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1、求曲线方程学案课前预习学案一、预习目标回顾圆锥曲线的定义，并会利用定义和性质求圆锥曲线的方程。二、预习内容1651 至烦点F(5,0)和定直线x 16的距离之比为-的动点的轨迹方程是5422. 直线l与椭圆 y21交于P、Q两点，已知I过定点(1, 0),则弦PQ中点的轨迹方4程是2 23. 已知点P是双曲线务 与 1上任一点，过P作x轴的垂线，垂足为 Q贝U PQ中点Ma2 b2的轨迹方程是4在 ABC中，已知A( 2,0), B(2,0)，且AC、AB、BC成等差数列，则C点轨迹方程为课堂探究学案【学习目标】1.了解用坐标法研究几何问题的方法，了解解析几何的基本问题.2 理解曲线的方程、方
2、程的曲线的概念，能根据曲线的已知条件求出曲线的方程，了解两条曲线交点的概念.3通过曲线方程概念的教学，培养学生数与形相互联系、对立统一的辩证唯物主义观占八、4. 通过求曲线方程的教学，培养学生的转化能力和全面分析问题的能力，帮助学生理解解析几何的思想方法5. 进一步理解数形结合的思想方法.【学习重难点】学习重点：熟练掌握求曲线方程的常用方法：定义法、代入法、待定系数法、参数法等，并能灵活应用。学习难点：曲线方程的概念和求曲线方程的方法.【学习过程】一、新课分析解析几何主要研究两大类问题：一是根据题设条件，求出表示平面曲线的方程；二是.求符通过方程，研究平面曲线的性质.求曲线的轨迹方程是解析几何
3、的两个基本问题之一合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点解答轨迹问题时，若能充分挖掘几何关系， 则往往 可以简化解题过程.二、典型例题例1 设动直线I垂直于x轴，且与椭圆x2 2y24交于A、B两点，P是I上满足yPA?PB 1的点，求点P的轨迹方程。求曲线E的方程；设直线I的斜率为1,若直线I与曲线 的轨迹方程。方法点拨：用直接法：若曲线上的动点满足的条件是一些几何量
4、的等量关系，则只需直接把这种关系“翻译”成关于 动点的坐标x、y的方程。经化简所得同解的最简方程，即为 所求轨迹方程。其一般步骤为：建系一一设点一一列式一一代换一一化简一一检验。例 2 如图，在 Rt ABC 中， BAC 90 , A(、2,1)、B(.2,1),SABc 2 平 方单位，动点P在曲线E(y 1)上运动，若曲线 E过点C且满足PAPB的值为常数。(1)(2)方法点拨：用圆锥曲线的定义求方程。如果题目中的几何条件能够满足圆、椭圆、双曲线，抛物线的第一、二定义，则直接利用曲线定义写出其轨迹方程。2 2例3如图所示，过椭圆 E: - y 1上任一点P,作右准线I的垂线PH垂足为 3
5、2Ho 延长 PH到 Q,使 HQ= PH (0)(1 )当P点在E上运动时，求点 Q的轨迹G的方程；(2 )当 取何值时，轨迹G是焦点在平行于 y轴的直线上的椭圆？证明这些焦点都在同一个椭圆E'上，并写出椭圆的方程；(3)当 取何值时，轨迹 G是一个圆？判断这个圆与椭圆E'的右准线丨的位置关系。VLPHQ厂 X丿1*求符合某种条件的动点方法点拨：求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一。的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过“坐标互化”将其转化为变量间的关系。在确定了轨迹方程之后，有时需要对方程中的参数进行讨论，因为参数取值的变化会使方程表示不同的曲线， 会使其
6、与其他曲线的位置关系不同，会引起另外某些变量取值范围的变化。1过点M(0,1)的直线l交椭圆于点 A B, 0是坐标4 1 10B),点N的坐标为(-,)，当I绕点M旋转时，求：2 22 例4设椭圆方程为X 1 -原点，点P满足0P 丄(0A2(1) 动点P的轨迹方程；(2) NP的最小值与最大值。方法点拨：本题是运用参数法求的轨迹。 当动点P的坐标X、y之间的直接关系不易建立时， 可适当地选取中间变量 t,并用t表示动点P的坐标x、y，从而得到动点轨迹的参数方程X f(t)，消去参数t,便可得到动点 P的轨迹普通方程。其中应注意方程的等价性，即y g(t)由t的范围确定出x、y范围。三、小结
7、：求曲线方程的两类问题：一是动点变动的根本原因，二是动点变动的约束条件；求曲线方程的常用方法：定义法、代入法、待定系数法、参数法等。课后题高与练习1.若点M(x,y )满足 (x 3)2 (y 1)2 |x y 3| 0，则点M的轨迹是( )A.圆B.椭圆C.双曲线D抛物线2点M为抛物线y x2上的一个动点，连结原点0与动点M以0M为边作一个正方形 MNPO则动点P的轨迹方程为()A.2yxb. y2x2c. yx2D. xy3.方程(x6)2y2 (x6)22y20化简的结果是()22222222A.xy ,xy_xyxy ,1B.-1C.-1 D.110036100643610064100
8、4. 一动圆 M与两定圆e C1: (x4)22y1,e C2 : (x4)22y 9均外切，则动圆圆心 M的轨迹方程是 .5.抛物线y2 4x关于直线I : y x 2对称的曲线方程是6 .椭圆C与椭圆（x3)2! (y2)21关于直线xy0对称，椭圆C的方程是（94A.(x 2)2(y3)21B.(x2)2(y 3)214994C (x 2)2(y3)21D.(x2)2(y 3)2194497 .下列四个命题：圆(x 2)2 (y1)21关于点A（1,2）对称的曲线方程是（x 3）2 （y 3）21以点（2, - 3）和点（2, 1）为焦点的椭圆方程可以是)4 !；1014顶点在原点，对称
9、轴为坐标轴且过点（一4, 3）的抛物线方程只能是 y2 -x ;4x2 y2双曲线1右支上一点P到左准线的距离为18,则P点到右焦点的距离为169以上正确的命题是 .（将正确命题的序号都填上）2928.设曲线C： y x2 2x 2和直线l : y kx.记l与C的两个交点为 A、B,求线段AB中点的轨迹方程；2 1 1若线段AB上的点Q满足，求点Q的轨迹方程；OQ OA OB在点Q的轨迹上是否存在点 Q,使得经过曲线C的焦点的弦被点Q平分？证明你的结 论.答案：1、C ;2、C ;3、B ;2 y24、 X21（X1）解析：应用圆锥曲线的定义，注意只有一支1525、 （x 2） 4（ y 2
10、） ;6、A注意焦点所在位置的变化。7、;略解：（1）设AB中点M（x,y），联立方程组得：（k2 1）y2 2ky 2k2 0 ,贝Vy &,x九，消云*得2x，注意到"°子k 1，得 x 21 2 2 1 AB中点的轨迹方程是 （x ）y （x 2）.4（2） 点Q的轨迹方程是x 2,（、2 y 2），是一条线段（无端点）.（3）曲线C的焦点F（1,、2），设过F的直线方程为y m（x 1）'2，与曲线C的方程 2 :联立，得弦的中点的横坐标为x0 1 2m2 m2,解得m 二 -.当m时，弦的中点的纵坐标点的纵坐标y° C2,2）.综上，存在
11、点 Qoy°C 2,2）；当 m2,y°,使得经过曲线、2 6时，弦的中2C的焦点的弦被点Qo平1 m2求曲线的方程【教学目标】1了解用坐标法研究几何问题的方法，了解解析几何的基本问题.2 理解曲线的方程、方程的曲线的概念，能根据曲线的已知条件求出曲线的方程，了 解两条曲线交点的概念.3通过曲线方程概念的教学 ，培养学生数与形相互联系、对立统一的辩证唯物主义观 占八、4. 通过求曲线方程的教学，培养学生的转化能力和全面分析问题的能力，帮助学生理解解析几何的思想方法5. 进一步理解数形结合的思想方法.【教学重难点】教学重点：熟练掌握求曲线方程的常用方法：定义法、代入法、待定系
12、数法、参数法等，并能灵活应用。教学难点：曲线方程的概念和求曲线方程的方法.【教学过程】一、课前预习1651.至U顶点F(5,0)和定直线x的距离之比为的动点的轨迹方程是 5422 .直线l与椭圆 y21交于P、Q两点，已知I过定点(1, 0),则弦PQ中点的4轨迹方程是2 23. 已知点P是双曲线笃 每 1上任一点，过P作x轴的垂线，垂足为 Q,则PQa b中点M的轨迹方程是4. 在 ABC中，已知A( 2,0), B(2,0)，且AC、AB、BC成等差数列，则 C点轨迹xy 1(提示:设动 点 (x, y),则169222 2xy 1。)；2. x2x4y20 ； 3. x2 y21 (提1
13、69ab2 2答案：1._(x_5)2_y25164x 5示：设 M (x, y),方程为4则 P(x,2y).将 P(x,2y)代入双曲线方程得2 x2y2 1x22y 1。2 2;4.xy2 a2 1 2 bab21八16 124到AB的距离之和为8。)二、新课分析1(y0)(提示：2 AB AC | BC,C解析几何主要研究两大类问题：一是根据题设条件，求出表示平面曲线的方程；二是通过方程，研究平面曲线的性质求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义
14、，性质等基础知识的掌握， 还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点 解答轨迹问题时，若能充分挖掘几何关系，则往往可以简 化解题过程.三、典型例题2y2例1.设动直线I垂直于x轴，且与椭圆x2PA?PB 1的点，求点P的轨迹方程。方法点拨：用直接法：若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系，则只需直接把这种关系“翻译”成关于动点的坐标x、y的方程。经化简所得同解的最简方程，即为所求轨迹方程。其一般步骤为：建系一一设点一一列式一一代换一一化简一一检验。例 2如图，在 Rt ABC 中， BAC 90 ,A( ,2,1)、B(
15、 .2,1),SABc2 平求曲线E的方程；设直线I的斜率为1,若直线I与曲线 的轨迹方程。方单位，动点P在曲线E(y 1)上运动，若曲线 E过点C且满足PA PB的值为常数。(1)(2)方法点拨：用圆锥曲线的定义求方程。如果题目中的几何条件能够满足圆、椭圆、双曲线， 抛物线的第一、二定义，则直接利用曲线定义写出其轨迹方程。2 2例3如图所示，过椭圆 E： 1上任一点P,作右准线I的垂线PH垂足为Ho延长PH到Q,使HQ= PH (1 )当P点在E上运动时，求点 Q的轨迹G的方程; (2 )当个椭圆E(3 )当0)取何值时，轨迹 G是焦点在平行于 y轴的直线上的椭圆？证明这些焦点都在同一 上，
16、并写出椭圆的方程；取何值时，轨迹 G方法点拨：求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一。求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过“坐标互化”将其转化为变量间的关系。在确定了轨迹方程之后，有时需要对方程中的参数进行讨论，因为参数取值的变化会使方 程表示不同的曲线，会使其与其他曲线的位置关系不同，会引起另外某些变量取值范围的变化。2例4设椭圆方程为X1,过点M(0,1)的直线l交椭圆于点 A B, O是坐标原点，点P满足OP -(OA2(1) 动点P的轨迹方程；(2) "NP的最小值与最大值。 1 1OB ),点N的坐标为(一，)，当I绕点M旋转时，求:2 2方法点拨：本题是运用参数法求的轨迹。当动点P的坐标X、y之间的直接关 系不易建立时,可适当地选取中间变量 t,并用t表示动点P的坐标x、y，从而得到动点轨迹的参数方程X f(t)，消去参数t,便可得到动点 P的轨迹普通方程。其中应注意方程的等价性，即y g(t)由t的范围确定出x、y范围。四、小结：求曲线方程的两类问题：一是动点变动的根本原因，二是动点变动的约束 条件；求曲线方程的常用方法：定义法、代入法、待定系数法、参数法等。