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1、第2讲不等式的证明最新考纲了解证明不等式的基本方法：比较 法、综合法、分析法、反证法、放缩法,并能 用它们证明一些简单不等式.基础诊断梳理自测，理解记忆知识梳理1.基本不等式定理1：设a, bWR,则a2hb22ab.当且仅当a=b时，等 号成立.定理2：如果a、b为正数，则寸亦，当且仅当a=b 时，等号成立.a - P b c 2定理3：如果°、b、c为正数，则fabc,当且仅 当a = b = c时，等号成立.定理4：(一般形式的算术一几何平均不等式)如果小如、a”为n个正数，则鼻勺。应2给'当且仅当=。2= =给 时， 諄号成2柯西不等式(1)设 a, 4 c，均为实数
2、，贝0(a + b2)(c2+d2)(ac+bd)29 当且仅当adbe时等号成立.若ai9伤(iWNj为实数，则n( 、n( nSb?2Sajbjz=l< 丿Z=1 )Z=1k/,当且仅当¥=¥=¥(当=0 时，约定 bj = 0, i=l,2,， dl d2ann)时等号成立.(3)柯西不等式的向量形式：设“为平面上的两个向量，贝IJ apa-p,当且仅当°, “共线时等号成立.3.不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、 放缩法等.诊断自测aClTYYl1.已知a、b、加均为正数，且a<b, M=p N=p
3、加，则M、N的大小关系是&n 丄厂a avm m(a b)口口解析m2厂帀二丽丽VO,即M<N.答案M<N2.设 «=a/3a/2, Z?=6a/5,晶则 q，b, c 的大小关系为.解析分子有理化得心諾迈，*岸书，尸杲萌：a>b>c.答案 a>b>c3.若 OVoVbVl,则 a-b,2ab, a2-b2,2ab 中最大的一个是解析 ab>2fab, a2b2>2ab.乂 (/ + /?') (a+b)=d(a l) + b(b 1),J 0 V° V 1，0 Vb V1. a(a- l) + b(b1)&l
4、t;0./ / + Vd + b 答案a+b4. （201 牛陕西卷）设 a, b, m, nR,且 a+b2=5, ma+nb=5,则寸加?+斤2的最小值为.解析 *«2+Z?2+m2+«22（am+bri）当且仅当 am, bn 时等号成立），Vcr+b2=5, ma-bn = 5,°5+/7,+“2$ 10, ,m2-n25,jm2-n2 鼻远,m2+n2的最小值为审.答案逛5若b, cW(O, +°°),且 o + b + c=l，则也+边+&的 最大值为.解析(込+辺+&r=(ix込+1 XaJ+ 1 x込)y(F+1
5、2 + l2)(tz+/?+c) = 3.当且仅当a=b=c时，等号成立.(込+边+&W3.故込+边+&的最大值为羽.答案a/3考点突破分类讲练，以例求法考点一 分析法证明不等式【例1】设a. b, c>0,且qZ?+Z?c+cq= 1.求证:o+b+c鼻羽.(2)寸1+寸1+幕鼻仮也+舫+&)证明要证a+b+c$书,由于a, b, c>0,因此只需证明(a+b+c)2$3.即证：a2+Z?2 + c2 + 2(ab + Z?c+cd)3, 而 abJbc-ca= 1, 故需证明：/+戻 + c?+2(ab+be+cd)三 3 (ab+be+cd) 即证：/
6、+戻+ c?三ob+be+cq2 I 7 27 2 I 22 I 2而这可以由 ab + bc + caW cr b1(?(当且仅当a=b=c时等号成立)证得.原不等式成立.眾+假+扁=1 由于(1)中已证a + b + c$迪.因此要证原不等式成立，只需证明盘筋+边+&. 即证 ayfbcrbfac-clab 1,即证 crlc+bc + cWab + bc+cciIi abVacHu be cib'dc2，7 !ab + bc rbc+oc byjacW, epabW .； abcblac-cfabab+bc+ca = 5 =。=专时等号成立.Id丿原不等式成立规律方法 分
7、析法是证明不等式的重要方法, 当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式 、基本不等式没有直接联系,较难发现条件和 结论之间的关系时,可用分析法来寻找证明途 径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必 须可逆【训练1】已知。、b、c均为正实数，且d+b +c=l,求证:(l+d)(l+b)(l+c)»8(ld)(l b)(l_c) 证明 丁。、b、c均为正实数，且d+b+c =1,要证原不等贰成立， (c+q)4(q+z?)三2 aJ(c+«)(«+Z?)>0,环等式得 (a+c)+b(a+b (iHr/卅国圭a)$2 寸(b+c)(c+a)>0, 玮成宴
8、，i-rcra考点二用综合法证明不等式【例2】已知a>0, b>0, a + b= 1,求证: (G+/+爲上&(iY 1)(习1+计1+於9.证明(l)l+b=l，a>0, Z?>0, +424 /£x#+4=8.= + /+止W + /+需= 2(-+| = 2a b)、'b ci=2/力丿0 + b ab< a b+计沁(1Y 1) 1 11(2)V 1+- 1+r =-+t+-+1,' 7。人b)abab1 ii(i Y1由(1)知一+丁$8 l+- 1+t 9.'丿a babIajb)规律方法 利用综合法证明不等
9、式，关键是利用好已知条件和 已经证明过的重要不等式.【训练2】已知Q，b，c均为正实数，且互不相等，且abc=L 求证:如+也+乖+£+;证明法一Ta，b, c均为正实数，且互不相等，且abc也+筋+&=«+l+c- 法二:知詐2品=2汞;T+R层=2心;出三2種=2並°以上三式相加，得+£+$込+筋+& 又Td, b, c互不相等，°1+2+1逅+边+&.法三 % b, c是不等正数，且abc=l,.111bc+cacaabab+bc： _+y + _ = be + cq + ab =abc222込+筋+&&l
10、t;+*+£.考点三 利用柯西不等式求最值【例3】(1)(2013-湖北卷)设x, y, zWR，且满足：=1, x+2y+3zV14,则 x+y+z14 9(2)已知兀、y、z均为正实数，且x+y+z=l，则:+$+亍的最小值为解析（1）由柯西不等式，得(x2+y2+z2)(l2+22+32)>(x+2y+3z)2,(x+2y+3z)2 14> 则 x+2y+3zW寸T5,Xx+2y+3z=V14, v 乙 rar.k aZH3a/14兀=空=2，因此y=j, z= 打 , 于是x+y+尸攀.4 914法二】+亍+厂尹+y+z)+尹+y+z)+ 纭+卅)=14+件判+件
11、判+伴+判勿4+4+6+12=zv 77y) x z) y zJ36.当且仅当y=2x, z=3x,即y=g, z=g时，等号成立. 答案(1芦尹(2)36规律方法根据柯西不等式的结构特征，利用柯西不等式对有 关不等式进行证明，证明时，需要对不等式变形，使之与柯西 不等式有相似的结构，从而应用柯西不等式.【训练3】（2013 湖南卷）已知a, b, cWR, a+2Z?+3c=6,则a24b29c2的最小值为解析 法 f T （x + y + 拧=F + 于 + 乙2 + 2Xy + 2yz + 2旷 W 3（F+于+z?）,Q Aa2+4Z?2 + 9c2+ 2Z?+3c）212./ a2+4Z?2+9c2 的最小值为 12.法二 由柯西不等式，得(a2 + 4Z?2 + 9c2)-(I2 + I2+ l2)(tz-l +2bl + 3cl)2=36,故 «2+4Z?2+9c212,1 I 12当且仅当：=冠=壬,即a = 2, b=l, c=m时等号成立，从而«2+4Z?2+9c2的最小值为12.答案12