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1、军教院第八章空间解析几何测试题?_、填空题(共7题，2分/空，共20分) 1.四点 O(0,0,0) , A(1,0,0), B(0,1,1), C(0,0,1)组成的四面体的体积是2 .已知向量 a (1,1,1), b (1,2,3), c (0,0,1)，则(a b) c =_(-2,-1,0)3 .点(1,0,1)到直线x y的距离是吏6.3x z 0 114 .点(1,0,2)到平面3x y 2z 1的距离是344.-7225 .曲线C: x y z 0对xoy坐标面的射影柱面是x2 x y2 1 0z x 1对yoz坐标面的射影柱面是 _(z 1)2 y2 z 0，对xoz坐标面的
2、射影柱面是 z x 1 0.26 .曲线C: x2y绕x轴旋转后产生的曲面方程是_x4 4(y2 z2)，曲线z 0C绕y轴旋转后产生的曲面方程是 x2 z2 2y.2227 .椭球面 1的体积是？?？.9425二、计算题(共4题，第1题10分，第2题15分，第3题20分，第4题10分, 共55分)1 .过点P(a, b, c)作3个坐标平面的射影点，求过这3个射影点的平面方程.这里a,b,c是3个非零实数.解：设点P(a,b,c)在平面z 0上的射影点为M1(a,b,0),在平面x 0上的射影UUUUr 一点为M2(0, a,b),在平面y 0上的射影点为 M3(a,0, c),则M1M2
3、( a,0,c),UULULUFM1M3 (0, b,c)x a y uuLuuiruuLuuin于是Mi, M 1M 2, M1M3所确定的平面方程是a 0 c 00 b c即 bc(x a) ac(y b) abz 0 .2.已知空间两条直线11xy0xy0,l 2 :z10z10证明li和l2是异面直线;(2)求li和12间的距离；(3)求公垂线方程.证明：(1)I)的标准方程是1y三，l经过点M1(0,0, 1),方向向量10vi1, 1,0l2的标准方程是,12经过点M2。，2),方向向量V21,1,0,于uuujuir(MM,%2)0,所以l1和l2是异面直线。由于V1 V2(0,
4、0, 2),V1V22I1和l2间的距离duuuuuuuuuuuir四川2»*)V1V2公垂线方程是23.求曲线x z2y绕x轴旋转产生的曲面方面.1解：设MAx, 丫乙)是母线x 2y上任意一点，则过MX, y1, z1)的纬圆方程是Xi22y1z1, (1)Zi2y1(2)由(1)(2)消去 x1, y1,z1 得到 x2 2y2 2z2 2 0.2224.已知单叶双曲面上 L 1, P(2,0,0)为腰椭圆上的点, 4925求经过点P两条直母线方程及其夹角； 求这两条直母线所在的平面 的方程及平面 的夹角.与腰椭圆所在平面设单叶双曲面两直母线方程xzyw(二-) u(1 T)2
5、53与u(:1) w(1 1)253t(X吗z) z)v(15仁)把点P(2,0,0)分别代入上面两方程组，求得wu,tv代入直母线方程，过点P(2,0,0)的两条直母z5z5_y3_y 3y3 ,即y315x15x10y10y6z6z303015x15x10y10y6z6z3030两直母线的方向向量可分别取(0,3,5)V2(0,3,5)，设两直母线的夹角是，则有cosV| v28V1V217，8 arccos.x 2yz(2)两直母线所在平面的方程是 03 50,即x 2035显然平面与腰椭圆所在的平面的夹角是0.四、证明题(共2题，第一题10分，第二题15分，共25分)1.求证：曲线 r
6、(t) (一t一2 -1 t t2 1t2 t3-一2,一t一2)在一个球面上，这里的t t 1 t t t (,). 、i uur一 °1c °1证明：设 r(t) (x, y,z),则有 x y z y,即 x (y -) z 24 八tt2t3,1, ,一 ，1 ,所以曲线r(t) (J,t 2, t 2)在球心为(0,0),半径为二的球1 t t2 1 t t2 1 t t222面上。2 .证明：(1)双曲抛物面的同族的所有直母线都平行于同一平面： (2)双曲抛物面的同族的两条直母线异面.证明：(1) 双曲抛物面的u族直母线中任一条直母线都平行于平面-0, a bv
7、族直母线中任一条直母线都平行于平面)y 0,a b因而结论成立.5 分不妨取u族直母线来证明，任取u族直母线中两条直母线 x yx y2u12u2l" a b 和I2： a b u1 (- 2)zu2(- -y) za ba b其中u1u2.由于的第一个方程表示的平面平行于的第一个方程 表示的平面，即11和12在两个平行平面上，因而11和12不会相交.又由于直线11的方向向量为V1( , ,0) ( , , 1)(,21)a b a bba ab直线I2的方向向量为V2(-,-1,0) *,号，1) ( -1,1, 当)a b a bba ab由于Ui U2,因此li和12不会平行，从而证明了双曲抛物面的同族的两 条直母线异面.