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1、精品文档f x在a,b内的图像如图所示,函数f x的定义域为 a,b，导函数则函数f x在a,b内有极小值点(6.f(X。)=0是函数f x在点x。处取极值的(C.充要条件D .既不充分又不必要条件7.A .充分不必要条件B .必要不充分条件13 2 2 已知三次函数 f (x) = -x (4 m 1)x+ (15m 2m-7)x+ 2 在 x ( m,m )是增函数，则 3m的取值导数及其应用习题精选一、选择题1. 直线y = x是曲线、二a ln x的一条切线，则实数 a的值为()A. -1 B . e C . In 2 D 12、 函数f (x) = x3+ ax2 + 3x-9，已知
2、f(x)在x =- 3时取得极值，则 a等于()A. 2 B . 3 C . 4 D . 53. 在曲线y = x2上切线的倾斜角为n的点是()1 111A. (0,0)B .(丄,丄) C.(丄,丄)D.(2,4)2 44 164. 若曲线y= x2+ ax+ b在点(0 , b)处的切线方程是x y +1 = 0,则()A . a= 1, b= 1 B . a= 1, b= 1 C . a= 1, b= 1精品文档范围是()A . m<2或 n>4B . 4_m_ 2 C . 2<m<4D . 2_m_428.设曲线y = x 1在点(x,f(x)处的切线的斜率为
3、g(x)，则函数y=g(x)cosx的部分图象可以为()A . k 乞-3或 -1< k 乞1 或k 一3C. -2 k : 2DB . -3 k ： 一1 或 1 ： k : 3 .不存在这样的实数 k10.已知二次函数2f (x) =axbx c的导数为f '(x) ,f'(0)0 ,对于任意实数x都有f(x) 一 0，则f的最小值为()f'(0)A . 3B二、填空题11. 函数y =x 2cos x在区间0,上的最大值是2 12、 已知函数f(x) =x3ax在R上有两个极值点，则实数a的取值范围是 32213已知函数f(x)=x +ax +bx+a在x=
4、i处有极值为10,则f(2)等于.14已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，f(1)=0，当x 0时，xf (x) . f (x)，则不等式x2 f (x)0的解集是三、解答题：15. 设函数f(x)= sinx cosx+ x+ 1,0<x<2n,求函数f(x)的单调区间与极值.2 _16. 已知函数f(x)=l nx，x -bx.若函数f (x)在其定义域内是增函数，求b的取值范围；17. 设函数 f (x) = x3 -6x 5, x R.(1) 求f(x)的单调区间和极值；(2) 若关于x的方程f(x) =a有3个不同实根，求实数 a的取值范围.(3) 已知当(1,=)时
5、，f(x)_k(x-1)恒成立，求实数k的取值范围.3218.已知x"是函数f(x) =mx 3(m 1)x nx 1的一个极值点，其中m ： 0, R.(1 )求m与n的关系式;(2)求f(x)的单调区间;(3) 当-1,1，函数y = f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ,求m的取值范围。2x19.已知函数f(x),g(x)=2aln x(e为自然对数的底数)e(1)求F(x) = f(x) -g(x)的单调区间，若F(x)有最值，请求出最值;(2)是否存在正常数a，使f (x)与(x)的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线?若存在，求出a的值，以及公共点
6、坐标和公切线方程；若不存在，请说明理由。导数及其应用参考答案、选择题：1-10 : D D B A A B D A B C、填空题：113 ；12.a | a ：；： 013.18；14.(-1,0)(1,二)6三、解答题15.解析f' (x) = cosx+ sinx+ 1 = 2sin(x+ 1 (0<x<2 n) 令 f' (x)= 0，即 sin(x+ n =孑，3解之得x= n或x= 2 n.x, f' (x)以及f(x)变化情况如下表:x(0, n)n(n 3 n)T? n3(2 n 2 n)f' (x)+0一0+f(x)递增n+ 2递减
7、3nT递增33 f(x)的单调增区间为(0, n和§ n 2 n单调减区间为(卩冗)33 nf (x) = 1 2x-b _ 0对 x (0,：)xf 极大(x)= f( n = n+ 2, f 极小(x)= f(2 n = .216.由题意：f(x) =| n x x -bx , ； f (x)在(0,：)上递增,11恒成立，即b2x对X，(0：)恒成立，.只需b乞(一2x)min,xxxaO,二1 +2x322，当且仅当x =辺时取“=”，二b兰22，二b的取值范围为(亠,2丿2)x217.解:(1) f (x) =3(x2 -2),令f(x)=0,得X1=J2,X2j2 1分当
8、 x ： -、. 2或x、2时,f (x)0;当 - -2 : x ：、, 2时,f (x) ： 0 , 2分f (x)的单调递增区间是(：，-一2)和(_,=)，单调递减区间是(2,、.2)3分当x - - 2, f (x)有极大值54 2 ;当x =疔2, f (x)有极小值5 - 4、.2 4分(2)由(1)可知y二f (x)图象的大致形状及走向(图略)当5 -4、一2 : a : 5 4.2时,直线y二a与y二f (x)的图象有3个不同交点，6分即当 4.2 : a <54.2时方程f(x)二a有三解. 7分精品文档精品文档(3) f(x)亠 k(x-1)即(x-1)(x2 x-
9、5)丄 k(x-1)t x .1,. k _ x2 x-5在(1, ：)上恒成立.2令g(x)二xx -5，由二次函数的性质,g(x)在(1,：)上是增函数,精品文档g(x) . g(1) _ _3,所求k的取值范围是 k _ -3 12分18.解：(1) f'(x) =3mx2 -6(m 1)x n.因为 x =1 是函数 f(x)的一个极值点所以 f'(1)=0 即 3m_6(m 1) n =0,所以 n =3m 6(2)由(1)知，f'(x) =3mx2 -6(m 1)x 3m 6 =3m(x 1)x (1 2)2当m ：0时，有1 1 ，当x为化时，f (x)与
10、f '(x)的变化如下表:mx2(_oO,1 +)m1+Z m2(1+,1) m1(1, + 呵f '(x)-0+0-f(x)单调递减极小值单调递 增极大值单调递 减 22故由上表知，当 m £0时，f (x)在(_oo,1+)单调递减，在(1+,1)单调递增，在(1,+°°)上单调 mm递减2 2 2(3)由已知得 f '(x) . 3m，即 mx -2(m 1)x 2 0 又 m ：0，所以 x2(m 1)x0, 即 卩mm2 2 2 2 1 2x (m 1)x0,x：=-1,1设g(x)二x -2(1 )x，其函数图象开口向上，由题意
11、知式恒成立,mm所以 g(_1：0 g(1)<0i ,22_ 12 0 =m m-1 ：0解之得-444:m又m：0所以 m ： 0即m的取值范围为(,0)3319解:(1) F (x)二 f (x) - g (x)2(x 0)ex当a乞0时,F (x)0恒成立F(x)在(0, ：)上是增函数，F(x)F只有一个单调递增区间(0,4),没有最值3分当 a 0时，F(x)= 2(x需(x鬲 & °),ex若 0 ： xea，则 F (x) ： 0, F (x)在(0, ea)上单调递减；若x 、ea，则f(x)0,f(x)在.ea,=)上单调递增，.当X ='、e
12、a时，F(x)有极小值，也是最小值，即 F(x)min =F(. ea) =a 2aln . ea - -alna 6 分所以当a 0时，F(x)的单调递减区间为(0,单调递增区间为 C，ea, ：)，最小值为-al na，无最大值 7分(2)若f (x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，则方程f(x)-g(x) =0有且只有一解，所以函数 F(x)有且只有一个零点 8分由(1)的结论可知F (x)min = -a ln a = 0得a - 1 10分2此时，F(x) = f(x)-g(x) =x2lnx_0F(xhin二 F( e) 0e-f (、.e) = g(、e) =1,. f (x)与g(x)的图象的唯一公共点坐标为( .e,1)又；f"(= g "(逐)=了二f (x)与g(x)的图象在点(握,1)处有共同的切线,22其方程为y1 = （x Je），即y = x1veVe综上所述，存在 a =1，使f (x)与g(x)的图象有且只有一个公共点C e,1)，且在该点处的公切线方程为2y1.12分