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1、第二十二章 一元二次方程知识框架梳理】22.1 一元二次方程 【重点难点点拨】重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题难点与关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，?再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念【规律方法指津】1、定义法一元二次方程的定义是 “只含有一个未知数 的整式方程，并且都可以化成（ ， ， 为常数， ）的形式，这样的方程叫一元二次方程 ”，为此，由一元二次方程的定义，可求出使原方程为一元二次方程的待定系数的取值范围。对于含有字 母系数的一元二次方程，应首先搞清楚已知数是什么，未知数是什么，然后化成一般形式。例如： 为何值
2、时，下列方程为一元二次方程？分析：（ 1）先把方程化成一般形式，当二次项系数时，方程才是一元二次方程，所以 。（2）由于首项的次数为，系数为 ，所以只有当 且 时方程才为一元二次方程，即 解：（ 1）当时，方程 为一元二次方程。（2），所以 ，当 时， ；当 时， ，所以当时，原方程为一元二次方程。金钥匙：一元二次方程二次项的系数不能等于0 是判断一个方程为一元二次方程的必要条件。2、形如的方程是不是一元二次方程，就取决于二次项系数 ，当 时，它是一元二次方程；当 时，它不是一元二次方程；当 时它是一元一次方程。【知识详细解读】1、一元二次方程的定义 方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元）
3、，并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做 一元二次方程 注意：由定义可知，一元二次方程必须满足三个特征： （1）一元二次方程的左右两边都是整式，即一元二次方程必须是整式方程； （2）方程中只含有一个未知数；3）未知数的最高次数为 2。确定一个方程是否是一元二次方程，就应把握这三个本质特征，只有同时具备这三个特征，这 个方程才是一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是： ax2 bx c 0（ a0） ax2 称二次项， bx 称一次项， c 称 常数项， a称二次项系数， b 称一次项系数注意：（ 1）“ a是0”一元二次方程的一般形式的一个重要组成部分。因为方程
4、ax2 bxc0 只有当 a0时才是一元二次方程。例如，当a=0， b0时，它就是一元一次方程了。反之，如果明确指出方程 ax2bxc0 是一元二次方程，那就隐含了 a0这个条件。（2）任何一个一元二次方程，经过整理，都可以化成一般形式。（3）二次项系数，一次项系数都是方程在一般形式下定义的，所以求一元二次方程的各 项系数时，必须先将方程化为一般形式。（4）二次项与二次项系数、一次项与一次项系数要分清。3、一元二次方程的解使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解。【典型例题感悟】例 1 、下列关于 的方程中，一定是一元二次方程的是（ ）A.B.C.D.分析：本题考查一元二次方
5、程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程应紧扣本质特 征 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 且方程两边的代数式都是整式。A 项方程中最高项为 ，因无法判定 是否为零，从而不能确定该方程是 否为一元二次方程；B 项方程中关于未知数 的最高项是 ， 时， 的最高次数为 1 ，所以该方程不 是一元二次方程；C 项方程中关于未知数 的最高项是 ， 的最高次数为 2，符合一元二次方程的特 征；D 项中分母中含未知数， 不是整式，所以不是一元二次方程。解：C金钥匙：本题的关键在于正确理解一元二次方程的概念。例 2 、把方程化成一般形式并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项。分析：正确应用各种运算法则，将方程中的同类项合并成一项，通过移项把方程右边变为 0，并把方程左边按字母降幂排列，再写出各项系数。解：去括号，得 .移项，合并同类项得方程的一般形式： .即： .二次项系数为 1，一次项系数为，常数项为 2.思维误区：通常在将方程化为后，各项含有公因式，需要进一步化简得 作 为所求的一般形式，这样可为后面学习一元二次方程的解法打下基础。本题的一次项系数不能 写成 “ 1，”而是