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1、题目：设复数 乙,Z2满足|zl=ZI=2 , z z, 虚i，则|z Z2 |=解法一：2 2 2 2设 Z! a bi z2 c di，则 a b 4 ，c d 4 iJ又 * 乙 Z23 ia c .3 ，b d 1 由解，得a '一 3 或 0，当 a -E时，b=-1，当a 时，b=2，乙 、3 i时，z2 2i，z1 2i 时，z23-iz1 z 2a/3实际上解法还可以改进由解，得ac bdz1-z 2 J a- c $ b- da2 b2 c2 d2 ac bd.12.3【点评】该法利用复数的代数形式，由已知条件列出方程组，解方程组得解，运算量有些 大。改进后根据复数的
2、模长公式整体代入，显然运算量减小。但是不管怎样，虽然解题思 路清晰，但是运算量大，运算繁琐，不整体代入，就很难解答出来。解法二：* 乙z22，可设 乙2cos 2isin ，z22cos 2isin ，乙z22 cos cos 2sin sin i、3 i，2 cos2 sincossin4 2 2cos cos2sin sin4，i，两式平方作和得：化简得：coscossinisin2zi Z22 cos cos2 sin sin i2cos 4 sin2sin8 cos cossin sin3【点评】该法根据复数的模长设出了复数的三角形式，把复数运算转化为三角函数的运设复数Zi, Z2对应
3、的向量分别是算，运算量小，运算简单，但是对于一些学生来说，三角运算还是有些繁琐。 解法三：则=2，则Z：+Z2对应的向量为OZ， 则 oz=2， oZ=ozOjToZ= Oz：+oziozT +2OZ1 Oz7+Oz2=.4+2OZ： Oz + 44+ 2OZ： Oz2 + 4 = 2Oz： oz2= 2Zi-Z2-2 OZ： OZ2 + OZ2=、4-22 +4【点评】使用该法通过复数的几何意义，把复数的运算转化成向量的运算，显然运算量 小，运算简单，比较而言，是一种好的解法。解法四：f Zi = Z2 = Zi + Z2 = 2Zi,Z2,Zi+Z2对应的点都在半径为2的圆上，如图，由复数
4、的几何意义知,Z1+Z2对应复数OZ= .3,1，不妨设Zi,Z2对应的向量分别为Oz1= .3, 1 ,OZ'= 0,2， 则Zi Z2对应的向量为目二*3, 3ZiZ2 = Z2 Z171 V0-1 -【点评】该法利用复数的几何意义，结合题目条件，作出图形，借助图形，很 容易就得到了所求结果。显然思路清晰，运算更为简单，相比较前三种方法技 高一筹。主要原因是使用了数和形的有机结合，变代数运算为图形运算，大大 简化了运算。从中可以看出数形结合思想的巨大优势。解后反思：此题用了四种方法，考查了复数的几种形式和复数的几何意义，以 及相关运算和数学思想，方法灵活多样，通过一题多解，对于锻炼学生的解题 思维有很大帮助。同时通过对比也让学生真正体会了数形结合思想的妙用，可 以培养学生使用数形结合思想解题的意识，从而提高学生的核心素养。