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1、推广：an am (n m)d .从而d anam ；n m、等差数列1 .等差数列的定义：an an 1d (d为常数)(n 2)；2 .等差数列通项公式：首项：a1,公差：d ,末项：anan a1 (n 1)d dn ai d (n-9 -3 .等差中项(1)如果a , A, b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.即:b 或 2A a b(2)等差中项：数列 an是等差数列2ana n-1 an1(n 2)2ann an 24 .等差数列的前n项和公式:n(a an)n2 na1n(n 1)d(其中A、B是常数，所以当特别地,当项数为奇数 2n2d丰0时，1时，a|2 (a11 d)
2、n22An BnSn是关于n的二次式且常数项为0)n 1是项数为2n+1的等差数列的中间项S2n 12n 1 a1 a2nl2n 1 an1 (项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项)5.等差数列的判定方法(1) 定义法：若an(2)等差中项：数列数列an是等差数列anand 或 an 1是等差数列(4)数列an是等差数列anSnkn bAn2an2an(其中Bn,d (常数nan-1 an 1N ) an是等差数列.(n 2) 2an 1 an an 2 .k,b是常数)。(其中A、B是常数)。6 .等差数列的证明方法an d (常数 n N )an是等差数列.te乂法：右 ana
3、n 1 d 或 a n 17 .提醒：(1)等差数列的通项公式及前 n和公式中，涉及到 5个元素：a1、d、n、an及Sn,其中a1、d称作为基 本元素。只要已知这 5个元素中的任意 3个，便可求出其余 2个，即知3求2。(2)设项技巧：一般可设通项an a1 (n 1)d奇数个数成等差，可设为，a 2d,a d,a,a d,a 2d(公差为d)；偶数个数成等差，可设为，a 3d,a d,a d,a 3d ,(注意；公差为2d)8.等差数列的性质：(1)当公差d 0时，等差数列的通项公式 an a1 (n 1)d dn a d是关于n的一次函数，且斜率为公差d ；前n和Sn na1 n(n-1
4、)d dn2 (a1 0)n是关于n的二次函数且常数项为0.222(2)若公差d 0,则为递增等差数列，若公差 d 0,则为递减等差数列，若公差 d 0,则为常数列。(3)当m n p q时，则有am an ap aq ,特别地，当 m n 2 P时，则有am an 2ap.注：a an a? an 1 a3 an 2,(4)若 anbn为等差数列，则 an b , an2bn都为等差数列(5)若an是等差数列，则Sn,52nSn,S3n S2n ,也成等差数列(6)数列an为等差数列，每隔k(k一一* . 一N )项取出一项(am, amk,am 2k,am 3k,)仍为等差数列(7)设数列
5、an是等差数列，d为公差， 歌 是奇数项的和,1.当项数为偶数2n时，S偶是偶数项项的和,Sn是前n项的和a1a3 a5a2nn a1a2n 1a2a4 a6a2n2n a2 a2 n2nannan inan inann an iannanannan 1 an 12、当项数为奇数2n 1时，则S2n 1SfS偶(2n 1) an+1S奇S偶an+1(n1)an+1S偶nan+1Swn 1(其中an+1是项数为2n+1的等差数列的中间项)(8)、bn的前n和分别为An、An,Bn'且 Bn f(n)'则 an (2n 1)anbn(2n 1)bnA2n 1B2n 1f (2n 1
6、).(9)等差数列an的前n项和Smn ,前m项和Snm ,则前m+n项和Sm n(10)求Sn的最值法一：因等差数列前n项是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性 n N法二：(1) “首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和an 0 一,r即当a10, d 0,由n 可得Sn达到最大值时的n值.an 10(2) “首负”的递增等差数列中，前 n项和的最小值是所有非正项之和。an 0 _ .即 当a1 0, d 0,由可得Sn达到最小值时的n值.或求an中正负分界项an 10法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函
7、数，故 n取离二次函数对称轴最近的整数时,Sn取最大值(或最小值)。若S p = S q则其对称轴为n注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：基本量法：即运用条件转化为关于a1和d的方程；巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量.、等比数列1 .等比数列的定义：乌-q q 0 n 2,且n N* , q称为公比 an 12 .通项公式：an a1qn 1 a1qn A Bn a1 q 0,A B 0 ,首项：a1;公比：qq推广：an amqn m,从而得qn m a或q n m电am am3 .等比中项(1)如果a,A,b成等比数列，那么 A叫做a与b的等差中项.即
8、：A ab或A 疝注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个(两个等比中项互为相反数)2(2)数列an是等比数列an an 1 an 14 .等比数列的前n项和Sn公式：a anq1 q当q 1时，Sn na1t7 2 c a11 qn(2)当 q 1 时，Sn 1 q-a- -a-qn A A Bn A'Bn A' ( A,B, A',B'为常数)1 q 1 q5 .等比数列的判定方法a(1)用te乂：对任息的 n,都有an 1 qan或 q(q为吊数，an 0)an为等比数列an2(2)等比中项：anan 1an 1 ( an 1an 1 0)
9、an为等比数列(3)通项公式：an A Bn A B 0 an为等比数列(4)前n项和公式：Sn A A Bn或Sn A'Bn A' A,B, A',B'为常数an为等比数列6 .等比数列的证明方法a一*依据te义：右 q q 0 n 2,且n N 或an 1 qanan为等比数列an 17 .注思(1)等比数列的通项公式及前 n和公式中，涉及到 5个元素：a1、q、n、an及Sn,其中a1、q称作为基本元素。只要已知这 5个元素中的任意 3个，便可求出其余 2个，即知3求2。(2)为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；an a1qn 1如奇数个数成等
10、差，可设为,母，9，a,aq, aq2(公比为 q ,中间项用 a表示)； q q8 .等比数列的性质当q 1时等比数列通项公式an a1qn 1%qn A Bn A B 0是关于n的带有系数的类指数函数，底为公比 q q前n项和Sn a 1 qa1 a1q-± 旦qn A A Bn A'Bn A',系数和常数项是互为相反1 q 1 q 1 q 1 q数的类指数函数，底数为公比qn m(2)对任何m,n N，在等比数列an中，有an amq，特别的，当m=1时,便得到等比数列的通项公式.因此，此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。*2(3)右 m+n=s+t (m,
11、 n, s, t N，则 an am a$ at.特别的，当 n+m=2k 时，得 an am ak注：a ana? an 1a3an 2(4)列an,bn为等比数列，则数列,k an ,ank,k an bna (k为非零常数)均为等比数列anbn 数列an为等比数列，每隔k(k*.N )项取出一项(am,am k,am 2k,am 3k,)仍为等比数列(6)如果an是各项均为正数的等比数列，则数列log a an是等差数列 若an为等比数列，则数列Sn, S2n Sn, S3n S2n,成等比数列(8)若an为等比数列，则数列a1 a2an,an1an2a2n,a2n1 a2n 2a3n成
12、等比数列(9)当q 1时,当0<q 1时,a1 0,则an为递增数列 a1 0,则an为递减数列,a1 0,则an为递减数列a1 0,则an为递增数列当q=1时，该数列为常数列(此时数列也为等差数列) 当q<0时,该数列为摆动数列.(10)在等比数列an中，当项数为2n (n N*)时，包 -,.S禺q(11)若an是公比为q的等比数列，则Sn m Sn qn Sm三、等差数列与等比数列性质的比较等差数列性质等比数列性质1、定义an+1-an=d(n 1)； an-an-1=d(n2)-q(n 1), =q(n 2)anan-12、通项 公式ana (n 1danam (nm)d(
13、n, m N )n 1an a1 q n man am q3、前n项和(ai a"Sn2n(n 1)Snnai -2-dq=1，Sn=nai；q i&PT) =口 i-qi-q4、中项 a+ba、A、b成等差数列A=；2an是其前k项an-k与后k项an+k的等差中项，即：a =an-k+an+kn2 A ba、A、b成等比数列一一a A（不等价于A 2=ab ,只能 ）=；an是其前k项an*与后k项an+k的等比中项，即：a2=an-k an+k5、下标和公式若m+n=p+q，则 am anap aq特别地,若m+n=2p,则am an 2 ap若m+n=p+q，则ama
14、 apaq特别地，若2m+n=2p，则 o o o am an ap6、首尾项性质等差数列的第k项与倒数第k项的和等于首尾 两项的和，即：ai an a? an iak an ” i）等比数列的第k项与倒数第k项的积等于 首尾两项的积，即：ai an a2 an iak an *。7、结论an为等差数列，若m,n,p成等差数列，则am，an，ap成等差数列 an为等比数列，若m，n，p成等差数列，则am，a”，ap成等比数歹u（两个等差数列的和仍是等差数列）等差数列 an,bn的公差分别为d，e，则数歹”an bn仍为等差数列，公差为 d e（两个等比数列的积仍是等比数列）等比数列 an ，
15、bn的公比分别为p，q，则数列an bn 仍为等比数列，公差为pq取出等差数列的所有奇（偶）数项，组成的新数列仍为等差数列，且公差为 2d取出等比数列的所有奇（偶）数项，组成的新2数列仍为等比数列，且公比为 q若 am=n，an=m(mn)，则 am n 0无此性质；若Sm=n，Sn=m(mn)，贝U Sm n (m n)无此性质；若 Sm Sn(m n)，则 Smm 0无此性质；Sm，S2m Sm，S3m S2m， 成等差数列,公差为m2dS，S2m Sm，S3m S2m， 成等差数 m歹u,公比为q当项数为偶数2n时，$偶字 nd当项数为偶数2n时，S偶 q当项数为奇数2n i时，*ani
16、当项数为奇数2n 1时，81f s偶 a中82n 1（2n 1） a中，uS禺n sf al q s偶8、等差（等比） 数列的判断方 法定义法：a an i d n 2等差中项概念；2an an 1 an 1n 2函数法：an pn q（ p,q为常数）关于 n的一次函数数列an是首项为p+q,公差为p 0的等差数列；数歹U an的前n项和形如S an2 bn（a, b为常数），那么数列an是等差数列，定义法：三 q an 1等差中项概念；anan 2 an 1 （an 0）函数法：an cqn（c, q均为不为0的常数，n N ），则数列an是等比数列.数列an的前n项和形如Sn Aqn A （A, q均为不等于0的常数且qw1）,则数列an是公比不为1的等比数列.9、共性非零常数列既是等差数列又是等比数列