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1、平方根和开平方（基础）【学习目标】1. 了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根.2. 了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根.【要点梳理】要点一、平方根和算术平方根的概念1 .平方根的定义2如果x a ,那么x叫做a的平万根.求一个数a的平万根的运算，叫做开平万 .a叫做被开方数.平方与开平方互为逆运算.2 .算术平方根的定义正数a的两个平方根可以用“ 忖表示，其中 J3表示a的正平方根（又叫算术平方根），读作“根号a ” ； 百表示a的负平方根，读作“负根号 a要点诠释：当式子JR有意义时，a一定表示一个非负数，即 Va >0, a
2、 >0.要点二、平方根和算术平方根的区别与联系1 .区别：（1）定义不同；（2）结果不同：ja和ja2 .联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3） 0的平方根和算术平方根均为 0.要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方 根；负数没有平方根.（2）正数的两个平方根互为相反数， 根据它的算术平方根可以立即写出它的 另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.要点三、平方根的性质a a 0a2 |a|0a0a a 0要点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向
3、右或者向左移动1位.例如：762500250 , /625 25, 7625 2.5, 70.0625 0.25.【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念、下列说法错误的是（A.5是25的算术平方根B.l是l的一个平方根2C. 4的平方根是4D.0的平方根与算术平方根都是0【答案】C；【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项.A.因为225=5,所以本说法正确;B.因为土 / = ± 1所以l是l的一个平方根说法正确；C.因为土 4 4 2 =± J16 = ±4,所以本说法错误；D.因为 J0 = 0, J0 = 0,所以本说法正确；【总结升华】
4、此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题. 举一反三：【变式】判断下列各题正误，并将错误改正：(1)9没有平方根.()(2)炳 4.()(3)(2)2的平方根是 *.()(4) I 2是4的算术平方根.()5|25【答案】，；x； ，； 乂,提示：(2) JT6 4; (4) 2是£的算术平方根.52502、填空：(1) 4是 的负平方根.(2) 条表示 的算术平方根， J1.(3) 的算术平方根为.(4)若 Xx 3,则 x ,若 xx 3,则 x 【思路点拨】(3) J1就是上的算术平方根= 8181111 ,此题求的是-的算术平方根99【答案与解析】
5、(1)16 ; (2)【总结升华】要审清楚题意,111；(3)(4) 916 43不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化举一反三：【变式1】下列说法中正确的有()：3是9的平方根.9的平方根是 3.4是8的正的平方根.8是64的负的平方根.A. 1个 B .2个 C .3个 D .4个【答案】B；提示：是正确的.【变式2】(2015?凉山州) “T的平方根是 .【答案】土 3.解：因为国 =9, 9的平方根是土 3,所以答案为土 3.C3、(2016?古冶区二模)如果一个正数的平方根为2a+1和3a-11，则a=()A. ±1B.1 C. 2 D. 9【思路点拨】根据一
6、个正数的平方根有两个，且互为相反数列出方程，求出方程的解即可得到a的值.【答案】C.【解析】解：根据题意得：2a+1+3a-11=0解得：a=2.故选C.【总结升华】 此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数.举一反三：【变式】代数式 y =，x 3有意义,则x的取值范围是 .【答案】x 3.类型二、利用平方根解方程4、(2015春?鄂州校级期中)求下列各式中的x值，(1) 169x2=144，一、， 一、 2 一一 一(2) (x-2) -36=0.【思路点拨】(1)移项后，根据平方根定义求解；(2)移项后，根据平方根定义求解.【答案与解析】解：(1) 169x2=1
7、44,2 144x =，169_144x- '169 '12x= 一 .13(3) (x-2) 2-36=0,(x-2) 2=36,-2=36 ,x 2=± 6,x=8 或 x= - 4.【总结升华】 本题考查了平方根，注意一个正数的平方根有两个，他们互为相反数.类型三、平方根的应用“ 5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米.求长和宽各是多少米？【答案与解析】解：设宽为x ,长为3x, 由题意得，x 3 x = 1323C23 x =1323x 21x = 21(舍去)答：长为63米，宽为21米.【总结升华】根据面积由平方根的定义求
8、出边长，注意实际问题中边长都是正数【巩固练习】-.选择题1 21 D .638B. 1.69的平方根是土 1.3D. - (13)没有平方根1. （2016?泰州）4的平方根是（）A. ± 2B.-2 C. 2 D.2,下列各数中没有平方根的是（）2A.3B. 0 C3.下列说法正确的是（）A. 169的平方根是13C.13 2的平方根是134. 要使代数式2有意义,则范的取值范围是（）A.一 二B.上一二C.二D.二5. （2015酊西校级模拟）下列各等式中，正确的是（）。2=-3D-后=±36. 一个数的算术平方根是 a,则比这个数大8数是（）2_D. a+82A. a
9、+8B a 4C. a 8二.填空题7. 计算：（1） JT2? ; （2）7256 ; （3）8. (2016?广东)9的算术平方根是 .11259. 1一的平万根是; 0.0001算术平万根是: 0的平万根是10. J( 4)2的算术平方根是: J所的算术平方根的相反数是 .11. (2015春?丹江口市期末)若一个正数的两个平方根是2a- 1和-a+2,则a=这个正数是.12. J3表不' 3的; v3表不' 3的.三.解答题13. 求下列各式中的 x.(1) x2 143 1;(2) 4x2 1 0；(3) 4(x 2)2 25 .14 . (2015春?福清市期中)福
10、清某小区要扩大绿化带面积，已知原绿化带的形状是一个边 长为10m的正方形，计划扩大后绿化带的形状仍是一个正方形，并且其面积是原绿化带面积的4倍，求扩大后绿化带的边长.15 .思考题：估计与 病最接近的整数.【答案与解析】一.选择题1 .【答案】A;【解析】正数的平方根有两个，它们互为相反数 2 .【答案】D;【解析】负数没有平方根.3 .【答案】B;2 【解析】169的平万根是 13,13的平方根是 13.4 .【答案】B;【解析】被开方数为非负数.5 .【答案】A;【解析】解：A、-(3) 2 3,故A正确；=± 3,故B错误;被开方数是非负数，故 C错误;6.故选：A.【答案】D
11、;【解析】一个数的算术平方根是 a ,则这个数是a2.填空题7 .【答案】11; 16;12; 9; 3;-.28 .【答案】3;9 .【答案】6 ； 0.01 ； 0.510 .【答案】2; 3;(4)2 =4,。81 = 9,此题就是求4的算术平方根和9的算术平方根的相反11 .【答案】-1, 9;【解析】解：依题意得，2aT+ (-a+2) =0,解得：a= - 1.则这个数是(2a - 1) 2= ( - 3) 2=9. 故答案为：-1,9.12 .【答案】算术平方根；平方根 .三.解答题13.【解析】2=221斛：(1) x 144 x = (3)4x1=, x2 =-22x 12x 1214 .【解析】解：原绿化带的面积：102=100 (m2), 2.后绿化带的面积：4X 100=400 ( m), 则扩大后绿化带的边长是 .I尸20 ( m),答：扩大后绿化带的边长为20m15 .【解析】解：25V35V36-.2535. 36即 5 V <35 < 6.35比较接近36,. J35最接近的整数是6.