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1、7.6直线与圆的位置关系知识梳理直线和圆1直线和圆位置关系的判定方法一是方程的观点， 程组，利用判别式 A来讨论位置关系. A> 0，直线和圆相交. A =0,直线和圆相切. AV 0，直线和圆相离方法二是几何的观点，即把圆心到直线的距离 dv R,直线和圆相交. d=R,直线和圆相切. d> R,直线和圆相离.2直线和圆相切，这类问题主要是求圆的切线方程即把圆的方程和直线的方程联立成方d和半径R的大小加以比较.求圆的切线方程主要可分为已知斜率 或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况3直线和圆相交，这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题 点击
2、双基1.（ 2005年北京海淀区期末练习题）设m>0，则直线、2 (x+y) +1 + m=0 与圆 x2+y2的位置关系为A.相切C.相切或相离B.相交D.相交或相切1 m解析：圆心到直线的距离为 d=2，圆半径为.m ./ d r= 1_m x m = - (m 2、m+1) =- ( -. m 1) 2> 0, 2 2 2 直线与圆的位置关系是相切或相离.答案：C2.圆x2+ y2 4x+4y+6=0截直线x y 5=0所得的弦长等于5.2B.-2A.、6C.1D.5解析：圆心到直线的距离为2，半径为'、2，弦长为22（、印（乎）2沁.答案：A3. （ 2004年全国
3、卷川，4）圆x2+y2 4x=0在点P （1,.3 ）处的切线方程为A.x+ - 3 y 2=0B.x+ 3 y 4=0C.x - 3 y+4=0D.x 、3y+2=0解法rx2+y2 4x=0y=kx k+x2 4x+ (kx k+、3 ) 2=0.该二次方程应有两相等实根，即A=0,解得k=_23 y-./33 (x 1),即 x . 3 y+2=0.3'解法二：点(1,3 )在圆 x2+y2 4x=0 上,点P为切点，从而圆心与P的连线应与切线垂直又圆心为(2, 0), k= 1.2 1解得k= 3，切线方程为x . 3 y+2=0.3答案：D4. (2004年上海，理8)圆心在
4、直线2x y 7=0上的圆C与y轴交于两点 A (0, 4)、 B (0, 2),则圆C的方程为.解析：圆 C 与 y 轴交于 A ( 0, 4), B (0, 2),由垂径定理得圆心在y= 3这条直线上又已知圆心在直线 2x y 7=0上,联立y= 3 , j 2x y 7=0.解得x=2 ,圆心为(2, 3),半径 r=AC|= . 22 3 ( 4)2 = 5 .所求圆C的方程为(x 2) 2+ (y+3) 2=5.答案：(x 2) 2+ (y+3) 2=55. 若直线y=x+k与曲线x=p1 y2恰有一个公共点，贝Uk的取值范围是 解析：利用数形结合.答案：1 v kw 1 或 k=
5、2典例剖析【例1】 已知圆x2+y2+x 6y+m=0和直线x+2y 3=0交于P、Q两点，且OP丄OQ (O 为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径.剖析：由于 OP丄OQ,所以kop koQ= 1,问题可解.解：将 x=3 2y 代入方程 x2+y2+x 6y+m=0，得 5y2 20y+12+m=0.设 p (X1, y1 )、Q (X2, y2),则 y1、y2 满足条件12 my1+y2=4, y1y2=.5OP 丄 OQ , X1X2+y1y2=0.而 X1=3 2y1, X2=3 2y2,xix2=9 6 ( yi+y2)+4yiy2.1 5 m=3，此时A > 0,圆心坐标
6、为(3),半径r=_.2 2评述：在解答中，我们采用了对直线与圆的交点“设而不求”的解法技巧，但必须注意 这样的交点是否存在，这可由判别式大于零帮助考虑【例2】求经过两圆(x+3)2+y2=13和x2+( y+3)2=37的交点，且圆心在直线 x y 4=0上的圆的方程剖析：根据已知，可通过解方程组得圆上两点,(x+3 ) 2+y2=13 , x2+ (y+3) 2=37由圆心在直线x y 4=0上，三个独立条件，用待定系数法求出圆的方程;也可根据已知，设所求圆的方程为(x+3) 2+y2 13+入:x2+ (y+3) 2 37 =0，再由圆心在直线x y 4=0上，定出参数入，得圆方程.解：
7、因为所求的圆经过两圆(x+3) 2+y2=13和x2+ ( y+3) 2=37的交点, 所以设所求圆的方程为(x+3) 2+y2 13+入:x2+ (y+3) 2 37 =0.展开、配方、整理，得(x+丄)2+ (y+丄)2= 4 28 +9(1-)1 1 1 (1 )23 3圆心为(一 ,),代入方程 x y 4=0，得 入=7.1 1故所求圆的方程为(X+1 ) 2+ ( y+7 ) 2= 89.2 7 2 2评述：圆 C1: x2+y2+ D 1X+E1y+ F1 =0，圆 C2: x2+y2+ D2X+E2y+ F2=0，若圆 C1、C2相交， 那么过两圆公共点的圆系方程为(x2+y2
8、+D1X+E1y+F1)+入(x2+y2+D2x+E2y+F2) =0 (入 R且入工一1).它表示除圆C2以外的所有经过两圆 C1、C2公共点的圆.特别提示在过两圆公共点的图象方程中，若入=1,可得两圆公共弦所在的直线方程.【例 3】 已知圆 C： (X 1) 2+(y 2) 2= 25,直线 l: (2m+1) x+ ( m+1) y 7m 4=0 (m R).(1) 证明：不论 m取什么实数，直线I与圆恒交于两点；(2) 求直线被圆C截得的弦长最小时I的方程.剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得(1)证明：I 的方程(x+y 4) +m (2x+y 7) =0./ m R,2x
9、+y 7=0,x+y4=0,x=3 ,y=1,即I恒过定点A (3, 1)圆心 c (1, 2), 1 AC 丨=75 v5 (半径)，点A在圆C内，从而直线I恒与圆C相交于两点.1(2)解：弦长最小时，I丄AC,由kAc =丄,2I的方程为2x y 5=0.评述：若定点A在圆外，要使直线与圆相交则需要什么条件呢?思考讨论求直线过定点，你还有别的办法吗？闯关训练夯实基础1若圆(X 3) 2+( y+5) 2= r2上有且只有两个点到直线4x 3y=2的距离等于1,则半径r的范围是A. (4, 6)B. :4, 6)C. (4, 6D. :4, 6:解析：数形结合法解答案：A2. ( 2003年
10、春季北京)已知直线ax+by+c=O (abc0)与圆x2+y2=1相切，则三条边长分别为丨a|、| b |、| c|的三角形A.是锐角三角形B.是直角三角形C.是钝角三角形D.不存在解析：由题意得|a_°_b_°_c|=i，即c2=a2+b2,二由丨a |、| b |、| c丨构成的三 Va2b2角形为直角三角形答案：By= 1相切，且其圆心在 y轴13. ( 2005年春季北京，11)若圆x2+y2+mx =0与直线4的左侧，贝U m的值为解析：圆方程配方得(x+m )22+y2= m 1，圆心为4m c、0) 2由条件知m<o,2即 m>0.又圆与直线y=
11、 1相切，则0( 1)=m214即 m2=3m= . 3 .答案：.34. ( 2004年福建，13)直线x+2y=0被曲线x'+y2 6x 2y 15=0所截得的弦长等于解析：由 x2+y2 6x 2y 15=0，得(x 3) 2+ (y 1) 2=25.知圆心为(:3, 1), r=5.由点(3,1)到直线x+2y=0的距离d= 1 3 2 1 =亦75可得1弦长为2 5，弦长为4 、5 2答案：4 ,55. 自点A ( 3, 3)发出的光线I射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与 圆x2 + y2 4x 4y+ 7= 0相切，求光线I所在直线的方程解：圆(x 2) 2+(
12、 y 2) 2= 1关于x轴的对称方程是(x 2) 2+( y+ 2) 2= 1.设I方程为y 3 = k ( x+ 3),由于对称圆心(2, - 2)到I距离为圆的半径 1从而可3 4得 ki = _, k2= _ .故所求 I 的方程是 3x+ 4y 3 = 0 或 4x+ 3y+ 3= 0.4 36. 已知M (xo, yo)是圆x2+y2=r2 (r>0)内异于圆心的一点，则直线xox+yoy=r2与此圆有何种位置关系？分析：比较圆心到直线的距离与圆半径的大小解：圆心0 (0, 0)到直线xox+ yoy= r2的距离为d=2 2xo yo P ( xo, yo)在圆内，,xo
13、y <r.则有d>r，故直线和圆相离.培养能力7. 方程ax2+ay2 4 (a 1) x+4y=o表示圆，求a的取值范围，并求出其中半径最小的圆 的方程.解:(1)： a丰o时，方程为x2(a 1)：(y+-)a2= 4(a2 2a 2)2a由于a2 2a+2 > o恒成立，- o且a R时方程表示圆(2) r2=42a2 2a 2=4a212(a1 )2+1 L2 2- a=2 时，rmin2=2.此时圆的方程为(x 1 ) 2+ ( y 1) 2=2.8. (文)求经过点 A ( 2, 4),且与直线l: x+3y 26=0相切于(8, 6)的圆的方程解：设圆为x2+y
14、2+Dx+Ey+F=0,依题意有方程组3D E= 36,2D+4E F=20,8D+6E+F= 100.D= 11, E=3,F= 30.圆的方程为 x2+y2 11x+3y 30=0.(理)已知点P是圆x2+y2=4上一动点，定点 Q ( 4, 0).(1) 求线段PQ中点的轨迹方程；(2) 设/ POQ的平分线交PQ于R,求R点的轨迹方程.解：(1)设PQ中点M (x, y),则P (2x 4, 2y),代入圆的方程得(x 2) 2+y2=1.(2)设 R( x, y)，由 IPR|=1OPI=1,|RQ| |OQ| 2设P (m , n),则有3x 4m=23y n=2代入X2+y2=4
15、中，得/4、2 2 16 / c、(x ) +y= (yM 0)3 9探究创新9已知点P到两个定点 M ( 1, 0)、N (1 , 0)距离的比为 J2，点N到直线PM的距 离为1，求直线PN的方程解：设点P的坐标为(x，y)，由题设有1?叫=.2 ,|PN|即，(x 1)2 y2 =、2 . (x 1)2 y2 ,整理得 x2+y2 6x+1=0.因为点N到PM的距离为1, |MN|=2,所以/ PMN=30°,直线PM的斜率为土 3 '直线PM的方程为y= ±( x+1).3将代入整理得 x2 4x+仁0.解得 x1=2+ . 3 , x2=2 . 3 .代入
16、得点P的坐标为(2+占,1+歯)或(2 J3 , 1+灯'3 ) ； (2+ J3 , 1 <3 ) 或(2 3 , 1 3 ).直线PN的方程为y=x 1或y= x+1.思悟小结1. 直线和圆的位置关系有且仅有三种：相离、相切、相交.判定方法有两个：几何法，比较圆心到直线的距离与圆的半径间的大小；代数法，看直线与圆的方程联立所得方程组的解的个数.2. 解决直线与圆的位置关系的有关问题，往往充分利用平面几何中圆的性质使问题简化 . 教师下载中心教学点睛1. 有关直线和圆的位置关系，一般要用圆心到直线的距离与半径的大小来确定2. 当直线和圆相切时，求切线方程一般要用圆心到直线的距离
17、等于半径，求切线长一般要用切线、半径及圆外点与圆心连线构成的直角三角形；与圆相交时，弦长的计算也要用弦心距、半径及弦长的一半构成的直角三角形.3. 有关圆的问题，注意圆心、半径及平面几何知识的应用4在确定点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系时，经常要用到距离，因此，两点间的 距离公式、点到直线的距离公式等应熟练掌握，灵活运用拓展题例【例1】已知圆的方程为x2+y2+ax+2y+a2=0，定点为A（ 1，2），要使过定点A（ 1， 2）作圆的切线有两条，求 a的取值范围.解：将圆的方程配方得（x+E）2+（y+1）2= 4 3,，圆心c的坐标为（a , - 1）,2 42半径r=条件是4 3a2&
18、gt;0,过点A (1,2）所作圆的切线有两条，则点A必在圆外，即(21)23化简得a2+ a+9 > 0.由 4 3a2> 0，|a2 + a+9 > 0,2 屈2j3v av,解之得彳 33a R.2.32.3v a v33 .故a的取值范围是（一2卫,仝卫）.3 3【例2】 已知O O方程为x2+y2=4，定点A （4, 0）,求过点A且和O O相切的动圆圆 心的轨迹.剖析：两圆外切，连心线长等于两圆半径之和，两圆内切，连心线长等于两圆半径之差，由此可得到动圆圆心在运动中所应满足的几何条件，然后将这个几何条件坐标化，即得到它的轨迹方程解法一：设动圆圆心为P （x, y）,因为动圆过定点 A，所以|FA|即动圆半径.当动圆P与O O外切时，|PO|=|FA|+2;当动圆P与O O内切时，|PO|=|FA| 2.综合这两种情况，得|PO| |PA|=2.将此关系式坐标化，得| . x2 y2 . （x 4）2 y2 |=2.2化简可得（x 2） 2=1.3解法二：由解法一可得动点P满足几何关系|OP| |PA|=2,即P点到两定点 O A的距离差的绝对值为定值2,所以P点轨迹是以 O A为焦点，2为实轴长的双曲线，中心在 OA中点（2 , 0）,实半轴长a=1，半焦距 c=2，虚半轴长b= c2a2 = 3，所以轨迹方程为2X 2) 2 =1.