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1、精心整理、常用公式:序号公式记忆特征12x +(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)(十字相乘法)(1) 常数项两数积(2) 一次项系数两数和(3) 二次项系数为122 2a -b =(a-b)(a+b)(平方差公式)32 2 2a +2ab+b =(a+b)2 2 2 a -2ab+b =(a-b)(完全平方公式)42 2 2 2 a +b +c +2ab+2ac+2bc=(a+b+c)(完全平方公式扩展)(1) 三数平方和(2) 两两积的2倍5a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)332233a -3a b-3ab +b =(a-b)(元全立方公式)对照完全平方公式相互加强记忆633
2、22a +b =(a+b)(a -ab+b )3322a -b =(a-b)(a.+ab+.b.)(1) 近似完全平方公式(2) 缺项之完全立方公式23(a+b).(a+b).-3ab=(a+b) -3ab(a+b)23(a-b)(a+b) +3ab=(a-b) +3ab(a+b)73 . 33小z .x , 2 .22.a +b +c-3abc=(a+b+c)(a.±b.+c.-ab-.ac-b.c)对照公式4相互加强记忆8n n /. x/ n-1n-2.n-3 2. n-2. n-1、击忌冶件a -b =(a-b)(a +a b+a b +ab +b )n=整数(平方差公式扩展
3、)(1) 短差长和；(2) a指数逐项递减1;(3) b指数逐项递增1;(4) 长式每项指数和恒等于n-1。9an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2- +abn-2-bn-1) n=偶数(立方差公式扩展)(1) 短式变加长式加减相间；(2) a指数逐项递减1;(3) b指数逐项递增1;(4) 母项付号b扌曰数决疋偶加奇减。10a +b =(a+b)(a -a b+a b -+ab -b )n=奇数 (立方和公式扩展)对比公式9的异同公式1练习：第一组第二组第三组第四组第五组2cLx +6x+52x2+8x-1032x -8x +15xc2c2x -x-32 2x +2xy-
4、15y2x -x+4223x +3x-3632x +20x +51x2-3x +11x-6322x +2x y-15xy2cCLx +2x-355x2-10x-1532x -12x +32x-4x2-8x-32 22x -xy+3yx2+4x-4527x -35x+42x3-11x2+30x6x2-2x-82 24x -2xy+2y二、常用因式分解方法1、提取公因式法2、运用公式法3、分组分解法4、十字相乘法5、拆项、添项法页脚内容精心整理三、例题讲解1、提取公因式法例 1x(a-b)n+y(b-a)2n+1 提示：(b-a)2n=(a-b)2n,(b-a)2n+1=-(a-b)2n+1解：原
5、式=(a-b)2nx-y(a-b)=(a-b)2n(x-ay+by)例2(ax+byf+(ay-bxf+c2y2+c2x2提示：先展开再合并同类项解：原式=a2x2+2abxy+6y2+a2y2-2abxy+k2x2+c2y2+c2x2(原式展开)=(a2+b2+c2)x2+(a2+b2+c)y2(合并同类项)=(a2+b2+c2)(x2+y2)(提取公因式)2、运用公式例1x7y-xy7提示：先取公因式，然后用公式。用公式时注意尽量将指数降到最低(2或3最佳)解：原式=xy(x6-y6)(提取公因式)=xy(x3)2-(y3)2(公式2：平方差公式)=xy(x-y3)(x3+y3)(公式6:
6、立方和/差公式)=xy(x-y)(x +xy+$)(x+y)(«-xy+y2)例2(a+2b+cf-(a+b)3-(b+c)3提示：第一个多项式为另外两个多项式之和(添括号形成立方和的形式)(应用立方和公式展开)(提取公因式a+2b+c形成平方差公式)(提取公因式b+c)(合并化简)原式=(a+2b+cf-(a+b)3+(b+c)3=(a+2b+cj-(a+2b+c)(a+bf-(a+b)(b+c)+(b+c2=(a+2b+c)(a+2b+c2-(a+b¥+(a+b)(b+c)-(b+c)2=(a+2b+c)(2a+3b+c)(b+c)+(a+b)(b+c)-(b+c=(a
7、+2b+c)(b+c)(2a+3b+c)+(a+b)-(b+c) =3(a+b)(b+c)(a+2b+c)例 3 若 X=. £ * 訣，y=.；. 一.：'.:，则 x6+y6 的值是: 解：x6+y6=(x2)3+(y2)3=(x2+y2)(x2)2-x2y2+(y2)2(应用立方和公式)=(x2+y2)(x2+y2)2-3x2 y2(应用完全平方公式)/+y2=(,)2+( ,；： )2=4,3x2y2=3X (. £ 亠 ,)2X (. £ _ . )2=6 x6+y6=4X (42 6)=403、分组分解法提示：合理适当地分组产生公因式。关键之处
8、在合理分组，多尝试不同地分组以触动灵感 1)按系数分组例 2ax-10ay+5by-bx=(2ax-10ay)+(5by-bx) =2a(x-5y)-b(x-5y)=(2a-b)(x-5y)2) 按字母分组例 x3(a+1)-xy(x-y)(a-b)+y(b+1)(去括号)(适当分组)(去括号化简)(提取公因式及应用立方和公式)(分组)=ax +x _axy(x_y)+bxy(x_y)+by+y =ax3-axy(x-y)+bxy(x-y)+b+x3+y3 =(af -a点 y+ax)+(bx2 y-bxy2+by3)+(x3+y3) =ax(«-xy+ )+by(x2-xy+ )+
9、(x+y)(x -xy+) 2 2=(x -xy+y )(ax+by+x+y)3) 按次数分组例(xy-1)2+(x+y-2)(x+y-2xy)=(xy-1)2+(x+y)-2)(x+y)-2xy精心整理(多项式相乘)(提取公因式整理)(再次分组)(完全平方公式展开)(合并后得到新的完全平方)(再次应用完全平方公式)=(xy-1)2+(x+yf -2xy(x+y)-2(x+y)+4xy=(xy-1+(x+y)-2(x+y)(xy+1)+4xy =(xy-1)2+4xy+(x+y)-2(x+y)(xy+1) =(xy)2-2(xy)+1+4(xy)+(x+y2-2(x+y)(xy+1) =(xy
10、+1)2-2(xy+1)(x+y)+(x+y2 =(xy+1)-(x+y)=(xy_x_y+l)5、添拆项法例 1x5+x+1提示：原因无法直接应用任何公式，可通过添加-x2+x2后分组应用公式原式=(f-x2)+(«+x+1)(添加-x2+x2 后分组)232=x (x -1)+(x +x+1)(提取公因式)=x2(x-1)(x +x+1)+(?+x+1)(应用立方差公式)=(x2+x+1)x2(x-1)+1(提取公因式)=(x2+x+1)(x-x2+1)例 22x4-15x3+38x39x+14提示：把-15x3拆成-13x3和-2x3, 把 38x2拆成13x2和25x2，把-
11、39x拆成-25x和-14x，分组提取公因式原式=2x4-2x3-13x3+13> +25(-25x-14x+14(拆项分组)=2x3(x-1)-13#(x-1)+25x(x-1)-14(x-1)(各自提取公因式)=(x-1)(2x3-13x2+25x-14)322=(x-1)(2x3-7x2-6x2+21x+4x-14) =(x-1)«(2x-7)-3x(2x-7)+2(2x-7) =(x-1)(2x-7)(£-3x+2)=(x-1)(2x-7)(x-1)(x-2)2=(x-1)2(x-2)(2x-7)真题精解：(提取公因式x-1)(再次拆项)(分组各自提取公因式)
12、(提取公因式2x-7)(对进行x2-3x+2十字相乘分解)1)已知多项式ax3+b«+cx+d除以x-1时的余数是1,除以x-2时的余数是3,那么，它除以(x-1)(x-2) 时所得的余数是什么？(第12届“希望杯”试题)解：设原式=(x-1)(x-2)(ax+k)+(mx+n)当 x=1 时，原式=1，即 m+n=1 ；当 x=2 时，原式=3,即 2m+n=3, 解此关于m、n的方程组得m=2,n=-1,故原式除以(x-1)(x-2)时的余数为x-12)k为何值时，多项式x2-2xy+k+3x-5y+2能分解成两个一次因式的积？(天津市竞赛试题)解：原式中不含y的项为x2+3x+
13、2可分解为？(x+1)(x+2)故可设原式=(x+1)+ay(x+2)+by,将其展开 得：x2+(a+b)xy+ab了+3x+(2a+b)y+2 与原式对比系数得：a+b=-2,ab=k,2a+b=-5 解之得 a=-3,b=1,k=-33)如果x3+ax+bx+8有两个因式x+1和x+2 ,求a+b的值。(美国犹他州中学竞赛试题)解法 1:设原式=(x+1)(x+2)(x+k)展开后得：x3+(3+k)#+(3k+2)x+2K 对比原式系数得 a=3+k,b=3k+2,8=2k 所以 a+b=4k+5=16+5=21解法2：因当x=-1或x=-2时，原式=0,分别代入后得a-b+8=0,4
14、a-2b+8=0解得a=7,b=14,故a+b=14真题实练：1. 下列四个从左到右的变形中，是因式分解的是()2A.(x+1)(x-1)=xB.(a-b)(m-n)=(b-a)( n-m)C.ab-a-b+1=(a-1)(b-1)D.m2-2m-3=m(m-2-3/m)(第8届“希望杯”试题)(提示：本题简单，因式分解的概念)2. 下列五个多项式中在有理数范围可以进行因式分解的有() a2b2-a2-b2-1 x3-9ax2+27a2x-27a3 x(b+c-d)-y(d-b-c)-2c+2d-2b 3m(m-n)+6 n(n-m)(x-2)2+4x精心整理A.B.CD.（第10届“希望杯”
15、试题）（提示：立方差公式、提取公因式，但排除法最快）Kla - b3设 bMc,且满足（ i）（a-b）+t（b-c）=a-c,贝U 的值（）A.大于零B.等于零C小于零D.正负号不确定（第12届“希望杯”试题）（提示：按（a-b）和（b-c）重新整理分组合并）4. 已知x2+ax-12能分解成两个整系数的一次因式乘积，贝U符合条件的整数a的个数是（）A.3个 B.4个C.6个D.8个（第7届“希望杯”试题）（提示：对-12以十字相乘法拆分穷举）5. y-2x+1是4xy-4乙-k的一个因式，贝U k的值是（）A.0B.-1C.2D.4（第14届“希望杯”试题）（提示：完全平方+平方差）6 .
16、将多项式x2-4y2-9z2-12yz因式分解结果是（）A.（x+2y-3z）（x-2y-3z）B.（x-2y-3z）（x-2y+3z）C.（x+2y+3z）（x+2y-3z）D.（x+2y+3z）（x-2y-3z）（第9届“希望杯”试题）（提示：完全平方+平方差）7 .分解因式：x2-4y2-9z2 -12yz=o（第9届“希望杯”试题）（提示：完全平方+平方差）8. 分解因式：x5+x-1=o（第9届“希望杯”试题）（提示：添项+立方和）9. x3+3x2-3x+k有一个因式是 x+1，则 k=o（第10届“希望杯”试题）（提示：分组成每项都含x+1）10. 分解因式：xy-1-x+y=o（第10届“希望杯”试题）（提示：分组提取公因式）页脚内容