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1、数列求和考点与题型归纳、基础知识1.公式法等差数列an的前n项和n ai + an2_=nai +n n 1 d2推导方法：倒序相加法.nai, q = 1,(2)等比数列an的前n项和S =ai 1 qn1 q推导方法：乘公比，错位相减法.一些常见的数列的前 n项和:n n+ 12 2+ 4+ 6+ 2n= n(n + 1); 1 + 3+ 5+ 2n 1 = n2.2.几种数列求和的常用方法(1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,而求得
2、前n项和.(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积 构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解.倒序相加法：如果一个数列an与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个 常数，那么求这个数列的前 n项和即可用倒序相加法求解.考点一分组转化法求和n2 + n*典例已知数列an的前n项和Sn= 厂,n N .(1)求数列an的通项公式；设bn= 2an+ ( 1)nan，求数列bn的前2n项和.解(1)当 n = 1 时，a1= S1= 1;an= Sn Sn 1 =2n2+ n2n12+ n12=n.又ai= 1也满足an= n,故数列an的通项
3、公式为an= n.由(1)知 an= n,故 bn= 2n+ ( 1)nn.记数列bn的前2n项和为T2n,则 T2n= (21 + 22+ + 22n)+ ( 1 + 2 3 + 4+ 2n).记 A= 21 + 22+ + 22n, B= 1 + 2 3 + 4+ 2n,2 1 22n则 A= 22n +1 2,1 2B= ( 1 + 2) + ( 3 + 4) + + (2n 1) + 2n = n.故数列bn的前 2n 项和 T2n= A + B= 22n+ 1+ n 2.解题技法1. 分组转化求和的通法数列求和应从通项入手， 若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数 列
4、或等比数列或可求数列的前 n项和的数列求和.2. 分组转化法求和的常见类型题组训练11. 已知数列an的通项公式是an = 2n ? n，则其前20项和为（）1A . 379 + 尹C. 419 + 召1D. 439 + 220解析：选 C 令数列an的前 n 项和为 Sn,贝U S20 = ai+ a2 + a3 + + a2o= 2(1 + 2 + 3+111 1 1 1+ 20) 2+ 22+ 衣+ 220 = 420 1 220 = 419 + 尹2 . （2019资阳诊断）已知数列an中，a1= a2= 1, an+2 =an+ 2,:是奇数，则数列an2an, n是偶数，的前20项
5、和为（B. 1 122C. 1 123D. 1 124解析：选C由题意可知，数列a2n是首项为1,公比为2的等比数列，数列a2n - 1是11首项为1，公差为2的等差数列，故数列an的前20项和为"1 2 + 10X 1+ 罟9X 21 2 2=1 123.选 C.考点二裂项相消法求和1考法（一）形如an=乔帀型典例（2019南宁摸底联考）已知等差数列an满足a3= 7, a5+ a7= 26.（1）求等差数列an的通项公式;1anan+ 1'设Cn= , n N*，求数列Cn的前n项和Tn.解（1）设等差数列的公差为d,a1 + 2d= 7,a1 = 3,则由题意可得解得2
6、a1+ 10d = 26,d = 2.所以 an= 3 + 2(n 1) = 2n+ 1.因为Cn= 1,anan+12n+ 1 2n+ 31所以 6= 2 2n+ 1 2n+ 3 '丄=11 一丄=亠2n + 32 3 2n+ 36n+ 9,1 1 1 1 1 1 所以Tn =芦-5+ 5-7+_+ 齐考法(二)形如an=型寸 n+ k+ V n典例已知函数f(x)= xa的图象过点(4,2)，令 an= f n+ 1 + fn，n N*.记数列an的前n项和为Sn,贝y S2 019=()018- 1019- 1D. 2 020+ 1解析由f(4) = 2可得4 a= 2,解得1则
7、 f(x) = x2n + 1- ,n,1'an= : fn+ 1 + fn n + 1+. nS2 019 = a1 + a2 + a3 + + a2 019 = ( , 2 叮1) + ( 3 一 一 2) + ( ,4 '3) + + (2 019 2 018) + ( .2 020- 2 019) = 2 020 1.答案C解题技法1. 用裂项法求和的裂项原则及消项规律2. 常见的拆项公式1= 1一 _J(1)n n+ 1 n n+ 1 ；1 _1 2n-1 2n+ 12 2n- 1 2n + 1 '(3) = n+ 1 - . n；.n+ n+12n = 1
8、1(4) 2n- 1 2昉1 = 2n- 1 2n+1 - 1题组训练1.在等差数列an中，a3 + a5 + a7= 6,an= 8,则数列an + 3an+ 4的前"项和为()nB.nC.n+ 1n+ 1A. n+ 22nD.nn解析：选C 因为a3+ a5+ a7= 6,所以 3a5 = 6, a5= 2,又 aii = 8,aii a5所以等差数列an的公差d = 1,11- 5所以 an= a5 + (n 5)d = n 3,1 1 1 1所以=n,an + 3 an+4 n n+ 1 n n +11111111 n故选因此数列 a a ,的前n项和为1 2 + 2 3+
9、n= 1=an+3 an+ 4223n n +1 n+1 n +1C.2. 各项均为正数的等比数列 an中，a1= 8,且2a1, a3,3a2成等差数列.(1)求数列an的通项公式；1若数列bn满足bn=nog;an,求"的前n项和$.解：(1)设等比数列an的公比为q(q>0).'2a1, a3,3a2成等差数列，'2a3= 2a1 + 3a2,即卩 2a1q2= 2a1+ 3a1q,1 '2q2 3q 2 = 0，解得 q = 2 或 q = ?(舍去)，an= 8 x 2n1 = 2n+2.由(1)可得bn =1nlog22n+ 21n n+ 2
10、丄丄丄2 n n + 2 ,.'Sn= b1 + b2 + b3 + + bn11111 113+24+35+n11+2n + 11n+ 231丄+丄4 2 n+ 1 n+23 2n+ 34 2 n + 1 n+ 2a1a2= a3.考点三错位相减法典例(2017山东高考)已知an是各项均为正数的等比数列，且ai+ a2= 6,求数列an的通项公式；(2) bn为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn已知Qn+ 1= bnbn+ 1,求数列项和Tn.解(1)设 an的公比为q,由题意知：a1(1 + q)= 6, a2q= ag2.又 an>0，解得 a1 = 2, q = 2,所
11、以an= 2n.(2)由题意知，2n+ 1 b1+ b2n+1S2n+ 1 =2= (2n + 1)bn + 1,又 S2n+ 1 = bnbn + 1 , bn + 1工 0 ,所以 bn= 2n+ 1.bn2n + 1令cn=乳，则丁,因此Tn= C1 + C2+ Cn =3 _5 Z 2n 12+ 22+ 不+ + 2n-1 +2n+ 12n又知=多+ 23+24+2n 1 2n+ 1IF+ 2n+ 1，两式相减得1Tn= 3 + 1+ 2+ + 2叱J = 3+ 1 In 1 沁=5 业2n+12 2 2n+1 22n+1，所以Tn= 5 2n+ 52n变透练清1. 变结论 若本例中a
12、n, bn不变，求数列anbn的前n项和Tn.解：由本例解析知an= 2n, bn= 2n+ 1,故 Tn= 3 X 21 + 5 X 22 + 7 X 23+ + (2n + 1)X 2n,2Tn= 3 X 22+ 5 X 23 + 7 X 24 + (2n + 1) X 2n + 1,上述两式相减，得，一 Tn= 3X 2 + 2X 22 + 2X 23+ 2X 2n (2n + 1)2n+18 12n1“=6+ (2n+ 1)2n+ 11 2=(1 2n )2n+1 2得 Tn= (2n 1)X 2n+ 1+ 2.2. 已知an为等差数列，前n项和为Sn(n N*), bn是首项为2的等
13、比数列，且公比大于 0，b2 + b3 = 12, b3= a4 2a1, Sn= 11 b4.(1) 求an和bn的通项公式；(2) 求数列a2nbn的前n项和(n N*).解：(1)设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q.由已知 b2+ b3= 12,得 b1(q+ q2) = 12,而 b1 = 2，所以 q+ q 6 = 0.因为q>0，解得q= 2，所以bn= 2n.由 b3= a4 2a1,可得 3d a1 = 8.由 Sn= 11b4，可得 a1 + 5d = 16.联立，解得a1 = 1, d= 3,由此可得an= 3n 2.所以an的通项公式为an= 3n 2
14、, bn的通项公式为bn= 2n.(2)设数列a2nbn的前n项和为Tn,由a2n = 6n2,有Tn= 4 X 2 + 10 X 22 + 16 X 23 + + (6n 2) X 2n,2Tn= 4X22+ 10X 23+ 16X 24 + + (6n 8)X 2n+ (6n 2)X 2n+1,上述两式相减，得Tn= 4X 2+ 6 X 22+ 6X 23+ + 6 X 2n (6n 2) X 2n+112X 1 2n=4 (6n 2) X 2n+11 2=-(3n 4)2n +2 16,得 Tn= (3n 4)2n + 2+ 16.所以数列a2nbn的前n项和为(3n 4)2n+ 2+
15、16.易误提醒(1)两式相减时最后一项因为没有对应项而忘记变号.对相减后的和式的结构认识模糊，错把中间的n-1项和当作n项和.(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q = 1和ql两种情况求解.课时跟踪检测1.数列an的通项公式为an=，若该数列的前k项之和等于9,则k=()pn + 斗 n 1A. 80B. 81C. 79D. 82解析：选B an=n + n 1=,n n 1，故 Sn= n，令 Sk= k= 9，解得 k= 81,故选B.2.若数列an的通项公式是 an= ( 1)n(3n 2)，贝U a1+ a2+-+ 航=()A. 15B. 12C. 12D.
16、 15解析：选Aa1 + a2 + a3+ a4 + a5+ a6 + a7 + a8 + a9 + aw = 1 + 4 7+ 10 13+ 16 19+ 22 25 + 28= 5X 3= 15,故选 A.13.已知an是首项为1的等比数列，Sn是an的前n项和，且9S3 = S6,则数列 -的an前5项和为()31C.亦15D.?解析：选C设an的公比为q,显然q丰1由题意得1 19,得q = 2,所以an是首项为1，公比为1的等比数列，前1 - - 51 2 31 5项和为厂=花.1 -1 24.在等差数列 an中，a4= 5, a7= 11.设 bn= (- 1)n an,则数列bn
17、的前100项之和S100A. - 200B. - 100C. 200D. 100a1 + 3d = 5,解析：选D 设数列an的公差为d,由题意可得a1+ 6d = 11a1 = - 1,? an =2n- 3?bn= ( 1)n(2n 3)? S100= ( a1 + a2)+ ( a3 + a4)+ + ( a99+ a 100) = 50x 2 = 100,故选D.5.2n+ 1已知Tn为数列 2 的前n项和,若m>T1o+ 1 013恒成立，则整数 m的最小值为1 0261 025C.1 0241 0239 1 q31-q6T-T=百，所以 1+q3=解析：选C±1 =
18、 1 + 1n2n = 1 十 2,1 T n= n+ 1 2*,T10+ 1 013 = 11-210 + 1 013 = 1 024 - 20,又 m>T10+ 1 013,整数m的最小值为1 024.6已知数列:12,21, 3三,n+ 2则其前n项和关于n的表达式为- _2 1 - 2n + T1 - 21n n+ 1122 n 十 1.解析：设所求的前n项和为Sn,则1 1Sn= (1 + 2+ 3+ n) + 2+ 4+ 2n =答案：n n+ 112 2n+ 17. （2017全国卷n ）等差数列an的前n项和为Sn, a3 = 3, S4= 10,则1Sk解析：设等差数列
19、an的首项为ai，公差为d,ai + 2d= 3,依题意有4ai+ 6d= 10,ai= 1,解得d = 1,所以Sn =n n + 121n+ 1 ,因此n 1Sk= 2k= 11 1 1 11 一 + 一 一 + + 一一2十23+-2nn + 1答案:2nn+ 1&已知数列an满足a1 = 1,an+1 an = 2n(n N )，贝V S2 018=解析：t数列an满足a1 = 1, an+1 an= 2n,'n = 1 时，a2= 2, n2 时，an an-1 = 2n 一1，an+ 1由夭得=2,an- 1数列an的奇数项、偶数项分别成等比数列，12 0092 1
20、?1 009 S2 018 = + =3 -209 3.1-2 12009 3=3, S4= 16 ,9. （2019成都第一次诊断性检测）已知等差数列an的前n项和为Sn,*n N .（1）求数列an的通项公式；1设bn= ，求数列bn的前n项和Tn.anan+ 1解：（1）设数列an的公差为d,占2= 3, S4= 16,'a1+ d = 3,4a1 + 6d = 16, 解得 a1= 1, d = 2.-an= 2n 1.由题意知,bn =12n 1 2n + 11丄丄2 2n 1 2n+ 1 ，'Tn= b1 + b2 + + bn1 1 11 1 12 1 3 + 3
21、 5 + 2n 1 2n + 112n + 1n2n+ 1.10. (2018南昌摸底调研)已知数列an的前n项和Sn= 2n+1 2,记bn= anSn(n N*).(1)求数列an的通项公式；求数列bn的前n项和Tn.解：(1) VSn= 2n+ 1 2,当 n= 1 时，a1 = S1 = 21 +1 2 = 2;当 n >2 时，an= Sn Sn 1= 2n+ 1 2n= 2n.又 a1 = 2 = 21 ,.an= 2n.由(1)知，bn= anSn= 2 4 2n+ 1,4 1 4nTn= b1 + b2 + b3+ + bn= 2(41 + 42 + 43+ + 4n)
22、(22+ 23 + + 2n+ 1) = 2X1 44 1 2n1 2|.片 1 2n+ 2+ 3.B级1. (2019潍坊统一考试)若数列an的前n项和Sn满足3= 2an >0, n N*).(1)证明数列an为等比数列，并求 an；an, n为奇数，*若>=4, bn =” (n N )，求数列bn的前2n项和Tm.logzan, n为偶数解：'Sn= 2an > 当 n= 1 时，得 a1= >当 n2 时，Sn 1 = 2 an1入 Sn Sn 1 = 2an 2an 1,即 an= 2an 2an1 ,an= 2an 1,数列an是以入为首项，2为公
23、比的等比数列,'3n= 入.2- 1. = 4,.an= 4 - 21= 2n+12n+ 1, n为奇数, bn =n + 1, n为偶数, - T2n= 22+ 3 + 24 + 5+ 26 + 7+ + 22n+ 2n+ 1=(22+ 24+ + 22n)+ (3+ 5+ - + 2n+ 1)4-4n -4 n 3+ 2n+ 14n + 1 - 4+ n(n+ 2),4n+124 T 2 n=3 + n + 2n 3.2已知首项为 2的数列an的前n项和为Sn，且Sn+1= 3Sn 2Sn-1(n>2, n N*). (1)求数列an的通项公式；n + 1设bnOT，求数列b
24、n的前n项和Tn.解：(1)因为 5 +1= 3Sn-2Sn-1(n2),所以 Sn+ 1-Sn= 2Sn- 2Sn-1(n > 2),即an+1 = 2an(n>2)，所以an+1 = 2n+ j贝U an= 2n,当n = 1时，也满足，故数列an的 通项公式为an= 2n.n+11(2)因为 bn= 2* = (n + 1) 2 n,1 1 1 1所以 Tn = 2X2 + 3X 2 2+ 4X 2 3+ (n + 1)X 2 n,1121 3141nIn"?Tn= 2 X2+ 3 X 2 +4 X 2 + n X ? + (n + 1) X ?，-得 2Tn= 2X1+ 1 2+ 2 3+ + 2 n-(n + 1) 2 n+11111 1 1=1+ 1 1+ 2 2+ 1 3+_+ 1 n-(n+ 1) 2 n+11=2+1 1 n1 - n2 1 21 -(n +1) 2 n+ 11 - 21=2+1 1(n+ 1) 2 n+13 n + 32- 2n + 1.n + 3 故数列bn的前n项和为Tn= 3 - -2.