0o直线与圆锥曲钱旷J<0 o直线与圆锥曲敏:IEI(2) 当« = 0, bHO时，即得到一个一次方程，则直线/与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，贝嵋线/与双曲线的渐近线的位置关系是;若咖軌物线，则直线Z与抛物线的对称轴的位置关系是2 圆锥曲线的弦长设斜率为k（M）的直线/与圆锥曲线C相交于人B两点,A（X,力），B（x2,力）， 则IABI二庐?加一幼二寸 1+卩寸（Xi+%2）2-4屮
3、2=狂hr匸低 7 5+力）2一他力.常用结论与微点提醒1 直线与椭圆位置关系的有关结论(1) 过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；(2) 过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切;(3) 过椭圆内一点的直线均与椭圆相交.2.直线与抛物线位置关系的有关结论(1) 过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公 共点，两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；(2) 过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公 共点，一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；(3) 过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公 共点，一条与对称轴平行或重合的直线.诊断自L思考辨析（在括号内打“厂或则乂”）（
4、1）直线/与椭圆C相切的充要条件是：直线/与椭圆C只有一个公共点.（）（2）直线/与双曲线C相切的充要条件是:直线/与双曲线C只有一个公共点.（）（3）直线/与抛物线C相切的充要条件是:直线/与抛物线C只有一个公共点（）（4）如果直线x=tya与圆锥曲线相交于A（xP片），讯旳力）两点，则弦长旳同=*1+市1一刈（）解析(2)因为直线/与双曲线C的渐近线平行时,也只有一个 公共点,是相交，但并不相切.(3)因为直线/与抛物线C的对称轴平行或重合时,也只有一个 公共点,是相交，但不相切.答案(1)VXX (4)72 22直线y=kx-k+l与椭圆t+；=l的位置关系为（）A.相交B.相切C.相离
5、D.不确定解析 直线y二也-k + = k（x - 1） + 1恒过定点（1，1）,又点（1）在椭圆内部,故直线与椭圆相交.答案AJY 3（选修2-1P80A8改编）己知与向量0=（1, 0）平行的直线I与双曲线&一）?=1相交于A, B两点,则IABI的最小值为2 解析由题意可设直线/的方程为y=m,代入扌一#=1得,=4（1+屛），所以旳二寸4 （1+m2） =2寸1+d兀2= 2| 1 + 屛，所以 L4BI=lx 1 幼=4冷 1 + /, 所以L4BI=4寸匸需24,即当加=0时，L4BI有最小值4.答案44过抛物线y = 2%2的焦点的直线与抛物线交于人（小，儿），B（x2
6、,歹2）两点，则X“2等于'解析易知抛物线j=2r的焦点为p注设过焦点的直线的斜率为h则其方程I，11_后+1 得 2%_仕_§二0,故 X%2 _话答案1165.已知F,心是椭圆16好+25护=1 600的两个焦点，P是椭圆上 一点，且P"丄PF?，则FfD的面积为解析 由题意可得IP" I + IPF2I = 2« = 20 ,IPFJ2 + IPF2I2 =眄尸2卩=4c2 = 144 = (IPFJ + IPF2I)2 - 2PF-PF2 =202 - 2PFPF ,赧帥帥8風別即代1=卜128=64.答案64第1课时直线与圆锥曲线考点-
7、直线与圆锥曲线的體关系2 2【例1】在平面直角坐标系兀Oy中，己知椭圆5+点=1(方0)的左焦点为Fi(1, 0),且点 P(0, 1)在 G 上.求椭圆C1的方程；(2)设直线/同时与椭圆G和抛物线C2： #=的相切，求直线/的方程.解(1)椭圆C的左焦点为F(1 又点P(0, 1)在曲线C上， ：2+g=l,得 b=l,则 a=b2+c2=2,a b2所以椭圆G的方程为，0), Ac=l,（2）由题意可知，直线/的斜率显然存在且不等于0,设直线/的方程为y=kx+m, （2+ =1,由 2消去y,得（1+20於+4胁兀+2加'2=0.y=kx-m因为直线/与椭圆C相切，所以厶=16
8、卩/一4（1+2卩）（2屛一2）=0.整理得2卩屛+1 =0规律方法研究直线与圆锥曲线的位置关系时,般转化为y2=4x,得CjC+(2km 4)x+m2=0.因为直线/与抛物线C?相切, 所以 J2=(2km-4)2-Icm2=0,整理得 km=.®综合,所以直线/的方程为）=普x+巾或=研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，消 元后,应注意讨论含界项的系数是否为零的情况,以及判别式 的应用但对于选择题、填空题要充分利用几何条件，用数形 结合的方法求解.【训练1】若直线mx+ny=4与圆0： xy= 4没有交点，则过点P伽）的直2 2线与椭圆t+:=l的交点个数为（）A
9、至多一个B.2C.lD.0解析：直线mx+n）!=4和圆0： x2+y2=4没有交点，:.寸点_ ?>2,加+/<4,222 2 < 2 2晋护<1，:点伽可在椭圆才+才=1的内部，:过点伽2 2）的直线与椭圆|+= 1的交点有2个，故选B答案B考点二弦长问题=1(>0>0)的左、右焦点2【例2】(2018-黄山二模)设片，尸2分别是椭圆D： 7过尸2作倾斜角为中的直线交椭圆D于a，B两点，片到直线的距离为2诵,连接椭圆D的四个顶点得到的菱形的面积为25.求椭圆D的方程;(2)设过点E的直线I被椭圆D和圆C： (x-2)2+(j-2)2=4所截得的弦长分别为
10、m, n,当加说最大时,求直线/的方程.解 设F的坐标为（一c, 0）,尺的坐标为（c，0）（c>0）,则直线AB的方程为尸凤一c）,即!3x-y-i3c=0,解得c=2 l_©c_©cl(3) 2+ (-1) 2=* 2a 2b=2y59 .ab=y5,又 a2=b2+c2, .a2=5, b2=l,（2）由题意知，可设直线/的方程为x=f）x=fy+2,得(¥+5)寸+4fy -1=0,设直线/与椭圆D的交点坐标为（小）卜2,则圆心C到直线/的距离二2t'力+旳=一4r2书（#+1） ?+5#+5当且仅当肝=肯,即/=±仃时，等号成立：
11、直线/的方程为xyiy2=0或无+by2=0.规律方法 弦长的三种常用计算方法(1) 定义法：过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义，可优化解题.(2) 点距法：将直线的方程和圆锥曲线的方程联立,求出两交点的坐标,再运用两点间距离公式求弦长.(3) 弦长公式法：它体现了解析几何中设而不求的思想，其实 质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的 关系得到的.【训练2】（2018咲|3州一模）已知倾斜角为60 °的直线/通过抛 物线x2=4y的焦点，且与抛物线相交于4, B两点，贝!弦肋1 解析直线/的方程为尸层+1,由丿2一泯+"'得#_4，+1二0
12、x =4y,77设畑jO, B%乃），则片+力=14,: AB =）丿 1 +力+卩=14+2=16.答案16考点三中点弦问题侈维探究)命题角度1利用中点弦确定直线或曲线的方程2 2【例3-1己知椭圆E：+|i=l(Qb>0)的右焦点为F(3, 0),过点F的直 线交E于A, B两点.若的中点坐标为(1, -1),则E的方程为()2 2B-36+27=12 2A±+a，45 十 36 1C = 1D +鼻=1匕27 1818 92 2(2)(题多解)已知P(l, 1)为椭圆予+=1内一定点，经过P引一条弦，使此弦 被P点平分，则此弦所在的直线方程为解析 因为直线过点F(3, 0
13、)和点(1, 1), 2 2 / 2 所以直线AB的方程为尸卫一3),代入椭圆方程+点=1消去y,得j+2x2詁x+討-侶=0,3 2尹所以AB的中点的横坐标为一=1,即a2=2b2怜胡又 a2=b2-c 所以 b=c=3, a=30.法-易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为厂1=檢1）,此弦的两端点坐标分别为A（m yd，B（X2,力）yl=k （x1）、曲y2消去y整理得，（2尸+1）一4/:伙一1）尤+2（尸一2/:1）=0,4 + 2 = b兀1+兀2=Ak （鸟一1）2卩+1又：“1+尤2=2, :2卩+ =2,解得 k= 2,故此弦所在的直线方程为y 1 = g（x 1），即
14、x+2y3=0.法二易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k,此弦的两端点坐标分别为A(xP vO, B%乃)，2H2+-2K4IP贝1®=2-2卄2-41®-得(曲2)Jr) + 5+力)2(旷乃)=0,丄丄也二也丄_ _n ?片_旳一 1兀1+七一2,)?1+旳_2, +)'i一 5乙X入2乙:此弦所在的直线方程为yl二一g(x1),即x+2y3=0.答案(1)D(2)兀+2y3 = 0命题角度2利用中点弦解决对称问题H【例3-2】若抛物线尸去上两点A（q, yd，B（X2,巾）关于直线尸+m对称,且柄二-字则实数加的值为解析由题意可设直线AB的方程为)=x+
15、b,代入 y=2x 得 2x2+x-/?=0, XX2 = 2?无内二b_ 1T=r即直线AB的方程为y=r+l 设AB的中点为M(xo,肋则防字代入yo=刊+1，得罔,则彳-扌，4身=-扌+加,3规律方法处理中点弦问题常用的求解方法(1) 点差法：即设岀弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有财+迪，力+力，号三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用 兀1 %2中点公式即可求得斜率.(2) 根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程 后，由根与系数的关系求解.(3) 解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外，还要注意：如果点A, B关于直线/对称，贝强垂直直线且A, B的中点在直线/上的应用.【训练3】 若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0, 2),直线y= 3x+7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1,则这个椭矚的删髄的电謂点，一个焦点为(0, 2),则沪=4,所以可设椭圆方2 2程为命+討1,y=3x+7,由 丄丄消去X,整理得(10尸+4)#140+4)厂9庆+13肚+196=0,设直线y3xF7与椭圆相父所得弦的端点为(无1，yd，% )?2)一14 (b?+4)由一元二次方程根与系数的关系得：升+乃=册2+4 =2.2 2解得：48.所以a2=12.则椭圆方程为代=1.答案代T