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1、截长补短法例1.已知，如图1-1，在四边形 ABCD中，BC > AB, AD = DC, BD平分/ABC.求证：/ BAD + ZBCD=180 °分析：因为平角等于 180。，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现证明：过点 D作DE垂直BA的延长线于点 E,作DF_LBC于点F,如图1-2BD 平分/ABC，/DE = DF,在 RtADE 与 RtCDF 中，；DE = DF.AD =CDRt ADE 织tMDF(HL),.AE=ZDCF.又ZBAD + ZDAE=180 &#
2、176;,.BAD+ ZDCF=180即 ZBAD + ZBCD=180例2.已知，如图3-1，/仁Z2, P为BN上一点，且 PD1BC于点D, AB+BC=2BD.求证：./ BAP+ /BCP=180 °分析：与例1相类似，证两个角的和是180。，可把它们移到一起，让它们是邻补角,即证明/BCP = ZEAP，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造.证明：过点P作PE垂直BA的延长线于点 E,如图3-2*= z2，且 PD !BC,.PE=PD ,在RtABPE与Rt窗PD中，PE = PDQP = BPRt 窗PE 织t 窗PD(HL),BE = BD.AB+BC=2BD
3、,AB+BD+DC = BD+BE,AB+DC = BE图3-1E图3-2即 DC=BE-AB =AE.在 RtAPE 与 RtCPD 中,PE 二 PDPEA 二 PDCAE = DCRt/APEBtzCPD(SAS), /JDAE= /PCD又zBAP+ /PAE=180 °.启AP+ /BCP=180例3. 如图 2-1 , AD /BC,点 E 在线段 AB 上, /ADE = /CDE,/DCE = ZECB.求证：CD=AD + BC.分析：结论是CD=AD + BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”即在CD上截取CF=CB， 只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线
4、段相等的问题，从而达到简化问题的目的.证明：在CD上截取CF=BC，如图2-2在AFCE与ABCE中，CF 二 CB&FCE =NBCECE =CECE 也/BCE (SAS) ,.2= Z1.又.AD BC，/ADC+ /BCD =180 °,.DCE+/CDE=90 2+ Z3=90 °,/+ 74=90 °,.3= z4.在AFDE与AADE中，FDE ADEDE =DEN3 =N4DE =zADE (ASA),.DF = DA,CD = DF+CF,CD=AD + BC.例4.已知：如图 4-1，在 ABC 中，/ C= 2 / B, / 1 =
5、/ 2.求证：AB=AC + CD.图4-1分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC.证明：方法一（补短法）延长 AC 至U E，使 DC=CE，则/ CDE = Z CED，如图 4-2/ ACB = 2 Z E,Z ACB = 2 Z B,.Z B =Z E ,在ABD与AAED中, 1 二/2&B =NE.AD = ADBD也/AED (AAS) ，/AB=AE.又 AE=AC+CE=AC+DC，/AB=AC+DC.方法二(截长法)在AB上截取 AF =AC，如图4-3在AAFD与AACD中，AF =AC8 =N2、AD = AD图4-2EFD也/ACD (SAS) ,/DF=DC, Z AFD = Z ACD.又/ ACB = 2/ B,/ FDB = / B,.FD=FB.AB=AF + FB=AC+FD ,AB=AC+CD.精品资料Welcome ToDownload !欢迎您的下载，资料仅供参考！