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1、课时作业12数学归纳法*时间：45分钟一、选择题1在数列an中，an1，则ak1(D)Aak BakCak Dak解析：当nk时，ak1，当nk1时，ak11，故ak1ak.故选D.2用数学归纳法证明“”时，由k到k1，不等式左边的变化是(C)A增加一项B增加和两项C增加和两项，同时减少一项D以上结论都不正确解析：当nk时，左边，当nk1时，左边，故不等式左边的变化是增加和两项，同时减少一项故选C.3用数学归纳法证明n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2(nN*)时，若记f(n)n(n1)(n2)(3n2)，则f(k1)f(k)等于(C)A3k1 B3k1C8k D9k解析：因为f(k)k(
2、k1)(k2)(3k2)，f(k1)(k1)(k2)(3k2)(3k1)3k(3k1)，则f(k1)f(k)3k13k3k1k8k.故选C.4用数学归纳法证明不等式1>(nN*)成立，其初始值最小应取(B)A7 B8C9 D10解析：1>，整理得2n>128，n>7，又nN*，n的初始值最小应取8，故选B.5对于等式122232n2(5n27n4)，下列说法正确的是(B)An为任何正整数都成立B当n1,2,3时成立C当n4时成立，n5时不成立D仅当n4时不成立解析：当n1时，左边1，右边1，成立；当n2时，左边145，右边5，成立；当n3时，左边14914，右边14，成
3、立；当n4时，左边1491630，右边28，不成立；当n5时，左边149162555，右边47，不成立故选B.6在数列an中，a1，且Snn(2n1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为(C)A. B.C. D.解析：由a1，Snn(2n1)an，得S22×(2×21)·a2，a1a26a2，a2a1，S33×(2×31)·a3，a315a3，a3，同理a4，由此猜想an，故选C.7用数学归纳法证明“5n2n能被3整除”的第二步中，nk1时，为了使用假设，应将5k12k1变形为(A)A5(5k2k)3×2k B(
4、5k2k)4×5k2kC(52)(5k2k) D2(5k2k)3×5k解析：假设nk时命题成立，即5k2k能被3整除当nk1时，5k12k15×5k2×2k5(5k2k)5×2k2×2k5(5k2k)3×2k，故选A.8(多选题)某个命题与自然数n有关，如果当nk(kN*)时该命题成立，则可得nk1时该命题也成立，若已知n5时命题不成立，则下列说法正确的是(AD)An4时，该命题不成立Bn6时，该命题不成立Cn1时，该命题可能成立Dn6时，该命题可能成立也可能不成立，但若n6时命题成立，则对任意n6，该命题都成立解析：由题意
5、可知，该命题对n4不成立(否则n5该命题也成立)，同理可推得该命题对n3，n2，n1也不成立，而n6时，该命题可能成立也可能不成立，但若n6时命题成立，则对任意n6，该命题都成立故选AD.二、填空题9用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”，当第二步假设n2k1(kN*)命题为真时，进而需证n2k1时，命题亦真解析：n为正奇数，且与2k1相邻的下一个奇数是2k1.需证n2k1时，命题成立10用数学归纳法证明：.假设nk时，不等式成立，则当nk1时，应推证的目标不等式是.解析：从不等式结构看，左边nk1时，最后一项为，前面的分母的底数是连续的整数，右边nk1时，式子为，即不等式为
6、.11用数学归纳法证明结论：(n1)(n2)(nn)2n×1×3×5××(2n1)(nN*)时，从“k到k1”左边需增乘的代数式为2(2k1)解析：当nk时，左边(k1)(k2)(kk)(k1)·(k2)(k3)(2k)，当nk1时，左边(k11)(k12)(kk)(k1k)(k1k1)，故当“n从k到k1”左端需增乘的代数式为2(2k1)三、解答题12数列an满足Sn2nan(nN*)(1)计算a1，a2，a3，并猜想an的通项公式；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想解：(1)当n1时，a1S12a1，则a11；当n2时，a1a2
7、S22×2a2，则a2；当n3时，a1a2a3S32×3a3，则a3.由此猜想an(nN*)(2)证明：当n1时，a11结论成立，假设当nk(kN*)时结论成立，即ak，当nk1时，ak1Sk1Sk2(k1)ak12kak2akak1，则2ak12ak，则ak1，则当nk1时结论成立，由和，可知对于任意nN*，an成立，即猜想成立13用数学归纳法证明不等式×××>(nN*)证明：当n1时，左式，右式，左式>右式，所以结论成立假设nk(k1，kN*)时结论成立，即×××>，则当nk1时，×
8、××·>·，要证当nk1时结论成立，只需证，即证，由基本不等式成立，故成立，所以，当nk1时，结论成立由可知，nN*时，不等式···>成立14设平面内有k条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k条直线的交点个数为f(k)，则f(k1)与f(k)的关系是(C)Af(k1)f(k)k1Bf(k1)f(k)k1Cf(k1)f(k)kDf(k1)f(k)k2解析：当nk1时，任取其中1条直线记为l，则除l外的其他k条直线的交点的个数为f(k)，因为已知任何两条直线不平行，所以直线l必与平面内其他k条直线都相交(有
9、k个交点)；又因为任何三条直线不过同一点，所以上面的k个交点两两不相同，且与平面内其他的f(k)个交点也两两不相同，从而nk1时交点的个数是f(k)kf(k1)故选C.15设k(k3，kN*)棱柱有f(k)个对角面，则(k1)棱柱的对角面的个数f(k1)f(k)k1.解析：可类比凸k边形的对角线问题来解决第(k1)条棱与原来的k条棱共构成k个面，去掉和它相邻的两条棱所构成的面，再加上这两条棱所构成的平面，共多出了(k1)个对角面16已知某数列的第一项为1，并且对所有的自然数n2，数列的前n项之积为n2.(1)写出这个数列的前5项；(2)写出这个数列的通项公式并加以证明解：(1)已知a11，由题意，得a1·a222，a222.a1·a2·a332，a3.同理，可得a4，a5.因此这个数列的前5项分别为1,4，.(2)观察这个数列的前5项，猜测数列的通项公式应为：an下面用数学归纳法证明当n2时，an.当n2时，a222，结论成立假设当nk(k2，kN*)时，结论成立，即ak.a1·a2··ak1(k1)2，a1·a2··ak1·ak·ak1(k1)2，ak1·.这就是说当nk1时，结论也成立根据可 知，当n2时，这个数列的通项公式是an.这个数列的通项公式为an