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1、乘法公式(基础)【学习目标】1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算. 了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.【要点梳理】要点一、平方差公式平方差公式：(a b)(a b)a2b2两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，a,b既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式抓住公式的几个变形形式利于理解公式. 但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方 . 常见的变式有
2、以下类型：( 1 )位置变化：如(a b)( b a) 利用加法交换律可以转化为公式的标准型2)系数变化：如(3x5y)(3x 5y)3)指数变化：如(m3 n2)(m3 n2 )4)符号变化：如( ab)(a b)5)增项变化：如(m np)(m n p)( 6)增因式变化：如(a b)(a b)(a2 b2)(a4 b4)要点二、完全平方公式222完全平方公式：a b a 2ab b(a b)2 a2 2ab b2两数和 ( 差 ) 的平方等于这两数的平方和加上(减去)这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和(或差)的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加(或减)这两数之积
3、的2 倍 . 以下是常见的变形：2222a b a b 2ab a b 2ab22a b a b 4ab要点三、添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确.要点四、补充公式(x p)(x q) x2 (p q)x pq ； (a b)(a2 mab b2) a3 b3；(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 ; (a b c)2 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc.【典型例题】类型一、平方差公式的应用、下列两个多项式相乘，
4、哪些可用平方差公式, 写出计算结果.哪些不能?能用平方差公式计算的,2a 3b 3b 2a ；(2)2a3b2a2a 3b 2a 3b ;(4)2a 3b 2a 3b ;2a 3b 2a 3b ；(6)2a 3b 2a 3b【思路点拨】 两个多项式因式中，如果一项相同，另一项互为相反数就可以用平方差公式【答案与解析】解：(2)、(3)、(4)、(5)可以用平方差公式计算，(1)、(6)不能用平方差公式计算.22cc(2) 2a 3b 2a 3b = 3b - 2a = 9b2 4a2.2222(3) 2a 3b 2a 3b = 2a - 3b = 4a2 9b2.2222(4) 2a 3b 2
5、a 3b = 2a 3b = 4a 9b .2_299(5) 2a 3b 2a 3b = 3b - 2a = 9b 4a .【总结升华】利用平方差公式进行乘法运算，一定要注意找准相同项和相反项(系数为相反数的同类项).举一反三：x 3x 3【变式】计算：(1) y y ；(2)(2 x)( 2 x);2 22 2(3) ( 3x 2y)(2y【答案】9 2 7y222解：(1)原式 x3 y224(2)原式(2)2 x24 x2.(3)原式 (3x 2y)(2y 3x) (3x 2y)(3x 2y) 9x2 4y2.02、计算：(1)59.9 X 60.1;(2)102 X 98.【答案与解析
6、】解：(1)59.9 X 60.1 =(60 0.1) X (60 + 0.1) = 602 0.12 = 3600-0.01 =3599.99一 一一 一 一 一 一 ，一 2 一 2(2)102X 98= (100+ 2)(100 2) = 1002 = 10000-4=9996.【总结升华】用构造平方差公式计算的方法是快速计算有些有理数乘法的好方法，构造时可利用两数的平均数， 通过两式(两数)的平均值，可以把原式写成两数和差之积的形式.这样可顺利地利用平方差公式来计算.举一反三：【变式】用简便方法计算：(1)899 X 901 + 1;(2)99 X 101X 10001；2(3)200
7、5 2006X2004;【答案】解：(1)原式=(900 1)(900 + 1)+ 1= 9002 12 1 =810000.(2)原式=(100 - 1)(100 + 1) X 10001= 1002 1 x 10001=(10000 -1) X (10000 + 1)= 100000000 1 = 99999999.(3) 原式=20052 (2005 + 1)(2005 - 1) = 20052 ( 20052 12)=1.类型二、完全平方公式的应用22x 3y222 3a b ； (2)3 2a ； (3) x 2y ； (4)【思路点拨】 此题都可以用完全平方公式计算，区别在于是选“
8、和”还是“差”的完全平方 公式.【答案与解析】.一22222解：(1) 3ab 3a 2 3a b b 9a 6ab b .(2) 3 2a 2 2a 3 2 2a 2 2 2a 3 32 4a2 12a 9.22222(3) x 2y x 2 x 2y 2y x 4xy 4y222222(4) 2x 3y 2x 3y 2x 2 2x 3y 3y4x2 12xy 9y2.【总结升华】(1)在运用完全平方公式时要注意运用以下规律：当所给的二项式符号相同时,结果中两平方项为正， 乘积项的符结果中三项的符号都为正，当所给的二项式符号相反时,一，一、一22号为负.(2)注意 a b a b 之间的转化
9、.4、计算：(1) 20022; (2) 19992 . (3) 999.92.【答案与解析】解： 200222000 2 2 20002 2 2000 2 22=4000000+ 8000+ 4=4008004.299(2) 199922000 120002220001 12=4000000 4000+ 1 = 3996001 .222_2(3) 999.91000 0.11000 2 1000 0.1 0.1= 1000000-200+0.01 = 999800.01 .【总结升华】构造完全平方公式计算的方法适合求接近整数的数的平方.C5、已知a b 7, ab = 12,求下列各式的值:
10、(1) a2 ab b2 ； (2) (a b)2.【答案与解析】222.222斛：(1) a ab b = a b - ab= a b -3ab = 7 3X12=13.222(2) . a b = a b -4ab = 7 4x12 = 1.22o o【总结升华】由乘方公式吊见的变形：a b - a b =4ab；a? b2 = a b一 .一 2 -2ab= a b + 2ab .解答本题关键是不求出 a, b的值，主要利用完全平方公式的整体变换求代数式的值.举一反三：【变式】已知(a b)2 7 , (a b)2 4 ,求a2 b2和ab的值.【答案】解：由(ab)27 ,得a22abb27 ；222由(ab)4 ,得a2abb4._.ono o 11十得 2(a b ) 11 , a b 一. 2一3一得 4ab 3, ab .4