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1、第三节 正态总体的抽样分布 分布图示 抽样分布 单正态总体的抽样分布例 1例2例 3 双正态总体的抽样分布 例 4 例 5 内容小结 课堂练习 习题 12-3内容要点一、抽样分布有时, 总体分布的类型虽然已知 , 但其中含有未知参数 ,此时需对总体的未知参数或 对总体的重要数字特征 （如数学期望、分差等 进行统计推断 , 此类问题称为 参数统 计推断.在参数统计推断问题中 , 常需利用总体的样本构造出合适的统计量 , 并使其 服从或渐近地服从已知的总体分布 . 统计学中泛称统计量分布为 抽样分布 .二、单正态总体的抽样分布设总体 X的均值 ,方差为 , 是取自 X的一个样本 , 与 分别为该样
2、 本的样本均值与样本方差 , 则有定理 1设总体是取自 X的一个样本 , 与 分别为该样本的样本均值与样本方差 , 则有定理 2 设总体 是取自 X 的一个样本 , 与 分别为该样本 的样本均值与样本方差 , 则有(1 =(2 与 相互独立 .定理 3设总体是取自 X的一个样本, 与 分别为该样本的样本均值与样本方差 , 则有(1(2三、双正态总体的抽样分布定理 4 设与 是两个相互独立的正态总体 , 又设是取自总体 X 的样本, 与 分别为该样本的样本均值与样本方差 . 是取 自总体 Y的样本, 与 分别为此样本的样本均值与样本方差 . 再记 是 与 的加权平均 , 即例题选讲单正态总体的抽
3、样分布例 1 (E01 设为 X 的一个样本 ,求 : (1 样本均值 的数学期望与方差 ; (2解 由于 样本容量所以于是例 2 假设某物体的实际重量为 , 但它是未知的 . 现在用一架天平去称它 , 共称了 n 次,得到. 假设每次称量过程彼此独立且没有系统误差 , 则可以认为这些测量值都服从正态分布 , 方差 反映了天平及测量过程的总精度 , 通常我们用样本均值 去估计 , 根据定理 1,再从正态分布的 性质知这就是说 , 我们的估计值 与真值 的偏差不超过 的概率为 99.7%,并且随着 称量次数 n的增加, 这个偏差界限愈来愈小 . 例如若. 则于是我们以 99.7%的概率断言 ,
4、与物体真正重量 的偏差不超过 0.09.如果将称量 次数 n 增加到 100, 则这时 ,我们以同样的概率断言 , 与物体真正重量 的偏差不超过 0.03.例 3 (E02 在设计导弹发射装置时 , 重要事情之一是研究弹着点偏离目标中心的距离 的方差 .对于一类导弹发射装置 , 弹着点偏离目标中心的距离服从正态分布,这里, 现在进行了 25次发射试验 , 用 记这 25次试验中弹着点偏离目标中心的距离的样本方差 . 试求 超过 50 的概率.解 根据定理 2, 有于是(查表 于是我们可以以超过 的概率断言 , 超过 50 米 . 双正态总体的抽样分布例 4 (E03 设两个总体 X与 Y都服从正态分布，今从总体 X与 Y中分别抽得容量 的两个相互独立的样本 , 求于是解 由题设及定理 4, 知例 5 (E04 设总体 X 和 Y相互独立且都服从正态分布分别来自总体 X和 Y的样本,和 分别是这两个样均值和方差. 求解 因由定理 4, 即 因 分布表中没有 但由 分布的性质 , 知于是查表有 即 故课堂练习1. 设为正态总体的一个样本, 为样本均值 , 求:2. 设为总体的一个样本 , 和 为样本均值和样本方差 .又设新增加一个试验量 与 也相互独立 , 求统计量的分布.