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1、1,2,无套利定价原理,一. 什么是套利以及几个例子？ 商业贸易中的”套利”行为？ 例如1：一个贸易公司在与生产商甲签订一笔买进10吨铜合同的同时，与需求商 乙 签订一笔卖出10吨铜合同：即贸易公司与生产商甲约定以55,000元/吨的价格从甲那里买进10吨铜，同时与需求商乙约定把这买进的10吨铜以57,000元/吨的价格卖给乙，并且交货时间相同。这样，1吨铜赚取差价2,000元/吨。,3,4月24日ETF50套利,4,4月24日ETF180套利,5,4月25日ETF50套利,6,4月25日ETF180套利,7,金牛能源与转债之间套利的例子,8,转股价10.81元，100元转9.2507股,13
2、4.6元,9,无风险套利的定义,在金融理论中，套利指一个能产生无风险盈利的交易策略。这种套利是指纯粹的无风险套利。但在实际市场中，套利一般指的是一个预期能产生很低风险的盈利策略，即可能会承担一定的低风险。,10,二. 无套利定价原理,金融市场上实施套利行为变得非常的方便和快速。这种套利的便捷性也使得金融市场的套利机会的存在总是暂时的，因为一旦有套利机会，投资者就会很快实施套利而使得市场又回到无套利机会的均衡中。因此，无套利均衡被用于对金融产品进行定价。金融产品在市场的合理价格是这个价格使得市场不存在无风险套利机会，这就是“无风险套利定价”原理或者简称为“无套利定价”原理。什么情况下市场不存在套
3、利机会呢？我们先看一下无风险套利机会存在的等价条件：,11,无风险套利机会存在的等价条件,（1）存在两个不同的资产组合，它们的未来损益（payoff）相同，但它们的成本却不同；在这里，可以简单把损益理解成是现金流。如果现金流是确定的，则相同的损益指相同的现金流。如果现金流是不确定的，即未来存在多种可能性（或者说存在多种状态），则相同的损益指在相同状态下现金流是一样的。,12,（2）存在两个相同成本的资产组合，但是第一个组合在所有的可能状态下的损益都不低于第二个组合，而且至少存在一种状态，在此状态下第一个组合的损益要大于第二个组合的损益。（3）一个组合其构建的成本为零，但在所有可能状态下，这个组
4、合的损益都不小于零，而且至少存在一种状态，在此状态下这个组合的损益要大于零。,13,上述无套利机会的存在等价性条件,（1）同损益同价格：如果两种证券具有相同的损益，则这两种证券具有相同的价格。（2）静态组合复制定价：如果一个资产组合的损益等同于一个证券，那么这个资产组合的价格等于证券的价格。这个资产组合称为证券的“复制组合”（replicating portfolio）。,14,（3）动态组合复制定价：如果一个自融资（self-financing）交易策略最后具有和一个证券相同的损益，那么这个证券的价格等于自融资交易策略的成本。这称为动态套期保值策略（dynamic hedging strat
5、egy）。所谓自融资交易策略简单地说，就是交易策略所产生的资产组合的价值变化完全是由于交易的盈亏引起的，而不是另外增加现金投入或现金取出。一个简单的例子就是购买并持有(buy and hold)策略。,15,三.确定状态下无套利定价原理的应用,1、同损益同价格 （例子2）假设两个零息票债券A和B，两者都是在1年后的同一天到期，其面值为100元（到期时都获得100元现金流，即到期时具有相同的损益）。如果债券A的当前价格为98元，并假设不考虑交易成本和违约情况。问题：（1）债券B的当前价格应该为多少呢？ （2）如果债券B的当前价格只有97.5元，问是否存在套利机会？如果有，如何套利？,16,2、静
6、态组合复制定价（例子3）,假设3种零息票的债券面值都为100元，它们的当前市场价格分别为： 1年后到期的零息票债券的当前价格为98元； 2年后到期的零息票债券的当前价格为96元； 3年后到期的零息票债券的当前价格为93元；并假设不考虑交易成本和违约。问题：（1）如果息票率为10，1年支付1次利息的三年后到期的债券A的当前价格应该为多少？ （2）如果息票率为10，1年支付1次利息的三年后到期的债券A的当前价格为120元，问是否存在套利机会？如果有，如何套利？,17,对于第一个问题，我们只要按照无套利定价原理的推论（2），去构造一个“复制组合”就可以了。先看一个息票率为10，1年支付1次利息的三年
7、后到期的债券的损益情况。面值为100元，息票率为10，所以在第1年末、第2年末和第3年末的利息为1001010元，在第3年末另外还支付本金面值100元。如图所示：,18,构造相同损益的复制组合为：（1）购买0.1张的1年后到期的零息票债券，其损益刚好为1000.110元；（2）购买0.1张的2年后到期的零息票债券，其损益刚好为1000.110元；（3）购买1.1张的3年后到期的零息票债券，其损益刚好为1001.1110元；所以上面的复制组合的损益就与图所示的损益一样，因此根据无套利定价原理的推论（2），具有相同损益情况下证券的价格就是复制组合的价格，所以息票率为10，1年支付1次利息的三年后到
8、期的债券的当前价格应该为：0.1980.1961.193121.7,19,对于第二个问题，其原理与例子2类似，债券A的当前价格为120元，小于应该价格121.7元，因此根据无套利定价原理，存在套利机会。当前市场价格为120元，而无套利定价的价格为121.7元，所以市场低估了这个债券的价值，则应该买进这个债券，然后卖空无套利定价原理中的复制组合。即基本的套利策略为：（1）买进1张息票率为10，1年支付1次利息的三年后到期的债券A；（2）卖空0.1张的1年后到期的零息票债券；（3）卖空0.1张的2年后到期的零息票债券；（4）卖空1.1张的3年后到期的零息票债券；,20,3、动态组合复制定价（例子4
9、）,假设从现在开始1年后到期的零息票债券的价格为98元。从1年后开始，在2年后到期的零息票债券的价格也为98元。并且假设不考虑交易成本和违约情况。问题：（1）从现在开始2年后到期的零息票债券的价格为多少呢？ （2）如果现在开始2年后到期的零息票债券价格为97元，问是否存在套利机会？如果有，如何套利？,21,与例子3不同的是，在这个例子中我们不能简单地在当前时刻就构造好一个复制组合，而必须进行动态地交易来构造复制组合。我们要运用无套利定价原理的第三个推论。现在看一下如何进行动态地构造套利组合呢？,22,23,按照无套利定价原理的第三个推论，自融资交易策略的损益等同于一个证券的损益时，这个证券的价
10、格就等于自融资交易策略的成本。这个自融资交易策略就是：（1）先在当前购买0.98份的债券Z01；（2）在第1年末0.98份债券Z01到期，获得0.9810098元；（3）在第1年末再用获得的98元去购买1份债券Z12；这个自融资交易策略的成本为：980.9896.04,24,25,存在交易成本时的无套利定价原理,当存在这些交易成本时，上面的无套利定价原理的几个推论就可能不再适用了。因为存在交易成本，那么所构造的套利策略也就不一定能盈利。因为，通过套利策略获得的盈利可能还不够支付交易成本。所以，无套利定价原理这时候就不能给出金融产品的确切价格，但可以给出一个产品的价格区间，或者说价格的上限和下限
11、。,26,例子5,假设两个零息票债券A和B，两者都是在1年后的同一天到期，其面值为100元（到期时都获得100元现金流，即到期时具有相同的损益）。假设购买债券不需要费用和不考虑违约情况。但是假设卖空1份债券需要支付1元的费用，并且出售债券也需要支付1元的费用。如果债券A的当前价格为98元。问题：（1）债券B的当前价格应该为多少呢？ （2）如果债券B的当前价格只有97.5元，是否存在套利机会？如果有，如何套利呢？,27,案例6,假设两个零息票债券A和B，两者都是在1年后的同一天到期，其面值为100元（到期时都获得100元现金流，即到期时具有相同的损益）。假设不考虑违约情况。但是假设卖空1份债券需
12、要支付1元的费用，出售债券也需要支付1元的费用，买入1份债券需要0.5元费用。如果债券A的当前价格为98元。问题：（1）债券B的当前价格应该为多少呢？ （2）如果债券B的当前价格只有97.5元，是否存在套利机会？如果有，如何套利呢？,28,四.不确定状态下无套利定价原理例子,在上一节的债券案例中，未来的损益（现金流）都是在当前就确定的，但实际市场中很多产品的未来损益是不确定的，要根据未来的事件而确定。比如，一个股票看涨期权，当到期日股票价格大于执行价格时，这个期权可获得正的损益，为到期日股票价格减去执行价格；但是，如果到期日股票价格小于等于执行价格，则这个期权到期日损益为零，即没有价值。因此，
13、期权的损益是不确定的，它依赖于未来的股票价格。下面讨论这种未来损益不确定情况下的无套利定价原理。,29,1、同损益同价格（例子7）,假设有一风险证券A，当前的市场价格为100元，1年后的市场价格会出现两种可能的状态：在状态1时证券A价格上升至105元，在状态2时证券A价格下跌至95元。同样，也有一证券B，它在1年后的损益为，在状态1时上升至105，在状态2时下跌至95元。另外，假设不考虑交易成本。问题：（1）证券B的合理价格为多少呢？ （2）如果B的价格为99元，是否存在套利？如果有，如何套利？,30,案例7与前面几个案例的不同地方在于，前面案例中的资产为债券，其未来的损益为确定的，即在某一时
14、间时只有一种状态，以概率100%发生。但本案例中的资产为风险证券，其未来的损益出现两种可能，可能上涨，也可能下跌，即未来的状态不确定。但根据无套利定价原理，只要两种证券的损益完全一样，那么它们的价格也会一样。所以，证券B的合理价格也应该为100元。,31,2、静态组合复制定价（案例8）,假设有一风险证券A，当前的市场价格为100元，1年后的市场有两种状态，在状态1时证券A价格上升至105元，在状态2时证券A价格下跌至95元。同样，也有一证券B，它在1年后的损益为，状态1时上升至120元，状态2时下跌至110元。另外，假设借贷资金的年利率为0，不考虑交易成本。问题：（1）证券B的合理价格为多少呢
15、？ （2）如果证券B的现在价格为110元，是否存在套利？如果有，如何套利？,32,案例8中证券B的损益与证券A不同，两个证券的损益状态如图4所示。现在考虑如何利用证券A和无风险债券来构建一个与证券B损益相同的组合,33,构建一个组合：x份证券A和y份的借贷（y大于零为借出钱，y小于零为借入钱）。要使得组合的损益与B的损益完全相同，则：,34,解得：x1，y 15。因此，买人1份证券A，再借出现金15份的组合的损益与证券B的损益完全相同，所以证券B的价格等于组合的价格：即1100151115元,35,当证券B的现在价格为110元，存在套利机会,构造一个套利策略：买进证券B，再卖空上面的等损益组合
16、，1份证券A和15份现金。所以整个套利组合为：买进证券B，卖空证券A，借入资金15。买进证券B的成本为110元，卖空证券A可得到100元，借入资金15所以还剩下5，这部分实际上就是套利策略的盈利。因为期末的现金流为0。这个组合的期初和期末现金流可见表2-3。,36,37,3、动态组合复制定价（案例9）,把案例8中的市场未来状态，从两种状态扩展到3种状态。风险证券A在1年后的未来损益为，状态1时110.25，状态2时99.75，状态3时90.25。同样，也有一证券B，它在1年后三种状态下的未来损益分别为125，112.5和109如图2-5。另外，假设借贷资金的年利率为5.06，半年利率为2.5%
17、，不考虑交易成本。问题：（1）B的合理价格为多少呢？ （2）如果B的价格为110元，是否存在套利？如果有，如何套利？,38,39,而上述方程却无解。为什么呢？因为当损益存在三种状态时，仅仅依靠两种证券的组合是无法复制出任意一种三状态的证券的。这在金融学中称为“不完全市场”。,110.25x 1.0506y 12599.75x 1.0506y 112.590.25x 1.0506y 109,40,但在1954年， Arrow和Debreu就证明在某些条件下，随着时间而调整组合的动态组合策略可复制出市场中不存在的证券。,41,下面我们看一下如何通过证券A和资金借贷的动态组合复制出证券B。所谓动态指
18、的是变化，所以我们把1年的持有期拆成两个半年，这样在半年后就可调整组合。假设证券A在半年后的损益为两种状态，分别为105元和95元。但证券B在半年后两种状态下的损益值事先不知道。证券A和B的损益如图2-6所示，而资金借贷的损益如图2-7所示。,42,证券A和B的两期三状态损益图,43,44,动态组合复制过程示意图,45,五.无套利定价原理的一般理论,不确定状态下的无套利定价原理的最简单模型Arrow-Debreu模型,46,1、市场环境假设假设市场中有N个证券，s1,s2,s3,sN。投资者一开始持有这些证券的组合，而后在持有期结束后获得这些组合的损益。假设仅有两个投资时刻，开始时刻0和结束时
19、刻1。投资者可持有这些证券及它们的组合的多头（买进）或空头（卖出），持有多头相当于在结束时刻获得证券的损益，而持有空头则相当于在结束时刻要付出证券的损益。,47,假设第i种证券在初始0时刻的价格为pi，则N种证券的价格向量为：它们在未来1时刻的损益有M种可能状态，第i种证券在第j种状态下的损益为dij，则这些证券的损益矩阵为： D（dij），i=1N，j=1MD的第j列D.j表示1时刻时处于第j种状态下1个单位的N种证券的损益向量。假设损益矩阵D的值对于投资者是已知的，但是投资者无法提前知道在1时刻这些证券处于M种状态中的哪一种状态，当然在同一时刻这些证券都是处于同一种状态下。,48,证券组合
20、用向量表示：=(1,2,N)其中i表示持有的第i种证券的数量，当投资者持有第i种证券的多头时，i 0；否则i 0时，它表示持有第i种证券的空头（持有空头相当于先借入证券，而在期末时买入证券归还，所有持有空头在期末时必须付出证券的损益）。,49,再假设市场是无摩擦的，即不考虑交易费用，税收等。投资者可拥有任意单位的证券，即i可以不是整数，为一实数。,证券组合在初始0时刻的价格则为： （2-1）这个组合在第j种状态下的损益则为： （2-2）,50,2、套利组合的定义一个证券组合定义为套利组合，如果它满足：,或者满足以下条件：,（2-4）,（2-3）,51,3、无套利组合等价定理,定理1：市场不存在
21、套利组合的等价条件是：存在一个正向量 ， 使得， 即,（2-5）,52,例如,53,Arrow-Debreu模型的经济含义,1、状态价格Arrow-Debreu的无套利组合等价定理说明，如果市场不存在套利组合，则资产的当前价格与未来损益之间要满足一定的条件。这个条件是存在一个对应于M个状态的向量，一般称之为状态价格（state-prices）。,54,2、风险中性概率如果把状态价格归一化，即让M个分量的和变为1：,55,56,推论：如果市场不存在套利组合，而且假设无风险借贷的利率为r，则存在一个概率测度使得任意一个资产的价格等于其未来可能损益（现金流）的期望值以无风险借贷利率贴现的贴现值。,57,风险中性概率与实际中各个状态发生的概率之间有什么关系呢？未来第j种状态发生的概率，即统计意义上的概率。我们说风险中性概率和实际统计概率两者可能会不相同。因为这跟投资者的风险偏好有关系,58,例如,59,六. 现实问题的分类,