《§4.2换元积分法(第一类换元法).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《§4.2换元积分法(第一类换元法).docx（16页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、§ 4.2 换元积分法I 授课题目§ 4.2 换元积分法(第一类换元法) n 教学目的与要求：1. 理解第一类换元法的基本思想，它实际上是复合函数求导法则的逆过程，其关键是“凑微分”，d (x) (x)dx .2. 掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第一类换元积分法求有关不定积分.川教学重点与难点：重点：第一换元法的思想，难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积分IV 讲授内容：一、第一类换元积分法(x) ,(x)可微，则设f (u)具有原函数F (u) , f (u)du F(u) C .若u是中间变量，u根据复合函数求导法则，有f (x)(X)。dF( (x)dF
2、 du、duf (u) dxdu dxdx所以根据不定积分的定义可得：f (x) (x)dx F (x) CJFu C f (u)du以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍，就有f (x) (x)dxu(x) f (u)du F u C F (x) C .以上就是第一换元积分法。从以上可以看出，虽然 f (x) (x)dx是一个整体记号，但是被积表达式中的 dx可当作变量x的微分来对待 从而上式中的(x)dx可以看成是(X)的微分，通过换元u (x)，应用到被积表达式中就得到 (x)dx du .定理1设f (u)具有原函数F(u) , u (x)可导，du(x)dx，贝Uf (x) (x)d
3、x f (u)du F(u) C F (x) C (1)如何应用公式(1)，在求不定积分积分g(x)dx时如果被积函数g(x)可以化为一个复合函数与它内函数的导函数的积的形式f (x) (x)的形式那么g(x)dx f (x) (x)dx (x) u f (u)du F(u) Cu (x)F (x) C.所以第一换元积分法体现了 “凑”的思想.把被积函数凑出一个复合函数与其内函数的积f (x)(X)来.例 1 求 3e3xdx解3e3xdxe3x 3dx= e3x( 3x) dx，可设中间变量 u 3x ,du d (3x) 3dx 3dx du,所以有 e3xdxe3x 3dxeudu eu
4、 C e3x C.首先观察被积函数的复合函数是什么样的，然后看是否有它的内函数的导数，若没有就去凑。(x)的过程省略，从而使运算更加简洁。例 2 cos2xdx解11cos2xdxcos2x 2dx=cos2x (2x) dx22令u 2x，显然du2dx，则111cos2xdxcos2x 2dx cosudusin u C2221sin 2x C .2在比较熟练后，我们可以将设中间变量u33例 3(3x2)5dx解如将(3x52)展开是很费力的，不如把3x 2作为中间变量,d(3x 2) 3dx，2)5dx=131dx3 2x.1_dx 二3 2x 2 3 2x2例 52xex dx(3xx
5、22xe dx(3xex (x2) dxx .1 x2dxx2dx2)5 3dx = 1 (3x32)5d(3x 2)£(3x182)6 C .2dx=12ex dxx2(1x21n严 2x)ln|3 2x |22 e" C(2x) .1 x2dxx2) dxx2d(1x21(13x2)"C .二、掌握几种典型的“凑微分” 欢迎下载的方法xn * 1dxexdx d(ex)；1dx d(ax b)；a欢迎下载51-dx d(ln x);xaxdxd(ax);ln acosxdx d(sin x);sin xdx d (cos x)；2sec xdx d (tan
6、x)；2csc xdx d(cot x)；secx tan xdx d (secx)；dx 2d (arcsin x);1 x2三、利用第一换元积分法法计算有关函数的不定积分 计算有关函数的不定积分时，需要先把被积函数变形转化，再利用第一换元积分法计算 例 7 求 sin2 xdx解 sin2xdx12(1(cos2x)1cos2x)dx dx2x 12dxsin 2x241-cos2xdx2C （此题利用三角函数中的降幕扩角公式）(a 0)dx2 2 a xdx- a2dx叩（a）21 ;a严arcsin C .a利用d(xn)nxn 1dx，有如下例题.1sin例9求 尹x1解d (丄)x
7、.1sinxdxxdxAdxx(sin)( 2)dxx x(sin1)(1) dxx xsin -d()x x1cos Cx例10 求 ex cosexdxsinex C.解 ex cosexdx= cosexd (ex)利用 d(ex) exdx， d(ax) ax ln adx例11求xxdx习题 4-2:2(30)欢迎下载7edx(ex)-dx1dexx 2arctanex C .(ex)2 112求dx1dx13dxdx1d(ex 卫 x ln(ex 1) C.16x6x9xdxdx6xxdx9x3 xdx3 2 x(;)21i；!21（卽2d(|)xarcta nIn3 ln2此题利
8、用d（ax）ax 1 n adxF面几个例题利用d(1n x)dxx例14求 一x ln解理xln x】dx ln x xd(l nx) ln ln xIn xC.又如习题4-2:2(16)dxd l n x ln ln x ln xdx解 x ln x ln ln xx ln x ln ln x1 1 1 ,dxln ln x ln x x1d ln ln x ln |lnlnx| C . lnln x1例 15 求 (21n x 5)4dxx1i2第一次课可以讲到这里解 (2In x 5)4dx(2ln x 5)4 dxx2x1 415(2ln x 5) d(2ln x 5) (2ln x
9、 5) C .2 10欢迎下载8被积函数是分母是二次函数 (例16例22六个例题)分子是常数或一次函数的有理分式函数的不定积分的求法dx例16求 一a(a 0)分子是常数，分母是二次二项式，没有一次项dx-2a1,11,X1丄xdxd()arcta n C.(x)2a 1 (x)2a aaa例17dx9x212x被积函数分母是一个完全平方式dx1=9x 12x 4 312(3x 2)3dx3 (3x 2)?d(3x 2)13(3x 2)欢迎下载101被积函数分母是一个完全平方式，被积函数化为1 1 .2dx二一2 d (ax b) (ax b) a (ax b)dx例 18? dx4x 4x
10、17解2 dx4x2 4x 17分子是常数，分母是二次三项式，不是完全平方式dx16 (2x1 18 1 (2x 21 1 .dx16 1(2x 1)2(4x 1-arc ta) C8241)2d（专）4 ）24被积函数分母是二次三项式且不可以分解因式，不是完全平方式时可以把分母配方化为c的形式，然后利用 dx arcta nx C1 x(ax b)2练习:求x 2x 5dx （第一换元积分法分）2x 2x 5 (x1)24，(x219求dx2x 5)2(x 1)4dx41 宀1、22dx2x x12Q7 x 12dx2 x1x 121dx(宁)2 1JarctaJ C2 2分子是常数，分母是
11、二次三项式且可以分解因式(x 3)(x 4)1 17(x 41d(x 4)x 4711In | x 4 | In 77|x1 )dx x 31d(xx 31 3| C In71 11 1dxdx7x47x33)被积函数分母是二次三项式且可以分解因式,fl1 C.被积函数可以用裂项法转化为两个简单分式的差(x a)(x b)c 1a b'x a)1(x b)例20求-12 dx 分子是 x次多项式，分母是二次多项式解 d(x21) 2xdxx欢迎下载12笃dx1 x2単dx1 x221d(x 1)In(x2 1) C .2例21求x2xdx102解 Qd(x2x10)(2x2)dx,2x
12、 10 dx2x 22xxx2 2x 102x 2x2x 10dx2x 222 x12x 1022x2d(x 2x 10)dxx2 2x 10x2 2x 10ln (x22 2x 10)1(x 1)2 9dxhn (x2 2x 10)2被积函数分子是一次多项式，面几个例题利用三角函数的微分公式:1 12dx ln (x2 2x 10) (j 123分母是二次多项式时，首先把分子凑成分母的导数1 arctan33d(sin x) cosxdx ； d(cosx) sin xdx ； d(tan x)2sec xdx ； d (cotx)csc2 xdx例22求 tan xdx(化切为弦)tanx
13、dx= sinx dx= cosxsinx ,dxcosx1d (cosx) cosxIn cosx C例23求 tan3 xdxtan3 xdxtan x(sec2 x21)dx tan xsecxdxsin x dx cosx例24tan xd (tan x)1 1 d (cosx) tan2cosxcscxdxcscxdx=dx= sin x1x2sin cos 2 一tanx2, xd tan2xIn |tan-|C.因为xtan2.xsin2x cos22si n2仝2x x2sin cos-2 2In cosx C2xcos2 xdxsec -2 xx dxtan22sin22 一
14、21dxxCOS-22si n22sin xcosxcscx cotx.sin x欢迎下载16x所以 cscxdx In | tan 一 | C In | cscx cot x I C . 2此题用三角万能公式代换也可以cscxdx=- dxttanx 1 t22 dt22 dt2 2t 1 t21-dt In |t| C txIn | tan | C2sin x例25求 secxdx解secxdx 一1 , 1 , dxdxsec(x T)d (xT)cosxsin(x T)In |csc(x 三)cot(x 三)| C In |secx tanx| C . secxdx In | secx
15、 tanx| C例26求 cos3x cos2xdx (利用三角函数积化和差公式)和差化积公式积化和差sinsin2 si n2-cos2sincossin(2)sin()sinsin2 cos2sin2 .cossins in(2)sin()coscos;coscos1 cos(2)cos()2 cos2cos -2coscos2 sinsinsinsin1cos()cos()2 2 21 解 根据三角函数的积化和差公式：cos3x cos2x (cos5 x cosx)21cos3x cos2xdx cos5x cos xdx21111 cos5xd5x cos xdx sin5x sin
16、x C.102 102由以上例题可以看出，第一换元积分法是一种非常灵活的计算方法，始终贯穿着“凑微分”思想，因此学生应熟悉这些基本例题。V 归纳总结1.第一换元法是把被积函数g(x)凑成f (x)(x)的形式然后应用公式f (x) (x)dxu(x) f(u)du F u C F (x) C ;2.要熟练掌握几种典型的“凑微分”的方法。dx d (ax b) ； xn 1dx a-d(xnnb) ； exdxd(ex) ； - dxxd (ln x ) ； axdx&d(ax)In acosxdx d (sin x) ； sin xdx2d (cos x) ； sec xdx2d (t
17、an x) ； csc xdxd(cot x)；secxta n xdxdx1 x2d (arcsin x);dx1 x2d (arctan x).3.熟练掌握几种典型用第一换元积分法计算的不定积分1 dx ； a x1 dx ；x a12dx ；ax bx cex f2dx ；ax bx cdxx In x In In xw课堂练习:第一次课 P2071，习题 4-2:2(2)(5)(6)(8)(10)(12)(16)(18)(19)第二次课 2(11)(35)(43)(12)(29).W课外作业：第一次课P207习题4-2:2(1) (2)(4)(6) (7) (8) (9) (13) (16)(17)(19)(21) (30) (33).第二次课 2(11)(12) (15)(22)(24) (25) (26)(32)(34)( 35) (43)d (arctan x)。1 x