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1、第四章 矩阵习题参考答案、 判 断题1.对于任意 n 阶矩阵 A，B ，有ABA错.2.如果 A2 0, 则 A 0.错.11 如 A,A20,但A0.113. 如果 A A2 E ，则 A 为可逆矩阵 .正确. A A2 E A(E A) E ，因此 A可逆，且 A 1 A E.4. 设 A,B都是 n阶非零矩阵，且 AB 0，则 A, B的秩一个等于 n ，一个小于 n. 错. 由 AB 0可得 r(A) r(B) n .若一个秩等于 n ，则该矩阵可逆， 另一个秩为零， 与两个都是非零矩阵矛盾 .只可能两个秩都小于 n.5 A,B,C 为 n阶方阵，若 AB AC, 则 B C.1121
2、32错 .如 A,B,C，有 AB AC,但 BC.1121326 A为 m n 矩阵，若r(A)s,则存在m 阶可逆矩阵 P 及 n 阶可逆矩阵Q ，使PAQ I s 000正确 .右边为矩阵 A的等价标准形，矩阵 A等价于其标准形 .7n阶矩阵 A可逆，则 A* 也可逆 .正 确 .由 A 可 逆 可 得 |A| 0 ， 又 AA* A* A |A|E .因 此 A* 也 可 逆 ， 且(A*) 11|A|A.8设 A,B为 n阶可逆矩阵，则 (AB)* B* A* .正确.(AB)(AB)* | AB|E | A|B|E.又(AB)(B* A*) A(BB*) A* A|B|EA* |B
3、| AA* |A|B|E .因此 ( AB)( AB )* (AB)(B* A*) .由 A,B为 n阶可逆矩阵可得 AB可逆，两边同时左乘 式 AB的逆可得 (AB)* B* A* .二、 选 择题1设 A是n阶对称矩阵， B 是n阶反对称矩阵 (BTB) ,则下列矩阵中为反对称矩阵的是( B ).(A) AB BA (B) AB BA (C)(AB)2 (D) BAB(A) (D) 为对称矩阵，(B)为反对称矩阵， (C)当 A, B可交换时为对称矩阵 .2. 设 A是任意一个 n 阶矩阵，那么( A )是对称矩阵 .T T 2 T(A) AT A (B) A AT (C)A2 (D)AT
4、 A3以下结论不正确的是( C ) .(A) 如果 A是上三角矩阵，则 A2 也是上三角矩阵；(B) 如果 A是对称矩阵，则 A2 也是对称矩阵；(C) 如果 A是反对称矩阵，则 A2 也是反对称矩阵；(D) 如果 A 是对角阵，则 A2也是对角阵 .4 A是m k矩阵 , B是 k t 矩阵, 若 B的第 j 列元素全为零，则下列结论正确 的是( B )( A) AB 的 第 j 行 元素全 等于 零 ； ( B) AB 的第 j 列元 素全等 于零 ；( C) BA 的 第 j 行 元素 全 等 于零 ；( D) BA 的 第 j 列 元 素 全 等 于 零 ；5 设 A,B为 n阶方阵，
5、 E为 n阶单位阵，则以下命题中正确的是( D )(A)(A B)2 A22ABB2 (B)A2B2 (A B)(AB)(C)(AB)2 A2B2(D) A2 E2(AE)(A E)6下列命题正确的是( B ) .(A)若 ABAC，则 BC(B)若 ABAC ，且 A0，则BC(C)若 ABAC ，且 A0 ，则BC(D)若 ABAC，且 B0,C0，则 B C7. A 是 mn 矩阵， B 是 n m 矩阵，则( B )(A)当mn 时，必有行列式AB0；(B)当mn 时，必有行列式AB0(C)当nm 时，必有行列式AB0；(D)当nm 时，必有行列式AB0.AB为 m阶方阵，当 m n时
6、， r(A) n,r(B) n,因此 r(AB) n m，所以 AB 0.8以下结论正确的是( C )(A) 如果矩阵 A的行列式 A 0, 则 A 0；(B) 如果矩阵 A满足 A2 0 ，则 A 0；(C) n 阶数量阵与任何一个 n 阶矩阵都是可交换的；(D) 对任意方阵 A,B ，有 (A B)(A B) A2 B29设 1, 2, 3, 4是非零的四维列向量， A ( 1, 2, 3, 4), A* 为 A的伴随矩阵， 已知 Ax 0的基础解系为 (1,0, 2,0) T ，则方程组 A*x 0的基础解系为( C ).A)1 2 3.B) 1 2, 2 3 , 31 .( C)2 ,
7、3,4 .( D)12,2 3 , 34,4 1.1 T0由 Ax 0的基础解系为 (1,0, 2,0) T可得 ( 1, 2, 3, 4)0, 1 2 3 0.1 2 3 4 2 1 30因此( A)，(B)中向量组均为线性相关的，而( D)显然为线性相关的，因此答案 为( C).由A* A A*(1,2,3,4)(A*1,A* 2,A*3,A*4)O可得 1, 2, 3, 4均为 A* x 0的解 .10. 设 A是 n 阶矩阵， A适合下列条件( C )时， In A必是可逆矩阵(A) An A (B) A 是可逆矩阵 (C)An 0(B) A 主对角线上的元素全为零11 n 阶矩阵 A
8、是可逆矩阵的充分必要条件是( D )(A) A 1 (B) A 0 (C) A AT (D) A 012 A,B,C 均是 n阶矩阵，下列命题正确的是( A )(A) 若 A是可逆矩阵，则从 AB AC 可推出 BA CA(B) 若 A 是可逆矩阵，则必有 AB BA(C) 若 A 0，则从 AB AC 可推出 B C(D) 若 B C ，则必有 AB AC13 A,B,C均是 n阶矩阵， E为 n阶单位矩阵，若 ABC E，则有( C )(A) ACB E (B) BAC E(C) BCA E (D) CBA E14 A是 n阶方阵， A* 是其伴随矩阵，则下列结论错误的是(D )(A) 若
9、 A是可逆矩阵，则 A* 也是可逆矩阵；(B) 若 A是不可逆矩阵，则 A* 也是不可逆矩阵；5(C) 若 A* 0，则 A是可逆矩阵； () AA* A.*nAA*AEA n.15设 A是 5 阶方阵，且 A 0，则 A* ( )2 3 4(A) A (B) A 2 (C) A3 (D) A416设 A*是 A (aij )n n的伴随阵，则 A* A中位于 (i, j) 的元素为( )n n n n(A)ajk Aki (B)akj Aki (C)ajk Aik (D)aki Akjk 1 k 1 k 1 k 1(A) A是 B 的伴随(B)B是 A的伴随 (C)B 是 A 的伴随应为 A
10、的第 i 列元素的代数余子式与 A的第 j 列元素对应乘积和a11La1nA11LA1n17.设 A LLL,B LLL , 其中 Aij 是 aij 的代数余子式， 则( C )an1LannAn1LAnn4617(D) 以上结论都不对18设 A,B 为方阵，分块对角阵0 ,则 CB(A) CA*(B)CA A*0(C) CA0AB(D)0A B B*利用 CC*|C|E 验证.19已知 A662,B5 ，下列运算可行的是( C )(A) A(B) A(C) AB (D) AB BA20设 A, B是两个 m n 矩阵， C是n 阶矩阵，那么（ D ）(A)C(AB)CACB(B)(ATBT
11、)CATC BTC(C)CT (A B)CTA CT B(D)(AB)CACBCBA，那么 B 是一个（ ）21对任意一个 n阶矩阵 A，若n阶矩阵 B能满足 AB（A） 对称阵 （B） 对角阵 （C） 数量矩阵 （D）A 的逆矩阵与任意一个 n 阶矩阵均可交换的矩阵为数量矩阵22设 A 是一个上三角阵，且 A0，那么 A 的主对角线上的元素（）#（A） 全为零（ B）只有一个为零D）可能有零，也可能没有零1 3 ，23设A则A1（D）20110023(A)（B）11113636a1 b1c1a124设Aa2 b2c2 ，若 APa2a3 b3c3a3100100(A)001（B）002020
12、010C）至少有一个为零1100（C）3（D）211112636c1 2b1c2 2b2，则 P（ B ）c3 2b3001200（C） 020（D）0011000101 aa1a aLLa a25设 n(n3) 阶矩阵 Aaa1La，若矩阵 A的秩为 1，则 a 必为(A )LLLLLaaaL1(A) 1( B) -1(C)11(D)1nn1矩阵 A 的任意两行成比例 .26. 设 A,B为两个 n阶矩阵 , 现有四个命题若 A, B为等价矩阵 , 则 A, B的行向量组等价 ;若 A, B的行列式相等 ,即|A| |B|,则 A, B为等价矩阵 ;若 Ax 0与 Bx 0均只有零解 , 则
13、 A, B为等价矩阵 ;若 A, B为相似矩阵 , 则 Ax 0与 Bx 0解空间的维数相同 . 以上命题中正确的是 ( D )(A) , . (B) , .(C) , . (D), .当 B P 1AP时， A, B为相似矩阵。 相似矩阵的秩相等。 齐次线性方程组基础解系所含 解的个数即为其解空间的维数。三、填空题1设 A为三阶方阵， A*为 A的伴随矩阵，有 A 2，则 (1 A) 1 2A* 31A* | A|A 1 2A 1，( A) 1 3A 1，因此(1 A) 1 2A*33BA2B 11 1 1 33A 1 4A 1 A 1 ( 1)3 A2设 A,B为 4阶方阵，且 A 3，则
14、 (3A) 1 1/27 3设 A是一个 m n矩阵， B是一个 n s矩阵，那么是 (AB)' 一个 s m 阶矩阵，它的n第 i 行第 j 列元素为ajkbki .k14.n阶矩阵 A 可逆A非退化 |A| 0a00bc004. 三阶对角矩阵 A 0b0 ，则 A 的伴随矩阵 A* =0ac000c00abA 与单位矩阵等价A 可以表示为一系列初等矩阵的乘积123* 1 15设 A0 2 3 ，则 (A* ) 1A.6003(A*)A|A|0a10L00a2L6设 ai 0,i 1,2,L n ，矩阵 LLLL000Lan00L00L 的逆矩阵为 an 1000L0an1a1 10
15、L000a21L00LLLLL00Lan1107设 A,B 都是可逆矩阵，矩阵 C的逆矩阵为0A18设 A1,B13,C1 ，则 B(2AC)）9 A 既是对称矩阵，又是反对称矩阵，则A 为 零 矩阵 .10b1设方阵 A b2b3x1x2x3c1c2c3x1，By1c1|AB|y2y3y1c1y2c2 ，且Ay3c32b1x1y12c12b2x2y22c22b3x3y32c3c2c3b1b2b32,Bb2b33则行列式x1x2x3y1y2y3c1b1 x1 c1b1 y1 c1b2 x2 c24b2 y2 c2b3 x3 c3b3 y3 c3c2x2c3x3b2b3b1 b2 b34(2)3
16、 4.11设 A为 m阶方阵，B为 n阶方阵，已知 Aa, B b ，则行列式mn( 1) ab.将 A 的各列依次与 B 的各列交换，共需要交换mn 次，化为A00Bn 阶 单位矩阵 .12设 A为 n阶方阵，且 A 0，则 在 A等价关系下的标准形为13. 设 A1 2 22 1 a ( a为某常数)，B为 4 3的非零矩阵， 且 BA 0，则矩阵 B的3 1 1秩为 1 .由 BA 0可得 A的各列为齐次线性方程组 Bx 0 的解， A的前两列线性无关，因此Bx 0 的基础解系至少有两个解，因此r(B) 1. 又 B为非零矩阵，因此 r(B) 1.即r(B) 1.四、解答下列各题1求解矩
17、阵方程2 1 125461 1 3(1) X(2) X 2 1 013211 1 1432111 42 03 1X1 21 10 1010100(4)100X001001010解：（1）21546X132121113（ 2） X2143211114312(3)X10112112121112301/ 40010114(4)X10020001120101431002010011202011001430011200100332设 A110,AB A123(3)解： (A 2E)B A.143201120354622312210812 2 1110112431 1 1 016110121208/3 5
18、 2/313 1 0 0 1001 0 0 1 01000010102 1 01 3 41 0 22B ,求 B172E0.A 2E2，因此 A2E可逆.(A2E)1A3.设P1AP,其中解： APPA11 P11P 111,求 A .02111 2131 2114 2134 211并求其逆 .证明：由 m n,ABE 可得 m r(AB) r(A)m ，因此 r(A) m.因此 A 的行证明：2A 1B B 4E两边同左乘以 A得到 2B AB 4 A .因此有4设 3级方阵 A,B满足 2AA 2E 可逆，4E ，证明：B1B1 1 1(A 2E)B 4A .由 A可逆可得 A 2E，且
19、(A 2E) 1BA 1.415设 A是一个 n级方阵，且 R(A) r ，证明：存在一个 n级可逆矩阵 P使 PAP 1的 后 n r 行全为零 .证明： R(A) r ，因此矩阵 A 可以经过一系列行初等变换化为后n r 行全为零 .也即存在初等矩阵 P1,P1,L , Pm ，使得 PmL P2P1A后 n r 行全为零 . P PmL P2P1,则 PA的后 n r 行全为零 .由矩阵乘法运算可得 PAP 1的后 n r 行全为零 .6设矩阵 Am n,Bn m，且 m n,AB E ，证明： A的行向量组线性无关向量组线性无关7如果 A2 A,称 A为幂等矩阵 .设 A, B为n阶幂等矩阵，证明： A B是幂等矩 阵的充要条件是 AB BA 0.证明：当 A B 时幂等阵时，(A B)2 A2 AB BA B2 A AB BA B A B.因此 AB BA 0.反之，当 AB BA 0.时有(A B)2 A2 AB BA B2 A AB BA B A B.A B 是幂等矩阵 .