101分班考试班第二讲几何教师版.doc

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1、真题模考1. 图中的大小正方形的边长均为整数积=（厘米），它们的面积之和等于 52 平方厘米，则阴影部分的面分析】 观察图形组合特征，阴影部分为直角三角形，若知两直角边长，则问题可解。连接 BE ，梯形ABEG的面积 = 6 6 4 6 2 48 平方厘米，AEG面积= 6 6 4 2 30平方厘米， 所以，ABE面积= 48 30 18平方厘米。 因为， SABE所以， 5BH =18 ， BH5 厘米，所以，阴影部分11S ABH S BEH 6 BH 4 BH 5BH ，22ABH 的面积 = 6 18 1 54 平方厘米。5252.（2003 年一零一培训学校圆明杯 ”数学邀请赛附加题

2、第1 题 ）有一个三角形ABC 的面积为 1，如11图，且 ADAB， BEBC ， CF2311CA ，求三角形 DEF 的面积 .4A分析】 先分别求出 ADF 、 BDE 、CEF的面积， 再用 ABC面积减去这三个三角形面积即为DEF的面积。连接 CD 。因为， AD1AB，CF1CA，所以， S ACD1SS ABC1SADF3SS ACD31324224428同理可得， S BDE 111，S1CEF211 ，所以，S DEF13117。BDE 326CEF 436866 24ADBC3. 一块正方形玻璃，一边截去 15 厘米，另一个非平行边截去 10 厘米，剩下的长方形玻璃比原来

3、 的面积减少 1750 平方厘米，那么原来的正方形的边长是 。1510分析】 法 一：将截去的两个部分拼成一个长等于正方形边长，宽等于15+10=25 厘米的长方形（需补上一个 15×10 的小长方块） ，其面积等于 1750+15×10=1900 平方厘米。所以，其长 =1900÷25=76 厘米，则原来 正方形边长是 76 厘米。法二：设原正方形边长是 x厘米，由题意得： x2-（ x -15）×（ x-10）=1750， x2 - x2 +25 x -150=1750， 解得 x =76。所以，原正方形边长是 76 厘米。4. 如图，设扇形 BAC

4、的面积是半圆 ADB面积的 4倍，则角 CAB的3度数是 。【分析】 设半圆 ADB的半径为 1，则半圆面积为×12 ÷2= ，扇形 BAC2的面积 = ×4=2 。因为扇形 BAC的面积= r2× n ，所以，2 3 3 360×22× n = 2 ，所以， n 60，即角 CAB的度数是 60。360 35. ABCD是边长为 a的正方形，分别以 AB、BC、CD、 DA为直径画半圆，则这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积是分析】 运 用充斥原理。 观察可发现： 计算四个半圆的面积和， 阴影部分 重叠计算一次， 所以，四个半圆的面积

5、和减去正方形面积即为阴 影部分面积。所以，阴影部分面积 = ×（a）2÷2×4-a2= a2×（ -1） =1.57 a2 。学而思 教育六年级101分班考试班第二讲教师版 Page 2 of 86. 如图，将边长为 1 的正三角形 放在一条直线上，让三角形绕顶点 C 顺时针转动到达 ，再继 续这样转动到达 ，则 A 点走过的路程的长 。【分析】 图中圆弧即为 A点走过的路程， 分为两段， 均为圆心角为 120O、半径为 1 的扇形的圆弧。 所以， 两个扇形圆弧长之和 =2× ×1×120 ×2= 4 ，即 A 点

6、走过的路程的长是 4 。360 3 37. 如图，以 B、 C 为圆心的两个半圆的直径都是 2 厘米，阴影部分的周长（精确到分析】 阴影部分周长等于 BC长加上两段圆弧的长。 因两段圆弧的长均等于圆心角为 600 、半径为 1的 扇形的圆弧，所以，阴影部分周长 =1+ ×2×60 ×2=1+ 2 3.09 厘米。360 38. （2003 年一零一中学入学摸底考试第 18 题）有一块宽为 18 厘米的长方形铁皮，在四角各剪去边 长为 5 厘米的正方形后，将它焊成一个无盖的盒子已知这个盒子的容积是 480 立方厘米 （ 铁皮 厚度忽略不计 ），原来这块铁皮的面积是多

7、少？【分析】 由题意可知，焊成的无盖盒子的宽是 18-5-5=8 厘米，高是 5厘米，容积是 480 立方厘米，所以 可求出无盖盒子的长是 480÷（ 8×5）=12 厘米，原来这块铁皮的长是 12+5+5=22 厘米，所以， 原来这块铁皮的面积是 22×18=396 平方厘米。5 刀，沿着宽边等距离切 4 刀，沿着高边24块，则 n 的取值是 9. 一个长方体，六个面均涂有红色，沿着长边等距离切 等距离切 n 次后，要使各面上均没有红色的小方块为分析】 沿着长边等距离切 5刀，可切为 5+1=6 块；沿着宽边等距离切 4刀，可切为 4+1=5 块；沿着高 边等距

8、离切 n刀，可切为 n+1 块。由题意可知，长方体每一个面的外层是涂有 1 面（或 2面、 或 3 面）的小方块，所以，各面均没有红色的小方块共（6-2）×（5-2）×（ n+1-2）=12（n-1）个，因各面均没有红色的小方块为24 块，所以， 12（ n-1） =24，解得 n 3。10.三个完全一样的长方体，棱长总和是 288 厘米，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三 个连续的自然数，给这三个长方体涂色，一个涂一面，一个涂两面，一个涂三面。涂色后把三 个长方体都切成棱长为 1 厘米的小正方体，只有一个面涂色的小正方体最少有多少个？分析】 每 个长方体的棱长和是

9、288÷3=96 厘米，所以，每个长方体长、宽、高的和是 因为， 每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连续的自然数 （奇数项， 数），所以，每个长方体的长、宽、高分别是9厘米、 8厘米、 7厘米。要求切割后只有一个面涂色的小正方体最少有多少个，则需每一个长方体按题意涂色时， 切割后只有一个面涂色的小正方体最少。所以，涂一面的长方体应涂一个8×7个；涂两面的长方体应涂两个 8×7 面，有 8×7×2=112 个；涂三面的长方体应涂两个 个 9×7 面，有 （8-1） ×7×2+（9-2） ×7=147

10、 个，所以，切割后只有一个面涂色的小正方体最少 有 56+112+147=315 个。96÷4=24 厘米。 则中间数 = 平均应让面，有 8×7=56 8×7 面、一例 1 】考点拓展一个长方体的长是 12 厘米，宽 10 厘米，高也是整厘米数，在它的表面涂满颜色后，截成棱长 是 1 厘米的小正方体，其中一面有色的小正方体有 448 个。求原来长方体的体积与表面积。先 求出长方体的高，再求其体积和表面积。设长方体的高为 的小正方体有 （ 12-2）×（10-2）×2+（12-2）×（h-2）×2+ 为，一面有色的小正方体有

11、 448 个，所以， 88+36h=448 ，解得 h=10。 长方体体积 =12 ×10 ×10=1200 立方厘米。长方体表面积 =（12×10+12×10+10×10） ×2=680 平方厘米。 小结：立体图形涂色问题中，表面涂色的长方体或正方体切割成小正方体后，只有三面涂色的小正方体 是顶点上的八个，共 8 个；只有两面涂色的小正方体是十二条棱上（不含顶点上的）的小正方 体；只有一面涂色的小正方体是每个面上（不含四周，即棱上或顶点上的）的小正方体； 色面的小正方体是每个面上去掉一层后的小正方体，即长、宽、 乘数。分析】h 厘米

12、，则按题意截成的一面有色h -2） ×（ 10-2）×2=88+36h 个，因没涂2 后的连例 2】 如 图 ， 四 边 形 ABCD 中 ， DE:EF :FC 3:2:1 ，BG: GH : AH 3:2:1 , AD:BC 1:2 ， 已知四 边形ABCD 的 面积等 于 4，则四 边 形 EFHG 的 面 积分析】 运用三角形面积与底和高的关系解题。 连接 AC、AE 、GC 、 GE ， 因 为 ， DE:EF:FC 3: 2:1 ，S BCG S ABC BCG 2 ABCBG: GH : AH 3: 2:1 ，所以，在 ABC中，高上的个数各自减去，在ACD

13、中，S AED112 S ACD ，在 AEG1S EFG。S EFG 。2 EFG1中， SAEH 2SHEG，在 CEG中， SCFG又因为，SAGCES AEH S HEG1S CFG S EFG S HEG21S HEG S EFG S EFG23 S HEGS HEG2 HEGS EFG3 SEFGH ，SEFGH ，2所以， SEFGH例3】 如图，在正方形 ABCD中， E、F分别在 BC与CD上，且 CE 2BE ， CF 2DF ，连接 BF，DF ，相交于点 G ，过 G 作 MN ，PQ 得到两个正方形 MGQA 和正方形 PCNG ，设正方形 MGQA 的面积为 S1，

14、正方形 PCNG 的面积为 S2 ，则 S1:S2 。分析】 连接BD 、 EF 。设正方形边长为 3，则 CE CF 2，BE DF 1，所以， EF2=2 例4】 入图，在 ABC中， D为 BC中点， E为 AB上一点，且 BE 1 AB .已知四边形 BDME的面积+22=8， 2 2 2 2 2 2BD2 = 32 + 3 =18。因为， EF 为 35。那么三角形 ABC 的面积为 。 BD2=8×18=144=122，所以， EF BD=12。 由梯形蝴蝶定理，得 SDEF SBEGSDFG SBDG22EF2 BD2EF BD EF BD=81812 12=4966，

15、所以， S BEG =6SBDFE =SBDFE 。4966 25因为 SBCD =3×3÷2=9，4S CEF =2 ×2 ÷2= ，22= 6 ×5 = 3 。因为正方形 PCNG 的边长等于25 2 5所 以 ， SBDFE = S BCD -S CEF5，2所以， SBEGBEG 底边 BE 对应的高，所以，CN36= ×2 ÷1= ，5569NP=3=。55因为 S1=9×9=81，S2=6×6=36 ，所以， S1 S2= 8136=94。552555252525111分析】 连接BM ，因为

16、 BD DC，BE AB ，所以， SBDM= SBCM，SBEM SABM 。323又据燕尾定理知， SABM:SACM BD:DC 1:1 2:2， SBCM :SACM BF:EA 1: 2 ，所以，2:2:1 ，所以，22S ABM:S ACM :S BCMS ABMS ABCS ABC ，2215所以，S BDM111S ABC S ABC ，S BEM1 2SABC 2 SABC SABC 。25 103515因为，SBDME=35，且 SBDMES BDMS BEM，所以，35= 1S ABC10S BCM2 S ABCS ABC15 ABCS ABC357S ABC 。530

17、S ABC ，解得150 。30例 5】 （ 如图 ）有孔（贯穿）正方体的表面积 （含孔内各面 ） 是 A 258B234C222D 210分析】 观 察有孔正方体特点，先求出有孔正方体外表面面积，再加上孔内表面面积总和，即可求出有孔正方体表面积。2有孔正方体外表面面积： 5×5×6-12 ×2×6=138。本题关键是计算孔内表面面积，观察一组相对面之间的孔，每个孔均分别与另两个方向的一个孔 “相交 ”，所以，其每个孔内表面面积是1×3- ×4+2+2=16，但是两个 “相交 ”的孔，不仅互相破坏了对方的内壁，两个孔位被重叠的部分也出

18、现了重叠，所以，有孔正方体孔内表面面积综合 是： 16×2×3-6 ×2=84。所以，有孔正方体表面积 =138+84=222 。例 6 】 把正方体的六个面分别划分成 9 个相等的正方形，然后用红、黄、蓝三种颜色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形染的颜色不同。问：用红色去染的小正方形的个数最多是几个？分析】 要 求出染红色的小正方形最多几个，则需让每个面上的染红小正方形尽可能多，且只需考虑。 按染色规则， 一个面最多可染红色小正方形 5 个（图 1），与其相对的面也有染红小正方形 5 个。 因为有公共边的正方形染的颜色不同，所以，与这两个面相邻的四个面中有两

19、个相对的面最多 可染红色小正方形 4 个（图 2），另两个相对的面最多可染红色小正方形2 个（图 3）。所以，染红色的小正方形最多是： （5+4+2 ） ×2=22（个）。学而思 教育六年级101分班考试班第二讲教师版 Page 6 of 8红红（图 1）注：可假设图 1 为前后面，图 2 为上下面，红红红红图 2）红红红红红图 3）3 为左右面。 （相对面红色涂法相同）1. 如图，一块长方形铁皮，利用图中的阴影部分，刚好能做成一个油桶（接头处忽略不计 ），那么这个油桶的容积是 ：（ =3 14）【分析】 据 题意，油桶两底面用铁皮即为图中两个黑圆大小，油桶身子（周围侧面）用铁皮即为

20、图中黑 色长方形大小。观察图可知：长方形铁皮的长等于油桶底面直径加上底面周长，油桶的高等于 长方形铁皮的宽，即等于底面直径的 2 倍。设油桶底面半径为 r 分米，则得22r +2 r =16.56 ，解得 r =2，所以，油桶的高等于 2×2×2=8分米，油桶底面面积等于×2 三角形 ABF 的面积为 24， AB 长 12， AC 长 10，试求梯形 ABCE 的面积 . =1256平方分米，所以，油桶容积等于12.56×8=100.48 立方分米（升） 。分析】 因为SABF 24， S ABE 12 10 2 60 ，所以， BF 24 2 12

21、4， SBEF 60 24 36，所 以， BEF 的高等于 36 2 4 18，即 DE 18，所以， S梯形ABEC 12 12 18 10 2 210。学而思 教育六年级101分班考试班第二讲教师版 Page 7 of 8342甲乙1122阴）影5<红红红有一块边长 20 米的正方形的空地，计划在正中修一个圆形画坛和一个十字形道路（花坛直径与（精确到十分析】 正 方形空地面积减去圆形花坛面积和四块正方形草坪面积就是道路所占面积。因为花坛直径与道路同宽，所以，花坛直径=20×1 =5米，正方形草坪的边长 =20×3 ÷2= 15米。4 4 2正方形空地面

22、积 =20×20=400平方米，圆形花坛面积 = ×（ 5）2 =19.625平方米， 每块正方形草坪 2面积= 15 ×15 =56.25平方米，所以，道路所占面积 =400-19.625-56.25 4=×155.375 平方米。22块矩形场地被一条路隔成甲、乙两块，甲乙的面积之比为3:8，尺寸如图，甲的面积是因为甲、乙面积之比 =3 8，所以，甲的面积 =220× 3 =60。 38S红色部分 = S阴影部分 。学而思 教育第二讲教师版Page 8 of 8六年级 101 分班考试班1 ，则道路所占面积约是多少？4分析】矩 形场地面积 =22×11=242，隔离带面积 =2×11=22，所以，甲、乙面积之和 =242-22=220 。道路同宽 ） ，其余地方都是草坪若使路宽是边长的分位， 3.14）小圆面积。因 为S红色部分 =S大圆 -S小圆×4+S阴影部分，S大圆 =S小圆×4 ， 所 以分析】因为，大圆直径 R等于小圆直径 r的 2倍，即 R 2r ，所以，大 圆面积 = R2=4 r2 ，小圆面积 = r2 ，所以，大圆面积 =4 个在图中，红色部分的面积部分的面积。（填“>”、生命的意义在于付出 ,在于给予 ,而不是在于接受 ,也不是在于争取。巴金