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1、2008年普通高等学校校招生全国统一考试(北京卷.理)数学本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分，第I卷1至2页，第n卷3至9页，共150分。考试时间120分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷(选择题共40分)一、本题共8小题。每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。(1)已知全集 U = R，集合 A= | -2 < x< 3 , B=：x | X :： -1 或 x . 4 !，那么集合 A n(Cu B )等于A. & | 2<4B.<x | x 兰 3或x K 4C. x|£Exc-1)D
2、.&| -1 Wx 兰3(2) 若 a= 20.5 ,b= log2兀a3,c=log2Sin，则5A. a>b>cB.b>a>cC. c>a>bD.b>c>a(3) “函数f(x)(x R)存在反函数”是“函数f(x)在 R上为增函数”的A .充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.即不充分也不必要条件(4)若点P到直线x= 1的距离比它到点(2, 0)的距离小1，则点P的轨迹为A 圆B 椭圆C.双曲线D .抛物线”x - y +1 王0(5)若实数x,y满足<x + y0 贝V z = 3x沧2的最小值是ix兰0
3、A. 0B . 1C.V3D . 9(6)已知数列 an对任意的p,q Nm满足ap+q=ap+aq,且ap=-6,那么ap+q等于A. -165B . -33C.-30D . 21(7)过直线y=x上的一点作圆(x-5)2，(y-1)2 =2的两条切线l1,l2，当直线h,l2关于y=x对称时，它们之间的夹角为B . 45C. 60°D . 90°(8) 如图，动点P在正方体 ABCD-AiBiCiDi的对角线BDi上，过点P作垂直于平面 BBiDiD的直线，与正方体面相交于M、N，设BP=x, MN=y,则函数y=f(x)的图象大致是第n卷(选择题共40分):、填空题：
4、本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。(9) 已知(a-i)2=2i,其中是虚数单位，那么实数a= 。(10) 已知向量a与b的夹角为120°,且| a I =|b|=4,那么b (2a+b)的值为1(11) 若(X2 )n展开式的各项数之和为32,则n= ，其展开式中的常数项为x。(用数字作答)(12) 如图，函数f(x)的图象是折线段 ABC,其中A,B,C的坐标分别为(0, 4), (2, 0), ( 6,(1 亠：、x) _ f(1)4),贝U f(f(0)= ; = lim。(用数字作答)oJl H(13 )已知函数f(x)=-cos x,对于,上的任
5、意x1/2,有如下条件:2 22 2 x1>X2；x 1>x 2; |X1|>X2.其中能使f(x1)> f(X2)恒成立的条件序是k棵树种植在(14) 某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第点 Pk(xk, yk)处，其中 xi=1,yi=1,当 k> 2 时,_ k_1k_2 -Xk 二 Xx上 1-5T() -T( )-5 5_k1、_k_2、yk = yk*T (-) 一T (-)55TA .表示非负实数a的整数部分，例如 T(2,6)=2,T(0,2)=0。按此方案：第6棵树种植点的 坐标应为；第2008棵树种植点的坐标应为。三
6、、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。(15) (本小题共13分)已知函数 f(x)=sin23 x+'、3 sin® xsin(3 x+ )(w > 0)的最小正周期为 n .(I)求3的值；2j(n)求函数f(x)在区间0,上的取值范围.3(16) (本小题共14分)女口图，在三棱锥 P-ABC 中，AC=BC=2，/ ACB=90 ° , AP=BP=AB, PC丄 AC.(I)求证：PC丄AB ;(n)求二面角 B-AP-C的大小；(川)求点 C到平面APB的距离.(17) (本小题共13分)甲、乙等五名奥运志愿者
7、被随机地分到A , B , C, D四个不同的岗位服务，每上岗位至少有一名志愿者.(I)求甲、乙两人同时参加 A岗位服务的概率；(n)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；(川)设随机变量E为这五名志愿者中参加 A岗位服务的人数，求E的分布列.(18) (本小题共13分)2x _ b已知函数f(x)=2，求导函数f'(x)，并确定f(x)的单调区间(X-1)(19) (本小题共14分)已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x2+3y2=4上，对角线BD所在直线的斜率为I.(I)当直线BD过点(0, 1 )时，求直线 AC的方程；(H) 当/ ABC=60 °，求菱形 ABCD面积
8、的最大值.(20) (本小题共13分)对于每项均是正整数的数列A:a1,a2,an,定义变换，将数列A变换成数列A :n,a1-1,a2-1，,an-1.对于每项均是非负整数的数列B : b1,b2,bm,定义变换T2, T2将数列B各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列T2 ( B):又定义S ( B) =2 ( b1 +2b2+ + mbm)+b什2+ +m.设Ao是每项均为正整数的有穷数列，令Ak+1=T2(T1(Ak)(k=0,1,2,)(I) 如果数列 Ao为5, 3, 2，写出数列A1,A2；(H)对于每项均是正整数的有穷数列A，证明S ( T1A.) =SA(川)证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列Ao,存在正整数 K，当k> K时，S(Ak+1)=S(Ak).