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1、第四章指数函数、对数函数与幕函数42对数与对数函数4. 2.1对数运算考点学习目标了解对数、常用对数、核心素养对数的概念自然对数的概念，会用对数的定义进行对数式与指数式的互化对数的基本性质理解和掌握对数的性 质，会求简单的对数值数学抽象、数学运算数学运算问题导学预习教材P15-P18的内容，思考以下问题:1.对数的概念是什么？对数有哪些性质?2.什么是常用对数、自然对数?3.对数恒等式是什么？4如何进行对数式和指数式的互化?_新知初探1.对数的概念在表达式/=N(a>0且aHl, NW(O, +)中，当a与N确定之后，只有唯一的方能满足这个式子，此时，幕指数称为 以。为底N的对数，记作b
2、 = b&N ,其中a称为对数的 底数，N称为对数的真数.(2)当«>0且al时，b=b&N的充要条件是=N,由此可知，只有 ">0时，logJV才有意义，这通常简称为负数和零没有对数(3)1。缶1 =; lo%d=_?； «logajV=_; 1。缶/=_2.常用对数和自然对数(1)以10为底的对数称为常用对数，为了简便起见，通常把底10略去不写，并把“log”写成“览”，即把logioN简写为IgN.以无理数e(e=2.718 28)为底的对数称为 自然对数 ,自然 对数loge通常简写为InN .名师点拨logJV是一个数，是一种
3、取对数的运算，结果仍是一个数，不可分 开书写.判断正误（正确的打“ J ,错误的打“X”）根据对数的定义，因为（一2）4=16,所以log（_2）16=4（x ）（2）对数式10辭与log23的意义一样（X ）因为 1"=1,所以 logil=«.( x )(4) Ioge2)(-2)=L(X)7若10g8X= y则X的值为（A. |B. 4C. 2D. |2解析：选A因为log8X=2 1所以x=83 = 2 =,故选A 2log23=解析：由对数恒等式得，210823=3.答案：3Q 若 10g3（10g2X）= 0 则 X2 =解析：因为 log3（log2x） =
4、0,所以 log2x=3°=l,所以 x=2,即"=答案：边探究点对数的概念解惑探究突破例1 在N=log（5皿一2）中，实数的取值范围是（）A.处2 或>5 B. 2<b<5C. 4<%v5D. 2<b<5 且02>0,【解析】 因为5>0,所以2<b<5且心4.、5XI,【答案】D由于对数式中的底数«就是指数式中的底数0,所以«的取值范围为°>0,由于在指数式中a=N,而«v>0,所以N>0求/仗）=1。缶务|的定义域.解：要使函数式/（兀）有意义，需彳
5、fx>0,1x解得0<rvl 所以/（兀）=1。&二的定义域为（0, 1）.探究点对数式与指数式的互化S 2(1)将下列指数式化成对数式：1 54 = 625；2一6=初；3"=27；寸'=573 (2)将下列对数式化成指数式并求兀的值:2®log64x=logx8=6； lg 100=x.【解】 logs625=4；log2= -6； log327=a； log|5.73=m.(2)®x=64_t=(43) 4=4_2=. 因为d=8,所以 x(x6)6=8(23)=2=2. 因为 10x=100=102,所以 x=2.(i)指数式化
6、为对数式，关键是弄清指数式各部位的去向:Iax=N 今 x=loaN(2)要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式, 再利用指数幕的运算性质求解.圜跟踪in1.如果 a=b2 (Z»0, bHl),则有(A. log2a=bB log2=«C. logtt=2D. log/,2=a解析：选Clogftd=2,故选C.2.计：(l)log927； (2)log 4 81； (3)10836253 解：设x=log927,则 9=27, 3"=3訂所以 x=(2)设 x=log羽 81,则(贴=81,爭=34,所以 x16. 令 x=log 3625,则(
7、第V=625, 5=54,所以尸3.探究点对数基本性质的应用 例3 求下列各式中兀的值:(1) log2(log5X：)=0； (2)log3(lg x)=l.【解】 因为log2(log5x)=0.所以 log5X=2°=l,所以 x=51=5.(2) 因为 log3(lgx) = l9 所以 lg x=31=3,所以 x=103=l 000.logJV=0=»N=l； logJV=l=»N=a使用频繁，应在理解的基础 上牢记.若 10g2(10g3X)= 10g3(10g4y ) = 10(10g2Z)= 0,则x+j+z的值为（）A. 9B.C. 7D. 6
8、解析：选 A因为 log2(log3X)=0,所以log*=l所以 x=3.同理 j=4, z=2.所以 x+j+z=9. 标 达 一 馈 反 证一 验1lo劭N=“e>0,biN>0）对应的指数式是（）A. a=NBba=NC. aN=bD.bN=a答案：B2.若 log«x=l,贝|（）A x=lB a = lC X=,CL答案：CD x=103. 已知1016=2,则兀等于（）A. ±4B. 4C. 256D. 2答案：B4. 设10,8X=100,则兀的值等于（）A. 10B. 0.01C. 100答案：CD. 1000应用案 点击链本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放