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1、乘法公式(基础)【学习目标】1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算. 了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.【要点梳理】 要点一、平方差公式平方差公式：(a b)(a b) a2 b2两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，a,b既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式抓住公式的几个变形形式利于理解公式. 但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方 . 常见的
2、变式有以下类型：( 1 )位置变化：如(a b)( b a) 利用加法交换律可以转化为公式的标准型2)系数变化：如(3x5y)(3x 5y)3)指数变化：如(m3 n2)(m3 n2 )4)符号变化：如( ab)(a b)5)增项变化：如(m np)(m n p)( 6)增因式变化：如(a b)(a b)(a2 b2)(a4 b4)要点二、完全平方公式完全平方公式：a b 2 a2 2ab b2222(a b)2 a2 2ab b2两数和 ( 差 ) 的平方等于这两数的平方和加上(减去)这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和(或差)的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加(或
3、减)这两数之积的2 倍 . 以下是常见的变形：a2 b2a b 2 2ab a b 2 2ab22a b a b 4ab要点三、添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.要点诠释：添括号与去括号是互逆的， 符号的变化也是一致的， 可以用去括号法则检查 添括号是否正确. 要点四、补充公式22, 2、3, 3(x p)(x q)x (p q)x pq ； (a b)(a mab b ) a b ；(a b)3a3 3a2b 3ab2 b3 ; (a b c)2 a2 b22c 2ab 2ac 2bc.【典型例题】类型一、平方
4、差公式的应用1、下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能 写出计算结果.?能用平方差公式计算的,(1) 2a 3b 3b 2a ；(2)2a 3b 2a 3b ；2a 3b 2a 3b ；(4)2a 3b 2a 3b ；2a 3b 2a 3b ;(6)2a 3b 2a 3b【思路点拨】 两个多项式因式中，如果一项相同，另一项互为相反数就可以用平方差公式【答案与解析】解：(2)、(3)、(4)、(5)可以用平方差公式计算，(1)、(6)不能用平方差公式计算.2_2oo(2) 2a3b2a 3b = 3b - 2a =9b 4a.22cc(3) 2a3b2a 3b = 2a - 3b =
5、4a29b2.(4) 2a 3b 2a 3b = 2a 2- 3b 2 = 4a2 9b2._2222(5) 2a 3b 2a 3b = 3b 2a = 9b 4a .【总结升华】利用平方差公式进行乘法运算，一定要注意找准相同项和相反项(系数为相反数的同类项).举一反三：【变式】计算：(1) - -y - -y ;(2) ( 2 x)( 2 x);2 22 2(3) ( 3x 2y)(2y 3x).解：(1)原式9 2 7y(2)原式(2)2 x24 x2 .(3)原式 (3x 2y)(2y 3x) (3x 2y)(3x 2y) 9x2 4y2.02、计算：(1)59.9 X 60.1;(2)
6、102 X 98.【答案与解析】解：(1)59.9 X 60.1 =(60 0.1)X (60 + 0.1)22=600.1 =3600-0.01 =3599.9922(2)102X 98= (100+ 2)(100 -2) = 1002 = 100004=9996.【总结升华】用构造平方差公式计算的方法是快速计算有些有理数乘法的好方法，构造时可利用两数的平均数， 通过两式（两数）的平均值，可以把原式写成两数和差之积的形式.这样 可顺利地利用平方差公式来计算.举一反三：【变式】(2015春？莱芜校级期中)怎样简便就怎样计算：(1) 1232- 124M22(2) (2a+b) (4a2+b2)
7、 (2a-b)【答案】解：(1) 1232 124M22=1232 - ( 123+1) ( 123 - 1)=1232 - ( 1232- 1)=1232 1232+1=1 ；(2) (2a+b) (4a2+b2) (2a-b)=(2a+b) (2a-b) (4a2+b2)=(4a2-b2) (4a2+b2)=(4a2) 2 - (b2) 2=16a4-b4.类型二、完全平方公式的应用03、计算：22x 3y222(1) 3a b ； (2)3 2a ； (3) x 2y ； (4)【思路点拨】 此题都可以用完全平方公式计算，区别在于是选“和”还是“差”的完全平方 公式.【答案与解析】229
8、99解：(1) 3ab 3a 2 3ab b2 9a2 6ab b2.22222(2) 3 2a 2a 3 2a 2 2a 3 32 4a2 12a 9.22222(3) x 2y x 2 x 2y 2y x 4xy 4y222222(4) 2x 3y 2x 3y 2x 2 2x 3y 3y 4x 12xy 9y .【总结升华】(1)在运用完全平方公式时要注意运用以下规律：当所给的二项式符号相同时, 结果中三项的符号都为正，当所给的二项式符号相反时，结果中两平方项为正，乘积项的符一 .j、一22号为负.(2)注意 a b a b 之间的转化. 4、(2015春？吉安校级期中)图a是由4个长为m
9、,宽为n的长方形拼成的，图 b是 由这四个长方形拼成的正方形，中间的空隙，恰好是一个小正方形.(1)用m、n表示图b中小正方形的边长为 .(2)用两种不同方法表示出图b中阴影部分的面积；(3)观察图b,利用(2)中的结论，写出下列三个代数式之间的等量关系，代数式( m+n)2, (m - n) 2, mn;(4)根据(3)中的等量关系，解决如下问题：已知 a+b=7, ab=5,求(a- b) 2的值.理 然国a国B【答案与解析】解：(1)图b中小正方形的边长为 m - n.故答案为 m-n;(2)方法：(mn) (m n) = (mn) 2;方法：(m+n) 2- 4mn;(3)因为图中阴影
10、部分的面积不变，所以( m - n) 2= (m+n) 2-4mn;(4)由(3)得：(a b) 2= (a+b) 2- 4ab,a+b=7, ab=5, (a- b) 2=72-4X5=49 - 20 =29.【总结升华】本题考查了完全平方公式的应用，列代数式，可以根据题中的已知数量利用代数式表示其他相关的量.5、已知a b 7, ab = 12,求下列各式的值：(1) a2 ab b2 ； (2) (a b)2.【答案与解析】解：(1)a2 ab b2= a2 b2- ab= a b 2 - 3ab= 72 - 3x12=13.222(2) a b = a b -4ab = 7 4x12
11、= 1.【总结升华】 由乘方公式常见的变形：a b 2 - a b2=4ab；a2 b22-2ab= a b + 2ab .解答本题关键是不求出 a, b的值，主要利用完全平方公式的整体变换求代数式的值.【变式】已知（ab)(a b)22. 2 一 4 ,求a b和ab的值.解：由（a b）22ab b27；由(a b)22ab b2+得2(a2b2)11,.,b211一得4ab3,3ab 一4【巩固练习】.选择题1.在下列计算中,不能用平方差公式计算的是A.(m n)( mn)B.C.(a b)(ab)D.d2d22.x y = 6,y = 5,则y2等于（3.A.11下列计算正确的是B.1
12、5().C.30D.604.5.6.A. 5 m 5 mC. 4 3n 4=m2 253n9n216卜列多项式不是完全平方式的是A. x2 4x 4C. 9a2 6ab b2（2015春？重庆校级期中）m的值为（）A . 10 B. =d0下列等式不能恒成立的是A. 3x已知关于29x 6xyC.)B. 1 3m 1 3mD.( 2ab n)( 2ab1 B.4D. 4t2x的二次三项式20D.划B. a12t24x2=1 3m22n) = 4abmx+25是完全平方式,则常数C.(1m2mn nD. xn)22x4x24.填空题7 .若x2 2ax 16是一个完全平方式，则 a =. CC2
13、8 .右 9x 4y = 3x 2y M,则 M =.9 .若 x y = 3, xy = 1,则 x2 y2 =.10 . (2015 春秋西校级期末)(1+x) (1-x) (1+x2) (1+x4) =11 . 5(x 2)(x 2) 2x 1 2 . 2212 .若x 12,则代数式x2 2x 5的值为.三.解答题13. (2015春？兴平市期中)用平方差公式或完全平方公式计算(必须写出运算过程) 2(1) 69X71;(2) 992.14 .先化简，再求值：3(a 1)2 5(a 1)(a 1) 2(a 1)2,其中 a 3. .2215 .已知：x y 25, x y 7,且 x
14、y，求x y 的值.【答案与解析】一.选择题1 .【答案】A;【解析】A中m和 m符号相反，n和n符号相反，而平方差公式中需要有一项是符号 相同的，另一项互为相反数.2 .【答案】C;【解析】x2 y2x y x y =6x5=30.3 .【答案】C;【解析】5 m 5 m = 25 m2 ; 1 3m 1 3m = 1 9m2;(2ab n)( 2ab n)=4a2b2 n2.4 .【答案】A；191ooo oo【斛析】-m m (- m) ； 9a 6ab b (3a b) ； 4t 12t 9 (2t 3).5 .【答案】D；【解析】解：,关于x的二次三项式4x2- mx+25是完全平方
15、式，一 m=i20,即 m=i20.故选：D.6 .【答案】D;2222 2【斛析】xyxyxy x y .7. 【答案】±4；【解析】x2 2ax 16 x2 2 4x 42，所以a 4 .8. 【答案】12xy；222【解析】9x 4y = 3x 2y12xy.9. 【答案】7；22222【解析】x y x y 2xy， x y 9 2 7 .10. 【答案】1-x8;【解析】解：(1+x) (1x) (1+x2) (1+x4)=(1 x2) (1+x2) (1+x4)=(1-x4) (1+x4)=1 y8 =1 x )故答案为：1 - x811. 【答案】x2 4x 21 ；2
16、x2 4x 212【解析】 5(x 2)(x 2) 2x 1 2 5 x2 44x2 4x 112. 【答案】6；222【解析】因为x 12，所以x2 2x 1, x2 2x 5 6 .三 . 解答题13. 【解析】解：(1)原式=(70 1) x (70+1) =4900 1=4899; (2)原式=(100- 1) 2=10000 - 200+1=9801 .14. 【解析】解： 3(a 1)2 5(a 1)(a 1) 2(a 1)23 a2 2a 1 5 a2 1 2 a2 2a 12a 10当 a 3时 , 原式 =2 3 10 16.15. 【解析】22222斛： x y x y 2xy,且 x y 25, x y 72 725 2xy,xy 12 ,222x y x y 2xy 25 2 12 1x y, 即 x y 0x y 1.xy1