《理科附加题第2讲空间向量与立体几何.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《理科附加题第2讲空间向量与立体几何.doc（7页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、课后自测诊断及时查漏补缺备考不留死角1 如图所示，在棱长为2的正方体ABCDAxBxCxDx中，P 为棱CiD的中点，Q为棱3®上的点，且陀=Mb(2H0)1_2?-2 若求AP与AQ所成角的余弦值;4iDi(2)若直线/LA】与平面AP0所成的角为45。，求实数2的值. 解：以4&, Ad,总J为正交基底，建立如图所示的空 间直角坐标系 则 A(0A0),Ai(0A2), P( 1,2,2), 0(2,0,22).力(1)当时，丽=(1,2,2),菽=(2,0,1),/ f _ I乔菽I所以 cos心 AQ)= 一 _APAQ11X2 + 2X0+2X11 4 逅_ 3X込
2、 _ 15 所以AP与AQ所成角的余弦值为普亭.(2)A4i=(0A2),展=(2,0,2久) 设平而AP0的法向量为n = (x, y, z),«AP=0,nAQ = 09x+2y+2z=0, 叫 2v+22z=0.令 z=2,则 x=22, y=2L所以 n = (22, 2x, 2).又因为直线Mi与平而APQ所成角为45。,所以Icos畀，AA) 1 =InlLAAil4也_2(2x)2+(2-A)2+(-2)2- 2，4可得522-4z=0,又因为2H0,所以久=§2(2019 迁期末)如图，在直三棱柱ABCABC中，AC丄BC, AC=BC=1, BB = 2,
3、点 D 在棱 BBi 上,且 CiD丄ABi.(1) 求线段的长；(2) 求二面角D-AiC-Ci的余弦值.解：在直三棱柱ABC-AiBiCi中，AC丄BC,则以GAi, CBi, cTc)为基底构建如图所示的空间直角坐标系，则Ai(l,O,O), 4(1,0,2), Bi(0,l,0), Ci(0,0,0), B(0,l,2), C(0,0,2),所以 ABi=(1,1, 2),设 BiD=/,0WW2,则 D(0,l, /), CYD=(0,l, t).(1)由 CiD丄ABi,得cTb A5i=o, 所以 l_2/=0=>/=*, 所以BXD=.(2)易知平而AiCiC的一个法向量
4、为GBi =(0,1,0), 设平ACD的一个法向量为n = (xt y, z), 由知帚=一1, 1, £),伉=(一1,0,2),/iA£)= 0,因为_.«AiC=0,.x+y+z=0,所以 2取z=2,x+2z=0,则 y=3, x=4,所以 m=(4,3,2),所以cos (n,329InlIGBil29所以二面角D-AiC-Ci的余弦值为疇3如图，在底面是直角梯形的四棱锥SJBCD中，已知ZBAD=ZCDA=90% AD=CD=2, AB=, SA=SD,且平面SAD丄平面ABCD.当SA丄SD时，求直线SA与平面SBC所成角的正弦值;(2)若平面SB
5、C与平面SAD所成角的大小为务 求SA的长.解：取AD中点O,连结SO.因为$4=SD,所以SO丄AD.因为平面SAD丄平面ABCD,平面 SADQ 平面SOU平而 SAD,所以SO丄平dn ABCD.建立如图所示的空间直角坐标系，由条件可得，A( 1,0,0), 5(0,0,1), 8(1,1,0), C(-1,2,0). 所以妨= (1,0, -1),前=(1,1, -1), BC=(-2,l,0). 设平面SBC的法向量n=(xt yf z)fn-SB=09«BC=0,所以l-2x+y=0,取 = (123)设直线SA与平而SBC所成角为0,则 sin0=lcos <SA
6、、i 1131(2)设 SO=a,则 5(0,0, a)9 所以S=(l,l, a (x+yaz=0,平面SBC的法向量” = (x,z)满足_升+)=0取 ” = (1, 2, £|.取平而SAD的法向±nr =(0丄0),解得a=G4如图，在四棱锥P-ABCD中，用丄平面ABCD. /W丄AD. AD/BC, AP=AB=AD=.(1) 若直线与CD所成角的大小为务 求BC的长;(2) 求二面角BPDA的余弦值解：以农，AD9丽为单位正交基底，建立如图所示 的空间直角坐标系A-xyz.因为 AP=AB=AD= 1,所以 A(OQO), B(1AO), £>
7、;(0丄0), P(OQ1).设 C(l, >0),则函= (1O -1), CD=(-lJ-yO).因为直线与CD所成角大小为扌，所以Icos <PB, cb> 1 =PBCbPB CD129即迄xS+(l-y)吕'解得尸2或)=0(舍),所以C( 1,2,0),所以BC的长为2.(2)设平面PBD的法向量为m=(x, y, z).因为筋= (1,0, -1),而=(0,1, -1),PB«i=O,PD/n=0,即F"0, lyz=0.令x=l,则)=1, z=l,所以 «i=(l,1,1). 因为平面PAD的一个法向量为w2 = (
8、1,0,0),所以 cos小，“2-7- 3， 所以由图可知二面角B-PD-A的余弦值为半./x5. (2019-苏州调研)如图，已知矩形ABCD所在平面垂 直于直角梯形ABPE所在平面，且AB=BP=2, AD=AE= 1, AE丄AB. AE/BP求平面PCD与平面ABPE所成的二面角的余弦值；p(2)线段PD上是否存在一点N,使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等2于f?若存在，试确定点N的位置；若不存在，请说明理山.解：(1)因为 AE丄AB. AE/BP,所以BP丄AB,因为平而ABCD丄平面ABPE,平而ABCDQ平面ABPE=AB, 所以BP丄平tSjABCD, 又A3丄BC,
9、所以直线B4, BP, BC两两垂直以3为坐标原点，分别以84, BP, BC所在直线为兀 轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,2,0), B(OQO), D(2,0,l), E(2,l,0), C(0,0,l),因为3C丄平ABPE,所以BC=(OA1)为平面ABPE的一个法向量， 设平而PCD的一个法向量为n = (x, y, z),易得PD=(2, 一2,1), cb=(2A0),«cb=o,jiPD=0,即心Zx-2y+z=09令 y=l,则 z=2,故 «=(0,1,2),设平而PCD与平而ABPE所成的二而角大小为39则 Icos 01 =InBCl 22J5由图知，所求二而角为锐角，所以平面PCD与平面ABPE所成二面角的余弦值为羊.(2)假设满足题意的点N存在,设PN=aPD=(2X9 -2z, 2)(0WaWl)，则BN=BP+PN=(,2X, 2-22, 2).由(1)知，平面PCD的一个法向量为” = (0,1,2),设直线与平而PCD所成的角为s. 2 2 则 sin a = lcosBN, n） 1= =7，V5X9A2-82+4 5 即9护一82 1 =0,解得2= 1或；.=一£（舍去）.2 故当点N与点D重合时，直线BN与平面PCQ所成角的正弦值为§