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1、第三章直线与方程§3.3直线的交点坐标与距离公式3. 3.3点到直线的距离3. 3.4两条平行直线间的距离课堂互动探究丿课前热身点到直线的距离.1.在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为（丸，yo），直线/的方程是Ax+By+C=0,则点P到直线伯勺距离=2若直线伯勺方程Ax+By+C=0中，5 = 0,贝臥工0,其C方程为x=-,此时点P（® 沟）到该直线的距离=；若直线/的方程Ax+By+C=0中，A = 0,c则其方程为尸卫,此时点P（® 沟）到该直线的距离d自i IAxo+Byo+CI我L /a2+b2校cc2bo+R lyo+万 I对名师讲解1点到直
2、线的距离公式点P（xo,为倒直线Ax+By+C=O（A, B不同时为零）的距离Axq+By（）+Cld= /a2+> -使用此公式应注意以下几点：(1) 若给出的直线方程不是一般式，则应先把方程化为一 般式，再利用公式求距离.(2) 若点P在直线上，点P到直线的距离为零，距离公式仍 然适用.点到几种特殊直线的距离:点巩如 为）到%轴的距离d =1为1；点Pg 沟）到y轴的 距禺 =Lx（）l；点P（%o，九）到与x轴平彳丁的直线y=a的距禺= lyo加；点P（%o，yo）到与y轴平行的直线x=b的距禺 =Lv（） b.2.两平行线间的距离一般地，已知两条平行线人：Ax+By+Ci = 0
3、, I2： AxBy + C2 = 0（C HC2）.设P（%o，yo）是直线2上的任意一点，则Ax（）+ By（）+C2 = 0?即AxqBy（）= C?于是，点P（x（）,为）到直线人：Ax+By+Ci= 0 的距离 d=L4xo+3yo+Cil C CJa2+B2_a/a2+B2就是两平行直线h与D之间的距离.(1)求两平行线间的距离可以转化为求点到直线的距离, 也可以应用公式.(2)应用两平行线间的距离公式IQ C2I时，两直线方程必须是一般形式，且兀，y的系数对应相等.(3) 当直线与坐标轴垂直时，可利用数形结合法来解决. 两直线都与兀轴垂直时，/1；/2： x=x2则 X1I； 两
4、直线都与歹轴垂直时，/1；歹=门，I?： y=y2，贝忆=|乃川课堂互动探究剖析归纳典例剖析一十距离公式的应用【例1】 求过点M（ 2，1）且与4（1，2），5（3,0）两点距离相 等的直线方程.【分析】可利用待定系数法求直线方程，也可用平面几 何知识，先判断直线Z与直线AB的位置关系，事实上，lAB或/ 过线段AB的中点时，都满足题目的要求.【解】 解法1：当斜率存在时，设直线方程为y1=兀+ 2),即 kxy-2k- 1 =0.由条件得2+2E+II托+113£+2£+11托+1解得k=0，或£=丄故所求的直线方程为y=l,或x+2y=0. 当直线斜率不存在时
5、，不存在符合题意的直线.解法2：当直线lAB时,/到点4(1,2)和3(3,0)的距离 相等，这时I的斜率为k=kAB= Z又过点M(-2,1), /的方程为y_i = _gx+2),即兀+ 2y=0.当直线/经过的中点(1,1)时，也适合题意，此时直线/ 的方程为y=l.综上，所求的直线方程为x-2y=0,或y=l.规律技巧 求直线方程时，要思考到位，不要漏解设直 线方程时要注意题目条件，对于斜率不存在的情况要分析说 明，以防丢解.二L平行线之间的距离【例2】求两条平行直线x+3y4 = 0和2x+6y9 = 0之 间的距离.【分析】 两条平行线间的距离问题可转化为一条直线上 的点到另一条直
6、线的距离问题，其中选点是关键，一般情况， 我们选择坐标轴上的点.【解】 解法1：在直线x+3y4=0上选点P(4,0),那么 点P(4,0)到直线2x+6y9 = 0的距离就是两条平行线之间的距 离9二两条平行线之间的距离=备洛解法2：将直线x+3y4 = 0化为2x+6y8=0, 两平行线间的距离臺打丁=弊规律技巧 求平行线间的距离有两种思路:(1)利用“化归”法将两平行线间的距离转化为求一条直线上的点到另一条直线的距离;(2)直接用平行线间的距离公式d="匚",但必须VA2 + B2注意两直线方程中拜的系数对应相等.三L综合应用【例3】已知直线/经过直线人：2x+y5=
7、Q与以x2y=0的交点.若点A(5,0倒/的距离为3,求伯勺方程；(2)求点A(5,O)到Z的距离的最大值.【分析】 可先求岀人与?2的交点，再设岀点斜式方程 求解.也可以先设出所求直线的直线系方程，利用条件确定参 数的值，从而求得直线的方程.(2)解答本题可采用数形结合，分析岀点4到直线/的最大值，然后应用点到直线的距离公式求出.t 2x+y一5=0,【解】解法1：由L_2尸0,当直线斜率存在时，设/的方程为y 1 =£（兀一2）,即kxy+1 2£=0I5E+120:护+ F4 解得£=亍4/的方程为y 1 = 3（兀2）,即 4x-3y-5=0.当直线/斜率
8、不存在时，方程为x=2,此时15-21 = 3也适合，故所求/的方程为：x=2,或4兀一3y5 = 0.解法2：设经过已知直线交点的直线系方程为:(2x+y5)+A(x2y) = 0, 即(2+久)兀+(122)y5 = 0.15(2+久)_51 _(2+2)2+( _ 2羽2 3. 即力252+2=0.解得久=2或l=g : /的方程为4x3y5=0，或兀=2.2x+y一5 = 0,由 L-2y=0,解得交点B（2，l）过点B任意作直线人设为点A到直线/的距离，则WL4BI（仅当l±AB时等号成立），d的最大值为L4BI=V10规律技巧 在(1)的解法1中易忽略直线斜率不存在的情
9、况，即易丢掉解x=2解法2可避开讨论，直接求得两个解.随堂训练1 原点到直线x-2y5=0的距离为（）A. 1B.3C. 2D&解析答案D2若直线加被平行直线A： x-y-1 =0与兀一y+3 = 0 所截得的线段的长为2 迈，则加的倾斜角可以是15。； 30°；45°；60。；75。其中正确答案的序号是（写出所有正确答案的序号）解析厶与?2之间的距离是边,而直线加被人与仏截得的线 段的长为2辺,所以加与直线A成30。角.又直线厶的倾斜角为 45。，所以直线加的倾斜角为15。或75。答案3求点P(l，2倒下列直线的距离:(i)/i： y=x3；乙：y= 1 ；11-
10、2-31(3轴(x=0)点P(l,2)到直线兀一y3 = 0的距禺为=点P(l,2)到直线y= 1的距禺为d= 12 (1)1 = 3.点P(l,2)到直线兀=0的距禺为=1.4.求下列两条平行线之间的距离.(l)5x12y+2 = 0 与 5x12y+15=0； (2)6x4y+5 = 0与歹=12-151(1)J=V52+122=k3(2)方程=尸口 J变形为6x4y=0.心 5=5换仰邛265若已知A(7,8), 5(10,4), 积.CQ, -4),求厶ABC的面解 由两点式求得BC所在直线方程为兀一y6 = 0.A点到BC的距离d=17-8-61BC=a/(10-2)2 + (4+4)2 = 8 边,17 ABC的面积为X 8边X边=28