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1、§4.2换元积分法I 授课题目§4.2换元积分法(第一类换元法)n 教学目的与要求：凑微分理解第一类换元法的基本思想，它实际上是复合函数求导法则的逆过程，其关键是d (x) (x)dx掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第一类换元积分法求有关不定积分 川教学重点与难点：重点：第一换元法的思想，难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积分IV 讲授内容：、第一类换元积分法设f (u)具有原函数F(u),f (u)du F(u) C .若u是中间变量，u(x),(x)可微，则根据10 / 101复合函数求导法则，有dF( (x)dxdFdudu dxf(u)乎dxf (x)(
2、X)。所以根据不定积分的定义可得:f (x) (x)dx F (x) cJ=x)Fu C f(u)du 以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍，就有f (x) (x)dxu(x) f (u)du F u C F (x) C .以上就是第一换元积分法。从以上可以看出,虽然 f (x) (x)dx是一个整体记号，但是被积表达式中的dx可当作变量x的微分来对待从而上式中的(x)dx可以看成是 (x)的微分，通过换元u (x)，应用到被积表达式中就得到 (x)dx du .定理1设f (u)具有原函数F(u), u(x)可导，du(x)dx，则f (x) (x)dxf (u)du F(u) CF (x
3、) C(1)如何应用公式(1)，在求不定积分积分g(x)dx 时如果被积函数g(x)可以化为一个复合函数与它内函数的导函数的积的形式f (x) (x)的形式 那么g(x)dxf (x) (x)dx (x) u f (u)duF(u) Cu (x)F (x) C.所以第一换元积分法体现了凑”的思想.把被积函数凑出一个复合函数与其内函数的积f (X)(X)来.例 1 求 3e3xdx解3e3xdxe3x3dx= e3x( 3x) dx，可设中间变量 u 3x，du d(3x)3dx 3dx du，所以有e3xdxe3x3dxeudu eu C e3x C .首先观察被积函数的复合函数是什么样的，然
4、后看是否有它的内函数的导数，若没有就去凑。cos2xdx11cos2xdx cos2x 2dx=-222x，显然 du 2dx，11cos2x 2dx -22cos2 x (2 x) dx则 cos2xdx11cosudu sinu C sin2x C.22在比较熟练后，我们可以将设中间变量(x)的过程省略，从而使运算更加简洁。5例 3(3x 2) dx5解如将(3x2)展开是很费力的，不如把3x 2作为中间变量,d(3x 2) 3dx，1 zodx= (3x3-dx3 2x1 1 dx= 3 2x 2 3 2x2例 52xex dx5(3x 2)2)53dx= (3x352) d(3x2)2
5、)6 C .12dx=-21H(32x)1In2|3 2x|2xex dxex (x2) dxex dx2ex2Cx2 dxx，1x2dx-(2x) ,1 x2 dx2.1 x2(1 x2)dx-.1 x2d(12x2)22 / 103u 1x21(1 x2)1 C.二、掌握几种典型的凑微分”的方法1dx d(ax b)；axn 1dx d(xn b)nexdx d(ex)；1dx d(ln x)； xx 1 xa dx d(a )；ln acosxdx d (sinx)；sin xdx d (cosx)2sec xdxd (tan x)2csc xdx d (cot x)；secxtanxd
6、x d (secx)；dxC2d (arcsin x)笙 d(arctanx)。1 x2三、利用第一换元积分法法计算有关函数的不定积分计算有关函数的不定积分时，需要先把被积函数变形转化，再利用第一换元积分法计算求 sin2 xdx2 1 1sin xdx (1 cos2x)dx2 2x 1 .sin 2x 24(cos2x)2dxdxdx_.a2 x2(a 0)dx. a2x21dx利用d(xn)nxn1dx，有如下例题1cos 2 xdx2（此题利用三角函数中的降幕扩角公式）1x-d (_)1 (x)2axarcsi n C .a.1 sin dx例9求一x1解d(-)x.1 sin xdx
7、 xdxx1(sin)(x12)dxx1 1(sin )( ) dxx x1 1sin d(-)x x1cos Cx10 / 109例 10 求 ex cosexdx解 ex cosexdx= cosexd(ex) sinex C.利用 d(ex) exdx , d(ax)ax ln adxdx11求xe习题4-2:2(30)dx1213dxx 2(e )dxdexx 2(e )-arctanex C. 1dx6x求4x 9dxdx6xdxd(ex 1)x In(ex 1) C .6x厂xdx9x眉x4x3 x(2)x2 dx(|)2x21(3)xd(l门arcta n(3)xC.In3 In
8、 22此题利用d(ax)ax 1 n adxF面几个例题利用d(1n x)dxxdx例14求 xIn解理xIn x丄IdxIn x xIn xd(ln x) In In x C .又如习题4-2:2(16)dxx In x In In x4 / 10dx111解 x In x In In xdx1 1In In xIn xxd I n xIn In x In x1d In In xIn |InInx|C .In In x14例 15 求(21 n x 5) dxx112解(2ln x 5)4dx(2ln x 5)4 dxx2x1 415(2ln x 5) d(2ln x 5) (2ln x 5
9、) C .2 10第一次课可以讲到这里.被积函数是分母是二次函数，分子是常数或一次函数的有理分式函数的不定积分的求法 (例16例22六个例题)dx例16求 -(a 0)分子是常数，分母是二次二项式，没有一次项a x6 / 10dx_2 ax21,11*X1丄xdxd() -arcta nC.()2a 1(为2a aaa77 / 101117dx9x212x被积函数分母是一个完全平方式dx29x 12x 4 33(3x 2) C .13dx(3x 2)被积函数分母是一个完全平方式，被积函数化为12 dx= 1(ax b) a1d(ax b)(ax b)例18dx4x2 4x 17dx4x2 4x
10、 17分子是常数，分母是二次三项式，不是完全平方式dx116 (2x 1)21612x 11xd( )- arc ta n(1 (2x 1)2482(4被积函数分母是二次三项式且不可以分解因式，不是完全平方式时可以把分母配方化为2 1 (ax b)c的形式，然后利用 2dx arcta nx C1 x练习：求 x1 一 dx (第一换兀积分法分)2x 52解 x 2x 5(x 1)2 4，dx2(x2 2x 5)(x 1)24dx=4例1911 (j2+ dx求-x x1 1二一 arcta n21 2 xx 12_ dx2 x12分子是常数,分母是二次三项式且可以分解因式(x 3)(x 4)
11、7x4x3d(x 4)x 12丄7丄(丄7x41 d(x x 31)dxx 313)-ln7|x1 . 1 dx 一 x 4714 | In | x7-dxx 31x 43| C In | C.7x 3被积函数分母是二次三项式且可以分解因式，被积函数可以用裂项法转化为两个简单分式的差c(X a)(x b)c 1a b (x a)1 (x b)x例20求2dx分子是一次多项式，分母是二次多项式1 x解 d (x21) 2xdx亠dx 11 x22半dx1 x2±d(x21)In(x2 1) C.2例21求x解:d(x22x2xxx2 2x10)(2x 2)dx，dx102x 22x22
12、xdx10x-2x122x 102xx2x 222xdx102x 1012-dxx2 2x 10d(x2 2x 10)x2 2x101l n(x2 2x 10)dxx2 2x 10iln(x22x10)(x 1)2 9dx被积函数分子是一次多项式， 下面几个例题利用三角函数的微分公式:, 1 2-dx ln (x2 2x 10)21 21x 1arcta n 33分母是二次多项式时，首先把分子凑成分母的导数d(sin x) cosxdx ； d(cosx) sin xdx ； d(tan x)2sec xdx ； d (cotx)csc2 xdx例22求 tan xdx(化切为弦)tan xd
13、x= sinxdx= cosxsinx ,dxcosx1d(cosx) cosxIncos例23求 tan3 xdxtan3 xdxtan x(sec2 x21)dx tan xsec xdxsin x dx cosxtan xd(tan x)1d (cosx)cosx1 2tan x ln cosx2例 24 求 cscxdx10 / 10171cscxdx= dx=sin xdx2sin - cos-2 212 x cos 一2dx .x sin2 2xcos-2sec2x2xdtan2Ldtanx2xIn |tan-|C.因为xtan2.x sin2x cos_22 x2sin _2x
14、x2sin cos_2 22sin2r2sin xcosxcscx cotx.sin x|ta n-|2 此题用三角万能公式代换也可以所以cscxdx InIn | cscxcot x | C .cscxdx=dxt tan ?sin xUdt1x-dtIn |t | C In | tan |t2C.1dx sin(x T)sec(x -2)d(x 2)例 25 求 secxdx加1解 secxdx dxcosxIn |csc(x -2) cot(x T) |C In |secxtanx| C .secxdx In |secx tanx|例26求cos3x cos2xdx （利用三角函数积化和
15、差公式）和差化积公式sinsin2 si ncos22sinsin2 cossin22 ；coscos2 coscos-22coscos2 sinsin22解 根据三角函数的积化和差公式：cos3x积化和差sin1)si n()cossi n(2cossinsi n(2)si n()coscos1cos(2)cos()sinsin1cos(2)cos()1cos2x (cos5xcosx)2cos3x cos2xdx cos5x cosxdx21 111 cos5xd5x cosxdx sin 5x sin x C .10 2 10 2由以上例题可以看出，第一换元积分法是一种非常灵活的计算方法
16、，始终贯穿着凑微分”思想,因此学生应熟悉这些基本例题。V 归纳总结1第一换元法是把被积函数g(x)凑成f (x) (x)的形式然后应用公式f (x) (x)dxuf (u)du F u C F (x) C ;2.要熟练掌握几种典型的凑微分”的方法。dx 丄d(ax b) ; xn a1dxnd(xn b) ; exdx d(ex);1dx d(lnxx)；axdx7-d(ax);ln acosxdx d (sin x)；sin xdx d (cos x) ； sec2 xdxd (tan x)；csc2 xdxd(cot x)；secxtanxdx d (secx)； 訥dx 2 d (arc
17、sin x) xdx1 x2d (arctan x).3熟练掌握几种典型用第一换元积分法计算的不定积分1 1 122 dx; 二 2 dx;2dx ;a xx aax bx cex2dx;ax bx cdxx In x In In xW 课堂练习：第一次课P207 1，习题 4-2:2(2)(5)(6)(8)(10)(12)(16)(18)(19) 第二次课 2(11)(35)(43)(12)(29).vn课外作业：第一次课P207习题4-2：2(1)(4)(6)(8) (9) (13) (16)(17)(19)(21) (30) (33).第二次课 2(11) (12) (15) (22)(24) (25) (26)(32) (34)( 35) (43)