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1、.考试科目： 概率论与数理统计考试时间：120分钟 试卷总分100分题号一二三四总分得分123456一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5小题，每小题3分，总计15分）1掷一枚质地均匀的骰子，则在出现奇数点的条件下出现1点的概率为（ A ）。(A)1/3 (B)2/3 (C)1/6 (D)3/62设随机变量的概率密度，则K=（ B ）。(A)1/2 (B)1 (C)-1 (D)3/23对于任意随机变量，若，则（ B ）。(A) （B）(C) 一定独立 （D）不独立5设，且，则P-2<<4=（ A ）。(A)0.8543 (B)0.1457
2、 (C)0.3541 (D)0.2543 二、填空题（在每个小题填入一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5小题，每小题3分，总计15分）1设A、B为互不相容的随机事件则（ 0.9 ）。2设有10件产品，其中有1件次品，今从中任取出1件为次品的概率为（ 1/10 ）。3设随机变量X的概率密度 则（ 8/10 ）。4设D()=9, D()=16, ，则D()=（ 13 ）。*5设，则（ N(0,1) ）。三、计算题（本大题共6小题，每小题10分，总计60分）1某厂有三条流水线生产同一产品，每条流水线的产品分别占总量的25，35，40，又这三条流水线的次品率分别为0.05，0.04，0.02。现
3、从出厂的产品中任取一件，问恰好取到次品的概率是多少？（1）全概率公式2设连续型随机变量的密度为 (1)确定常数A (2)求 (3)求分布函数F(x).（2）故A=5 。 （3分）当x<0时,F(x)=0; （1分）当时， （2分） 故 . （1分）3设二维随机变量（）的分布密度求关于和关于的边缘密度函数。（3）4设连续型随即变量的概率密度，求E(x),D(x) （4） （4分）（3分） （3分）四证明题（本大题共2小题，总计10分）2设是独立随机变量序列，且，试证服从大数定理。(2)由切比雪夫大数定理可知服从大数定理。（1分）考试科目：概率论与数理统计 考试时间：120分钟 试卷总分10
4、0分一、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5个小题，每小题3分，总计15分） 1设为两随机事件，且，则下列式子正确的是AA B. 2. 设那么当增大时， CA增大 B减少 C不变 D增减不定 3设A1 B. 2 C3 D0二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，总计15分 1 .设A、B、C、是三个随机事件。用A、B、C表示事件“A、B、C至少有一个发生” ; 2设有10件产品，其中有1件次品，今从中任取出1件为次品的概率是 0.1 3设随机变量X与Y相互独立，则随机变量的概率密度函数 ; 4已知则 1.16 三、计算题（本大题共6小题，每小题10分，共
5、计60分）设考生的报名表来自三个地区，各有10份，15份，25份，其中女生的分别为3份，7份，5份。随机的从一地区先后任取两份报名表。求先取到一份报名表是女生的概率。解.设为“取得的报名表为女生的”,为“考生的报名表是第i个地区的”,i=1,2,3由全概率公式 2分 3分 3分 1分即先取到一份报名表为女生的概率为. 1分设随机变量X的概率密度为 ，求 A值； X的分布函数；(1) ， 2分 (2) 1分 3分 1分(3) 3分设二维随机变量有密度函数：求：（1）常数；（2）落在区域D的概率，其中3. ， 5分 5分4 . 设足球队A与B比赛，若有一队胜4场，则比赛结束，假设A，B在每场比赛中
6、获胜的概率均为，试求平均需比赛几场才能分出胜负？4. 设为需要比赛的场数， 1分则， 4分所以 4分答：平均需比赛6场才能分出胜负 1分设为相互独立的随机变量序列, 证明服从大数定律。2 1分 1分令则 2分，由切比雪夫不等式知 1分故有，即服从大数定律。 1分1对于事件，下列命题正确的是DA若互不相容，则 B若相容，则若互不相容，则 若 那么2. 假设随机变量的分布函数为，密度函数为若与有相同的分布函数，则下列各式中正确的是CA； B； C； D；. 若，那么的联合分布为C.二维正态，且；. 二维正态，且不定； . 未必是二维正态； . 以上都不对 . 设随机变量和的方差存在且不等于，则是和
7、的C A . 不相关的充分条件，但不是必要条件；B .独立的必要条件，但不是充分条件； C . 不相关的充分必要条件； D . 独立充分必要条件二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，总计15分1. 设A、B、C、是三个随机事件。用A、B、C表示事件“A、B、C恰有一个发生” ; 2. 设离散型随机变量X分布律为则A= 1/5 3. 用的联合分布函数表示= ; 4已知且则 7.4 三、计算题（本大题共6小题，每小题10分，共计60分）轰炸机轰炸目标，它能飞到距离目标400，200，100（米）的概率分别为0.5，0.3，0.2，又设他在距离目标400，200，100（米）的命中率分别为0.01
8、，0.02，0.1。求目标被命中的概率。1.由全概率公式 2分 7分目标被命中的概率为. 1分设随机变量的概率密度为 ，求值； 的分布函数；求落在区间内的概率。2.(1) ， 2分 (2) 1分 4分 (3) 3分设二维随机变量的密度函数：求：求关于与关于的边缘分布密度；3. 当时，3分于是 2分 同理 5分4 .设随机变量具有密度函数，求及。4. 5分 5分四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）设，是独立随机变量序列，证明服从大数定律。2由切比雪夫大数定理可知服从大数定理。（1分）一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，总计20分）1. 设为随机事件,则 2/3 2设10把钥匙中
9、有2把能打开门, 现任意取两把, 能打开门的概率是 17/45 3设, 且与相互独立, 则 35 4设随机变量上服从均匀分布,则关于未知量的方程有实根的概率为_5/6_5. 设随机变量的数学期望,方差,用切比雪夫不等式估计得 4/5 .二、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5个小题，每小题4分，总计20分） 1设事件相互独立,且,，则有 B (A) ; (B) ; (C) ; (D) 2. 设,那么概率 D (A) 随增加而变大; (B) 随增加而减小； (C) 随增加而不变; (D) 随增加而减小 3. 设,则 C (A) ; (B) ; (C) ;
10、(D) 4设相互独立，服从上的均匀分布，的概率密度函数为，则D(A) ; (B) ; (C) ; (D) 三、计算题（本大题共5小题，每小题10分，共计50分）1某产品整箱出售，每一箱中20件产品，若各箱中次品数为0件，1件，2件的概率分别为80，10，10，现在从中任取一箱，顾客随意抽查4件，如果无次品，则买下该箱产品，如果有次品，则退货，求: (1) 顾客买下该箱产品的概率；(2) 在顾客买下的一箱产品中，确实无次品的概率.解:设表示“顾客买下该箱产品” ，分别表示“箱中次品数为0件，1件，2件” 则80，1010，1，(3分)由全概率公式得：448/475，(7分)由贝叶斯公式得：95/
11、112 (10分)2已知随机变量的密度为,且,求: (1) 常数的值; (2) 随机变量的分布函数解: (1) 由, 解得 (4分) (2) ,当时, ，当时, , 当时, ， 所以 (10分)3设二维随机变量有密度函数： （1）求边缘概率密度；（2）求条件密度；（3）求概率.解: （1） (4分)(2) 当时, =当时, (8分)(3) (10分)4 . 设随机变量独立同分布，都服从参数为的泊松分布，设, 求随机变量与的相关系数4 .解: , (8分)=3/5 (10分)四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）1. 设事件相互独立,证明事件与事件也相互独立1. 证明：由于事件相互独
12、立，所以，(2分)所以即,所以事件与也相互独立 (5分)一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，总计20分）1 .设是两个随机事件,则事件“同时发生” 的对立事件的概率为 0.6 2设有40件产品，其中有4件次品，从中不放回的任取10次，每次取一件，则最后一件取的为次品的概率是 0.1 3设随机变量与相互独立,则随机变量的方差为 24 4设随机变量的数学期望,方差,用切比雪夫不等式估计得,则 10 二、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5个小题，每小题4分，总计20分） 1设总体,是取自总体的一个样本, 则为参数的无偏估计量的是( A )(A) ; (B
13、) ; (C) ; (D) 2. 设,则满足的参数( C )(A) 0; (B) 1; (C) 2; (D) 3 3设, , 则( C )(A) ; (B) ; (C) ; (D) 三、计算题（本大题共5小题，每小题10分，共计50分）1两个箱子中都有10个球，其中第一箱中4个白球，6个红球，第二箱中6个白球，4个红球，现从第一箱中任取2个球放入第二箱中，再从第二箱中任取1个球，(1) 求 从第二箱中取的球为白球的概率；(2) 若从第二箱中取的球为白球，求从第一箱中取的2个球都为白球的概率1解: 设表示“从第二箱中取的球为白球” ，分别表示“从第一箱中取的2个球都为白球,1白1红，2个球都为红
14、球” ， 则=2/15，=8/15，=1/3，2/3，7/12，1/2，(4分) 由全概率公式得：17/30， 由贝叶斯公式得：8/51 (10分)2设随机变量与同分布，的概率密度为 ，事件与事件相互独立，且，求常数的值。2解: 由于事件相互独立，所以，所以，解得或（舍去），(5分)所以，得 (10分)3设二维随机变量有密度函数： （1）求常数；（2）求边缘概率密度；（3）是否相互独立。3解：（1）， (4分) （2）(8分)（3），所以相互独立。(10分)4 . 设随机变量，相关系数，设求： (1) 随机变量的期望与方差 ；(2) 随机变量与的相关系数4 . 解： (1) ，所以， ，所以，
15、(5分)(2) 由于，所以 (10分)四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）1. 设事件相互独立,证明事件与事件也相互独立.1. 证明：由于事件相互独立，所以，所以即,所以事件与也相互独立。(5分)一、填空题（本大题共6小题，每小题3分，总计18分）1. 设为随机事件,则 2/3 210个球队平均分成两组进行比赛,则最强的两个队分到同一组的概率为 2/9 3设随机变量在区间上服从均匀分布,则的数学期望为 4设为二项分布,且,则_8_ 0.2 5. 设随机变量在区间上服从均匀分布,用切比雪夫不等式估计得 1/12 .二、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中
16、，本大题共6个小题，每小题3分，总计18分） 1设为事件,且,则下列式子一定正确的是( B )(A) ; (B) ; (C) ; (D) 2. 设随机变量的分布率为, ,则 ( D )(A) ; (B) ; (C) ; (D) 3. 设,概率密度为,分布函数为,则有( A )(A) ; (B) ; (C) , ; (D) , 4. 设,则( A )(A) ; (B) ; (C) ; (D) 5. 设随机变量满足方差,则必有( B )(A) 与独立; (B) 与不相关;(C) 与不独立; (D) 或三、计算题（本大题共6小题，每小题10分，共计60分）1有三个盒子,第一个盒子中有2个黑球,4个白
17、球,第二个盒子中有4个黑球,2个白球,第三个盒子中有3个黑球,3个白球,今从3个盒子中任取一个盒子,再从中任取1球.(1) 求此球是白球的概率；(2) 若已知取得的为白球,求此球是从第一个盒子中取出的概率. 解:设表示“取得的为白球” ，分别表示“取得的为第一，二，三盒的球” 则，(2分)由全概率公式得：1/2，(6分)由贝叶斯公式得：4/9 (10分)2已知连续型随机变量的分布函数为,其中为常数。求: (1) 常数的值; (2) 随机变量的密度函数;(3) 解: (1) 由右连续性, ， 得， 解得 (6分) (2) , (8分)(3) =1/3 (10分)3设随机变量在区间上服从均匀分布,
18、 求概率密度。3解: 的概率密度为，反函数导数，所以的概率密度为(10分)4设二维随机变量的密度函数： （1）求常数的值；（2）求边缘概率密度；（3）和是否独立?4解: （1）由，得 (3分)(2)(6分) (9分)(3) ，不独立(10分)5 . 设二维随机变量的概率密度函数： 求（1）数学期望与；（2）与的协方差5 .解: ,(2分),(4分) (6分)，所以=9/40 (10分)四、证明题（本大题共1小题，每小题4分，共4分）1. 设三个事件满足,试证明:1. 证明：由于，所以，所以 (4分)一、填空题（本大题共6小题，每小题3分，总计18分）1. 设为随机事件,则 0.1 210件产品
19、中有4件次品,从中任意取2件,则第2件为次品的概率为 0.4 3设随机变量在区间上服从均匀分布,则的概率密度函数为 4设随机变量的期望,方差,则期望 54 5. 设随机变量服从参数为2的泊松分布,则应用切比雪夫不等式估计得 1/2 .二、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共6个小题，每小题3分，总计18分） 1设为对立事件, , 则下列概率值为1的是( C )(A) ; (B) ; (C) ; (D) 2. 设随机变量,概率密度为,分布函数,则下列正确的是( B )(A) ; (B) ; (C) , ; (D) , 3. 设是随机变量的概率密度,则一定成立
20、的是( B )(A) 定义域为; (B) 非负; (C) 的值域为; (D) 连续 4. 设,则( A )(A) ; (B) ; (C) ; (D) 5. 设随机变量的方差,相关系数,则方差 ( D )(A) 40; (B) 34; (C) 17.6; (D) 25.6三、计算题（本大题共6小题，每小题10分，共计60分）1甲乙丙三个同学同时独立参加考试,不及格的概率分别为: 0.2 ,0.3,0.4,(1) 求恰有2位同学不及格的概率；(2) 若已知3位同学中有2位不及格,求其中1位是同学乙的概率. 1解:设分别表示 “甲,乙,丙同学不及格” , 则，由题意相互独立 (2分)(1) 事件“恰
21、有2位同学不及格” 为: ，所以=0.188 (6分)(2) =33/47 (10分)2已知连续型随机变量的分布函数为,求: (1) 常数的值; (2) 随机变量的密度函数;(3) 解: (1) 由右连续性得，即, 又由得， 解得 (5分) (2) , (8分)(3) (10分)3设随机变量与相互独立,概率密度分别为:,求随机变量的概率密度3解: 由于随机变量与相互独立,所以的密度函数为 (2分) (10分)4设二维随机变量的密度函数： （1）求常数的值；（2）求边缘概率密度；（3）和是否独立?4解: （1）由，得 (2分)(2) (5分) (9分)(3) ，不独立(10分)5 . 设二维随机变量的概率密度函数：求（1）数学期望与；（2）与的协方差5 .解: ,(2分) ,(4分) (6分)，所以=3/160, (10分)四、证明题（本大题共1小题，每小题4分，共4分）1. 设任意三个事件,试证明:1. 证明： 因为,又由于,，所以，,所以,即 (4分)；.