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1、第十四章整式的乘法与因式分解整式的乘法（2） 5x（ x2+2x+1） - （2x+3）（x-5）题型一：整式乘法与整式加减的综合例 1：计算：（1）（ a+b） （a-2b）-（ a+2b） （ a-b）变式训练：（1） （x+3） （ x+4） -x（ x+2） -5（2）（ 3a-2b）（ b-3a） -（ 2a-b）（ 3a+b）题型二：整式乘法与方程的综合 例 2 :解方程（3x-2）（ 2x-3） =（ 6x+5）（ x-1）变式训练：解方程 2x（ x-1 ） -（ x+1 ） （2x-5） =12题型三：整式乘法与表达不等式的综合例 3 :解不等式（3x+4 ） （ 3x-4
2、） 9 （ x-2） （ x+3）变式训练：解不等式（2x-1 ）-（W2 +3（2x-1）（ 2x+5 ） （ 2x-5） -2题型四：整式的化简求值|3_L例 4:先化简，再求值（-2a4x2+4a3x3 - 1 a2x4）（ -a2x3），其中 a=三,x=-4.。变式训练：已知2x-y=10,求代数式（H+y2） - （x-y） 2+2y （ x-y）十4y的值。题型五：整式乘法的实际应用例5:西红柿丰收了，为了方便运输，小红的爸爸把一根长方形为a cm，宽为 a cm的长方形铁板做成了一个有底无盖的盒子。在长方形铁板的四个角上各截去一个边长为b cm的小正方形（2bv 5 a）,然后
3、沿虚线折起即可，如图14-1所示，现在要将盒子的外部表面贴上彩色花纸，小花任务至少需要彩色纸花的面积实际就是小盒子外部的表面积，可以用以下两种方法求得：直接法，小盒子外部表面的面积=四个侧面的面积+底面的面积=2（ a-2b） b+ （ a-2b） b+ （a-2b）（石a-2b）；间接法，小盒子外部表面的面积=原长方形的面积-四个小正方形的面积=；a a-4b2。请你就是一下这两种方法的结果是否一样。两111变式训练：如图所示，有正方形卡片A类、B类和长方形卡片 C类各若干张，若干要拼一个长为（ a+2b）,宽为（a+b）的大长方形，那么需要 C类卡片多少张u bm题型六：逆用幕的运算法则
4、例 6:已知 2x=m, 2y=n, 2mn,求证 x+y=z变式训练：已知10m=5,10n=6，求102m+3n的值。题型七：逆用积的乘方运算法则简化计算变式训练：计算：-82017x() 2016+x 26题型八：运用幕的运算法则比较大小例 8:比较大小：(1 ) 1625 与 290( 2 ) 2100 与 375变式训练：比较大小：255,344,433题型九：多小时整除问题例9:已知一个多项式初一多项式a2+4a-3所得的商式是2a+1，余式是2a+8，求这个多项式。变式训练：已知多项式x3+ax2+bx+c能够被x2+3x-4整式。(1 )求4a+c的值；(2)求2a-2b-c的
5、值；(3)若a, b, c均为整数，且 O a > 1,试确定a, b, c的大小关系。题型十：利用整式乘法求字母的值1例10：如果(x+q) (x+了)的结果中不含 x的一次项，那么q=变式训练：已知(-2x2) (3x2-ax-6) -3 x3+ x2中含x的三次项，贝U a=题型十一：利用整式的乘法探索规律例11:先探索规律，再用所得规律计算。(1 )根据多项式的乘法法则计算并填空:(x-3) (x+4) =(x+2) (x+3) =(x+7) (x-1) =(x-5) (x-2) =x+p) (x+q) =(2) 观察积中一次项系数、常数项与乘法算式中两个常数之间的关系，得出规律
6、，用式子表示为(3) 利用所得规律计算：(x+1) (x-5);直(x-3) (x+7); 3( a-2) (a-1) 变式训练：观察下列各式：(x-1) ( x+1) =x2-1 ;(x-1) (x2+x+1) =x3-1(x-1) (x3+x2+x+1) =x4-1 .(1) 根据观察以上规律，则(x-1) (x6+x5+x4+x3+x2+x+1) =(2) 你能否由此归纳出一般性规律：(x-1) (xn+xn-1 + +x+1) =(3) 根据求出：1+2+22+.+234+235的结果。题型十二：有关整式乘法的探索题例12:新知识一般有两类：第一类是不依赖于其他知识的新知识，如“数”“
7、字母表示数”这样的初始性的知识；第二类是在某些旧知识的基础上通过联系、拓广等方式产生的知识，大多数知识是这样的知识。(1) 多项式成多项式的法则，是第几类知识(2) 在学多项式乘多项式之前，你已拥有的有关知识是哪些(写出两条即可)(3) 请你用已拥有的有关知识，通过数和形两个方面说明多项式乘多项式的法则是如何获得的。(用(a+b)(c+d) 来说明)变式训练：我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如图所示，这个三角形的构造法则是：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两书之和，他给出了( a+b)n (n为整数)的展开式(按 a的次数由大到小的顺序排列)的系数规
8、律。例如，在三角形中第三行的三个数1,2, 1,恰好对应(a+b)2=a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1,3,3,1，恰好对应(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数。(口 +(M呻朴T a b r(1) 根据上面的规律：写出(a+b)5展开式：(2) 利用上面的规律计算：25-5X 24+10X 23-10X 22+5X 2-仁 乘法公式例1 ：计算:题型一：平方差公式的重复运用(2) (2x+1) ( 4x2+1) (2x-1) ( 16x4+1)变式训练：计算：(1 ) ( 2+1) (22+1) (24+1);(2)l题型二：运用乘法公式简算例2:运用
9、乘法公式简算：(1) 102 X 98;(2) 1022;(3) 992变式训练：用简便方法简算：(1 ) 982;题型三：乘法公式的灵活运用例 3:计算：(1) (x+2y-3) (x-2y+3);(2)变式训练：计算：(1) ( a+b+c) (a+b-1);(2) (2a-3b+1) (2a+3b-1)(2) 99X101(a+b+c) 2;(3) ( y+2) (y-2) - (y-1) (y+5)(3) (x-2y+3z) 2题型四：整式的混合运算例 4:计算：(1) (3m-4n ) (4n+3m) - (2m-n) (2m+3n)(2) 3 (a+1) 2-5 (a-1) (a+
10、1) 2 (a-1) '(3) :2x2- (x+y) (x-y) ( 2-x) ( 2+x) + (-y-2) ( 2-y)(4) (2x+y) 2 (2x-y) 2+ (x2+y2) 2-2 (2x2+xy) (2/-xy) 变式训练：计算：(1) ( x+2) 2+ ( 2x+1) (2x-1) -4x (x+1)(2) (x+y) (x-y) + (x-y) 2- (6x2y-2xy2) 2y题型五：乘法公式变形的应用例 5:已知(a+b) 2=7, (a-b) 2=4,求 a2+b2和 ab 值。亠丄|r2变式训练：(1)已知实数x满足E j-|=3，则一 jr'的值
11、为(2)若 x+y=5, x-y=1，贝U xy=。题型六：整式的化简求值例6:先化简，再求值：(x+1) (x-1) +x ( 3-x),其中x=2.变式训练：求值：已知4x=3y，求代数式(x-2y) 2- (x-y) (x+y) -2y2题型七：乘法公式与方程结合例 7 :解方程：2 (x-2) +x2= (x+1) (x-1) +3x变式训练：解方程：2 ( x-2) +x2= (x+1) (x-1) +x题型八：乘法公式与不等式(组)结合例 &解不等式 x (x-3)>( x+7) (x-7)变式训练：解不等式组：(x+3) (x-3) -x (x-2)> 1(2
12、x-5) (-2x-5 )V 4x (1-x)题型九：完全平方公式的变形应用例 9 :已知 a+b=5, ab=7,求日a2* b2, a2-ab+b2 的值。变式训练：(x+y) 2=9, (x-y) 2=5，求 x2+y2 级 xy 的值。题型十：应用完全平方公式求字母的值例10： 二次三项式x2-kx+9是一个完全平方式，则k的值是变式训练：若( m-3) x+4是完全平方式，求 m的值。题型十一：出发公式在复杂计算中的应用例 11:计算(2+1) (22+1) (24+1).(22n+1)变式训练：计算2011200护+20化®F5T因式分解题型一：提公因式法与公式法的综合运
13、用例1：分解因式：ax2-ay2=变式训练：分解因式：a2b-2ab+b=题型二：利用因式分解整体代换求值例 2 :已知 a+b=2, ab=1，贝U a2b+ab2 的值为变式训练：若 a=2, a-2b=3，贝U 2a2-4ab的值为题型三：因式分解与三角形知识的结合例3:若a, b, c是三角形的三边，且满足关系式a2-2bc=c2-2ab，试判断这个三角形的形状。变式训练：已知三角形三边长为a, b, c，且满足a2+b2+c2=ab+bc+ac，试判断三角形的形状。题型四：在实数范围内分解因式例4 :在实数范围内分解因式：x2y-3y=变式训练：在实数范围内分解因式：x3-6x=题型
14、五：分解因式：(1) (p-4) ( p+1) +3p(2) 64m2n2- ( m2+16n2) 2(3) a4-2a2b2+b4(4) 16 (a-b) 2-9 (a+b) 2变式训练：(1) (x+y) (x-1) -xy-y2(2) (ax+by) 2+ (bx-ay) 2题型六：平方差公式的灵活运用F-2- , 32-42 5;6? f . t 2015s-20163例 6 :计算'I."'变式训练：若248-1能被60与70直径的两个整数整除，求这两个数。题型七：完全平方公式的灵活运用例 7 :已知 a2+b2-4a-6b+13=0,求 a+b 的值。变式
15、训练：求证：当 x表示整数时，(x+1) (x+2) (x+3) ( x+4) +1是一个整数的完全平方数。题型八：开放型问题例&多项式9x2+1加上一个单项式后，能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可能是什么(把符合要求的都写出 来)变式训练：给出三个多项式：2x2+4x-4;2x2+12x+4;2x2-4x，请你把其中任意两个多项式进行加法运算(写出所有可能的结果)，并把每个结果因式分解。题型九：x2+ ( p+q) x+pq型式子的因式分解 例9:阅读下列材料，你能得到什么结论并利用(1)的酒类分解因式。(1) 形如x2+ ( p+q) x+pq型的二次三项式，有以下特点：二次
16、项系数是1 ;常数项是两个数之积；一次项系数是常数项的两个因式之和，把这个二次三项式进行分解因式，可以这样来解：x2+ ( p+q) x+pq=x2+px+qx+pq=(x2+px) + (qx+pq) =x (x+p) +q(x+p)=(x+p) (x+q)因此上面结论，可以之积将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式。(2) 利用(1)的结论分解因 m2+7m-18 ; x2-2x-15变式训练：阅读理解。(1)计算后填空： ( x+1) (x+2)=笑(x+3) (x-1)=(2) 归纳、猜想后填空：(x+a) (x+b) =x2+ () x+(3) 运用(2)的猜想结论，直接写出计算结果： (x+2) (x+m) =(4) 根据你的理解，把下列多项式因式分解： x2-5x+6=:x2-3x-10=