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1、第七节数学归纳法(理),点 击 考 纲1.了解数学归纳法的原理2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.,关 注 热 点1.利用数学归纳法证明简单数学命题是本节重点，其中归纳猜想证明这一类型仍是高考的热点2.常与函数、不等式、数列等知识结合，在知识交汇处命题.,1数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤：,(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当 时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立,nk1,2数学归纳法的框图表示,1第一个值n0是否一定为1呢？提示：不一
2、定，要看题目中n的要求，如当n3时，则第一个值n0应该为3.2数学归纳法的两个步骤有何关系？提示：数学归纳法中两个步骤体现了递推思想，第一步是递推基础，也叫归纳奠基，第二步是递推的依据，也叫归纳递推两者缺一不可另外，在第二步中证明nk1时命题成立，必须利用归纳假设，否则就不是数学归纳法,解析：因为n3，所以，第一步应检验n3.答案：C,解析：因为当n1时，an1a2，所以验证n1时，等式左端计算所得的项是1aa2.答案：C,答案：B,5记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k1边形的内角和f(k1)f(k)_.解析：由凸k边形变为凸k1边形时，增加了一个三角形，故f(k1)f(k).答案：,【思路
3、导引】按照数学归纳法的步骤进行,【方法探究】(1)用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少(2)由nk到nk1时，除等式两边变化的项外还要充分利用nk时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明提醒：第一，不要忘记归纳假设；第二，归纳假设后，可利用分析法和综合法,1是否存在常数a，b，c使等式1(n212)2(n222)n(n2n2)an4bn2c对一切正整数n成立？并证明你的结论,已知数列an满足a10，a21，当nN*时，an2an1an.求证：数列an的第4m1项(mN*)
4、能被3整除【思路导引】本题若从递推式入手，设法求出通项公式，会相当困难，这时，可转向用数学归纳法证明【证明】(1)当m1时，a4m1a5a4a3(a3a2)(a2a1)(a2a1)2a2a13a22a1303.即当m1时，第4m1项能被3整除故命题成立,(2)假设当mk(k1，kN*)时，a4k1能被3整除，则当mk1时，a4(k1)1a4k5a4k4a4k32a4k3a4k22(a4k2a4k1)a4k23a4k22a4k1.显然，3a4k2能被3整除，又由假设知a4k1能被3整除3a4k22a4k1能被3整除即当mk1时，a4(k1)1也能被3整除，命题也成立由(1)和(2)知，对于nN*
5、，数列an中的第4m1项能被3整除,【方法探究】用数学归纳法证明整除问题，由k过渡到k1时常使用“配凑法”在证明nk1成立时，先将nk1时的原式进行分拆、重组或者添加项等方式进行整理，最终将其变成一个或多个部分的和，其中每个部分都能被约定的数(或式子)整除，从而由部分的整除性得出整体的整除性，最终证得nk1时也成立,2试证当n为正整数时，f(n)32n28n9能被64整除解析：首先在命题f(k1)中分析出含有命题f(k)的表达式作为第一项，为了使两边恒等，用多减少加的方法把f(k1)中的其余项拆为第二项，而第二项也含有命题的性质,法一：(1)当n1时，f(1)348964，命题显然成立(2)假
6、设当nk(k1，kN*)时，f(k)32k28k9能被64整除由于32(k1)28(k1)99(32k28k9)98k998(k1)99(32k28k9)64(k1)即f(k1)9f(k)64(k1)nk1时命题也成立根据(1)(2)可知，对任意的nN*，命题都成立,法二：(1)当n1时，f(1)348964，命题显然成立(2)假设当nk(k1，kN*)时，f(k)32k28k9能被64整除由归纳假设，设32k28k964m(m为大于或等于1的自然数)，将32k264m8k9代入到f(k1)中得f(k1)9(64m8k9)8(k1)964(9mk1)，nk1时命题成立根据(1)(2)可知，对任
7、意的nN*，命题都成立.,【方法探究】“归纳猜想证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用其关键是归纳、猜想出公式,猜想f(n)n(n2)下面用数学归纳法证明：当n2时，等式S1S2Sn1n(Sn1)恒成立当n2时，由上面计算知，等式成立假设nk(k2)时，等式成立，即,(2009山东高考12分)等比数列an的前n项和为Sn，已知对任意的nN*，点(n，Sn)均在函数ybxr(b0且b1，b，r均为常数)的图象上(1)求r的值；(2)
8、当b2时，记bn2(log2an1)(nN*)，,【评价探究】用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明提醒：用数学归纳法证明不等式的关键是由nk时成立得nk1时成立，主要方法有：放缩法；利用基本不等式法；作差比较法等,【考向分析】从近两年的高考试题来看，用数学归纳法证明与正整数有关的不等式以及与数列有关的命题是高考的热点，题型为解答题，主要考查用数学归纳法证明数学命题的能力，同时考查
9、学生分析问题、解决问题的能力，难度为中高档预计2012年高考可能会以数列、有关的等式或不等式的证明为主要考点，重点考查学生运用数学归纳法解决问题的能力,解析：可代入验证n4时，左边30，右边28，左边右边，n5时，左边55，右边47，左边右边，故选B.答案：B,2(2010西安模拟)某个命题与正整数n有关，若nk(kN*)时该命题成立，那么可推得当nk1时该命题也成立，现已知当n5时该命题不成立，那么可推得()A当n6时该命题不成立B当n6时该命题成立C当n4时该命题不成立D当n4时该命题成立,解析：如果n4时命题成立，那么由题设，n5时命题也成立上面的判断作为一个命题，那么它的逆否命题是：如
10、果n5时命题不成立，那么n4时命题也不成立原命题成立，它的逆否命题一定成立答案：C,3用数学归纳法证明“12222n12n1(nN*)”的过程中，第二步假设nk时等式成立，则当nk1时应得到()A12222k22k12k11B12222k2k12k12k1C12222k12k12k11D12222k12k2k12k,解析：当nk时，等式为12222k12k1.那么当nk1时，左边12222k12k，因此只需在归纳假设两端同时添加2k，即12222k12k2k12k.答案：D,4下列代数式(其中kN*)能被9整除的是()A667k B27k1C2(27k1) D3(27k)解析：(1)当k1时，显然只有3(27k)能被9整除(2)假设当kn(nN*)时，命题成立，即3(27n)能被9整除，那么3(27n1)21(27n)36.这就是说，kn1时命题也成立由(1)(2)可知，命题对任何kN*都成立答案：D,答案：A,