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1、、数列求和的常用方法1、公式法：禾U用等差、等比数列的求和公式进行求和n项和，均可用错位相减法2、错位相减法：求一个等差数列与等比数列的乘积的通项的前例：已知数列an2n 1求前n项和Sn13、裂项相消法：将通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项形如an1n(n k)可裂项成an丄(丄-)，列出前n项求和消去一些项k n n k形如an可裂项成an丄( n k n)，列出前n项求和消去一些项k例：已知数列an(n 1)(n 1)(n2)，a11，求前n项和Sn4、分组求和法 ：把一类由等比、等差和常见的数列组成的数列，先分别求和，再合并。例：已知数列an 2n 2n 1，求前n项和Sn5、逆
2、序相加法 ：把数列正着写和倒着写依次对应相加（等差数列求和公式的推广）一、数列求通项公式的常见方法有：1、关系法2、累加法3、累乘法4、待定系数法5、逐差法6、对数变换法7、倒数变换法8、换元法9、数学归纳法累加法和累乘法最基本求通项公式的方法求通项公式的基本思路无非就是 ：把所求数列变形，构造成一个等差数列或等比数列，再通过累加法或累乘法求出通项公式。二、方法剖析1关系法：适用于 snf(n)型求解过程：anai s(n 1)Sn Sn i(n 2)例：已知数列an的前n项和为Sn n2 n 1，求数列an的通项公式2、累加法：适用于 an 1 anf (n)广义上的等差数列求解过程：若an
3、 1 an f (n)则a2印f(1)93 92 f(2) 累an an 1 f(n 1)n 1则 an a1f (k)k 1n 1所有等式两边分别相加得：an a1f(k)k 11,求an的通项公式例：已知数列 an满足递推式an On 1 2n 1(n 2)， a13、累乘法:适用于an1f (n)an广义上的等比数列求解过程：若 an if (n)an，则f (n)an则 a2f(1),a3f(2)anf(n 1)aia2an 1n 1n 1所有等式两边分别相乘得：f (k) 则an a1f (k)a1k 1k 1例：已知数列an满足递推式an 2nan2)，其中a1 3,求an的通项公
4、式4、待定系数法：适用于 an 1 panf (n) 形如an 1pan b( p, b为常数；p,b 0, p 1)型(还可用逐差法)求解过程：构造数列an 1 kp(an k)，展开得an 1pan pk k，因为系数相等，所以解方程pk k b得k，所以有：an 1p(an)，这样就构造出了p 1p 1p 1一个以a1bb为首项，公比为 p的等比数列 an。从而求得an的通项公式为p 1p 1/ b n 1 ban (ai)pp 1p 1例：已知数列an满足递推式an2an11(n2)，其中2,求a.的通项公式 形如an1panbn c（p,b,c为常数；p,b 0, p 1）型 形如a
5、n1panbn2 cn d （p,b, c, d为常数;p,b 0, p 1）型 形如an1panm qn d（m, p, q, d为常数；m, p,q 0; p, q 1）型5、逐差法：形如an 1pan b( p, b为常数，p,b 0, p 1),可以把n换成n 1有an pan 1 b，两式相减得an 1 an p(an an 1)，这样就构造出了一个以 a2 a1为首项，公比为p的等比 数列 an 1 an ，再运用累加法求出an 的通项公式例：已知数列 an 满足递推式 an2an 11(n2)，其中 a12,求 an 的通项公式6、对数变换法：适用于 an 1 panq(q 1)
6、 型求解过程：当 p 1时，an1qqan (q 1)，等式两边取对数有：In(an 1) In(an )，根据对数的运算法则有：In(an 1)qln(an )，这样就构造了一个以Ing)为首项，公比为q的等比数列 In(an) 。从而求得qn1an 的通项公式为 ana1q例： 已知数列 an 满足递推式 an 12an ， a1 2，求数列 an 的通项公式qq当p 1时，an 1 pan (q 1)，等式两边取对数有：In® 1) ln(pan )，根据对数的 运算法则有： ln(an 1) ln p qln(an ) ，再运用待定系数法求出通项。3例： 已知数列 an 满足
7、递推式 an 1 2an3 ， a1 2，求数列 an 的通项公式7、倒数变换法：适用于分式关系的递推公式，分子只有一项2a2，求数列an的通项公式例：已知数列an满足递推式an 1n ，印an 48、换元法：适用于含根式的递推公式例：已知数列an满足递推式an 11 an，ai2，求数列an的通项公式9、数学归纳法：通过首项和递推关系求出数列的前n项，猜出数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明例：已知数列an满足递推式an ian8(n21)， ai 8，求数列an的通项公(2n1) (2n 3)9综合练习:1、已知数列an满足递推式an 2an 11(n2)，其中a415(1 )求印，a2
8、，a3 ；(2)求数列an的通项公式;(3)求数列an的前n项和Sn ；变式：若 an 2an 1 n(n 2) ?若 an 2an 1 n2(n 2) ?若an2an i 2 3n2(n2) ?思考：若an2an 1 n3( n 2) ？2、设在数列an中，a1 2， an 12an2an2，求数列an的通项公式;3、数列an的前n项和为Sn,ai =1,a*12Sn(n(1) 求数列an的通项公式；3项和，a1， a222(2) 求数列nan的前n项和Tn ；4 、 已知 Sn是数列 an的前 nSn i 3Sn 2Sn i 10(n2,n N )。(1)求证an 1时等比数列；(2)求数列an的前n项和Sn ；n项和Sna5、已知ai 1, an口 (n 2)，求a.的通项公式及前nan i 16、已知数列 an 满足 a1 3 , anan 1 2an 1 1 n 2 (1 )求 a2 , a3, a4;(2)求数列an的通项公式;